課件第三章概率論

1、一、離散型隨機變量的條件分布二、連續(xù)型隨機變量的條件分布三、小結(jié)第三節(jié)條件分布一、離散型隨機變量的條件分布問題考慮一大群人,從其中隨機挑選一個人,分別用 X 和Y 記此人的體重和身高,則X 和Y 都是隨機變量,他們都有自己的分布.現(xiàn)在如果限制Y取值從1.5m到1.6m,在這個限制下求X 的分布.,pp設(shè)( X ,Y ) 是二維離散型隨機變量,對于固定ijjjiPYyP Xx,YyP Xxi Yy j 的 j, 若 PYy j 0, 則稱j,ijjiP XxpP Xxi ,Yy j pPYyXx 為在Yy j條件下隨機變量 X 的條件分布律.對于固定的i, 若 P Xxi 0, 則稱ii為在Xx

2、i條件下隨機變量Y 的條件分布律.其中i, j 1,2,.定義YX0123PY j00.8400.0300.0200.0100.90010.0600.0100.0080.0020.08020.0100.0050.0040.0010.020PX i0.9100.0450.0320.0131.000在一汽車工廠中, 一輛汽車有兩道工序是由機器人完成的. 其一是緊固3 只螺栓, 其二是焊接 2 處焊點. 以 X 表示螺栓緊固得不良的數(shù)目, 以Y 表示焊點焊接得不良的數(shù)目. 據(jù)積累的資料知( X ,Y ) 具有分布律:例1求在 X 1的條件下,Y 的條件分布律;求在Y 0 的條件下, X 的條件分布律

3、.解PY 0 X 1 P X 1,Y 0 0.030 ,P X 10.045PY 1 X 1 P X 1,Y 1 0.010 ,P X 10.045PY 2 X 1 P X 1,Y 2 0.005 ,P X 10.045由上述分布律的表格可得k012X 1621999即在 X 1的條件下,Y 的條件分布律為Y PY k同理可得在Y 0 的條件下, X 的條件分布律為X P X kk0123Y 08432190909090例2一射手進行射擊,擊中目標(biāo)的概率為p(0p1),射擊到擊中目標(biāo)兩次為止.設(shè)以X 表示首次擊中目標(biāo)所進行的射擊次數(shù), 以Y 表示總共進行的的射擊次數(shù).試求 X 和 Y 的聯(lián)合分

4、布律及條件分布律.解由題意知 X 取 m 且Y 取 n 時,有P X m,Y n p p (1 p) (1 p)(1 p)(n 2)個即得 X 和Y 的聯(lián)合分布律為P X m, Y n p2qn2 ,其中q 1 p,n 2,3,;m 1,2, n 1.現(xiàn)在求條件分布律由于n m 1nm1P X m P X m,Y n p2qn22nm1n2pq1 qp2qm1m1pq,m 1,2,n1m 1PY n P X m,Y nn1 p2qn2m1 (n 1) p2qn2 ,n 2,3,.P X mY n,PY n X m,(n 1) p2qn2p2qn2,1n 1p qm1p2qn2pqnm1 ,n

5、m 1, m 2,.所以當(dāng) n 2,3, 時,P X mY n P X m,Y nPY n當(dāng)m 1,2, n 1時,PY n X m P X m,Y nP X m定義二、連續(xù)型隨機變量的條件分布ff( y)fY ( y)YX Y( x y) f ( x, y) .Y的條件下 X 的條件概率密度,記為對于固定的 y,f( y) 0, 則稱 f ( x, y) 為在Yyf ( x, y),( X ,Y ) 關(guān)于Y 的邊緣概率密度為fY ( y).若設(shè)二維隨機變量( X ,Y ) 的概率密度為f( y)f ( x, y) d x.f( y)YX YYX Yxxxf( x y)d x 即F( x y)

6、 P Xx Yy 條件下, X 的條件分布函數(shù),記為P Xx Yy 或 FX Y ( x y),f ( x, y) d x 為在Yy 的稱同理定義在 X x 的條件下Y 的條件概率密度為f( x)f ( x, y) d y.yXFY X ( y x) PY y X x 答條件分布是指在一個隨機變量取某個確定值請同學(xué)們思考為什么不能用條件概率的定義來直接定義條件分布函數(shù) FX Y ( x y)?的條件下,另一個隨機變量的分布, 即FX Y ( x y) P Xx Yy .由于PYy可能為零(連續(xù)型時一定為零).故直接用條件概率來定義時,會出現(xiàn)分母為零.因此,在條件分布中,作為條件的隨機變量的取值

7、是確定的數(shù).YxxX Y( y)d x. f ( x, y)ff( x y)d x FX Y ( x y) yXy f ( x, y)f( x)d y.fY X ( y x)d y FY X ( y x) 聯(lián)合分布條件分布函數(shù)與條件密度函數(shù)的關(guān)系說明聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布的關(guān)系如下邊緣分布條件分布聯(lián)合分布 1 ,( x, y) G,0,其它.f ( x, y) A設(shè)( X ,Y ) 在圓域 x 2 y 2 1 上服從均勻分布,求條件概率密度 f X Y ( x y).解 由題意知隨機變量( X ,Y ) 的概率密度為1 ,x2 y2 1,0,其它,f ( x, y) 例3設(shè) G 是平面上

8、的有界區(qū)域,其面積為 A. 若二維隨機變量( X ,Y ) 具有概率密度又知邊緣概率密度為Yf ( x, y)d xf( y) 2 12其他.1 y2d x 1 y, 1 y 1,1 y20,于是當(dāng) 1 y 1 時,有0,11 2, 1 y2 x 1 y2 ,其他.21 y2(2 )1 yf( x y) X YX x (0 x 1) 時,數(shù)Y 在區(qū)間( x, 1) 上隨機地取值.求Y 的概率密度 fY ( y).解0,其它.由題意知 X 具有概率密度0 x 1,f( x) 1,X對于任意給定的值x(0 x 1), 在X x的條件下, Y 的條件概率密度為0,1,0 x y 1,其它.f( y

9、x) 1 xY X例4設(shè)數(shù) X 在區(qū)間(0,1) 上隨機地取值,當(dāng)觀察到因此 X 和Y 的聯(lián)合概率密度為f ( x, y) fY X ( y x) fX ( x)0,1,0 x y 1,其它. 1 xYf ( x, y)d x故得Y 的邊緣概率密度f( y) 1yd x ln(1 y),0 y 1,其它. 0 1 x0,三、小結(jié),ijijpj jPYyP X x ,YypP X xi Yy j 1. 設(shè)( X ,Y ) 是二維離散型隨機變量, pij ( i, j 1, 2,)為其聯(lián)合分布律,在給定Yy j 條件下隨機變量 X的條件分布律為,iiijijpP X x P X x ,Y ypPY y j X xi 其中i, j 1, 2,