材料力學(xué)第八章 能量法

1、第八章 能量法作業(yè)8-1 （b）、（d）8-2 （b）、（d）8-3 （b）、（d）8-48-68-108-11 （a）、（b） 8-12 （a）、（b） 8-15 1第八章 能量法8.1 桿件的變形能8.3 虛功原理 互等定理8.2克拉貝隆原理 卡氏定理8.4 單位力法 圖乘法8.6 沖擊應(yīng)力 動載強(qiáng)度計算 8.5 超靜定問題 力法正則方程 2第八章 能量法基于能量守恒原理，外力功在數(shù)值上等于存儲在彈性體內(nèi)的變形能。 即 U=W8.1 桿件的變形能 例如，圖示懸臂梁，在自由端受到集中力P作用。外力功：變形能：或在數(shù)值上，U=W3外力功的表達(dá)式思考：外力功在P-D曲線上的幾何意義?線彈性小變形

2、下的外力功觀察加載過程，加載路徑與外力功關(guān)系？載荷-位移(P-D)曲線靜加載下的外力功4內(nèi)力功（變形能）的表達(dá)式應(yīng)力-應(yīng)變(s-e)曲線思考:材料力學(xué)性能、加載路徑與變形能的關(guān)系？思考:計算彈性比能時，什么時候需要沿加載路徑積分？線彈性材料的彈性比能彈性材料的彈性比能5平面彎曲直梁*以上分析，桿件均為線性彈性材料制成*而且只考慮了彎曲正應(yīng)力產(chǎn)生的變形能*長為L的等直桿，橫截面彎曲剛度為EI 。當(dāng)彎矩M=常數(shù)時，桿的變形能為U=W=當(dāng)彎矩M=M(x)時，桿的變形能為6直桿的軸向拉伸與壓縮 以上分析，桿件均為線性彈性材料制成長為L的線彈性直桿，其截面抗拉壓剛度為EA 。當(dāng)軸力N=常數(shù)時，桿的變形能

3、為U=W=當(dāng)軸力N=N(x)時，桿的變形能為7圓軸扭轉(zhuǎn)*以上分析，桿件均為線性彈性材料制成*而且桿件為等截面圓桿（實(shí)心、空心、薄壁）*長為L的等截面圓桿，其截面扭轉(zhuǎn)剛度為GIp 。當(dāng)扭矩MT=常數(shù)時，桿的變形能為U=W=當(dāng)扭矩MT=MT(x)時，桿的變形能為8基本變形桿件的變形能計算公式變形能=內(nèi)力功=(內(nèi)力2)*桿件長度2*(桿件剛度) 變形能=彈性比能*桿件的體積9彎曲切應(yīng)力產(chǎn)生的變形能一般而言，在細(xì)長梁、剛架等構(gòu)件中，彎曲切應(yīng)力產(chǎn)生的變形能可以忽略不計。例題：圖示矩形懸臂梁，在自由端受到集中力P作用，求彎曲切應(yīng)力產(chǎn)生的變形能。解：在梁的長度方向上，Q=P;0 x4h,D10h,D2)根均

4、勻直桿組成的平面匯交桿系，如圖所示。已知每根桿長li，橫截面面積Ai，桿材料的彈性模量Ei以及桿軸線與X軸正向的夾角ai。當(dāng)A點(diǎn)發(fā)生水平位移u和垂直位移v時，計算結(jié)構(gòu)的變形能。 解：分析第i根桿的變形，由胡克定律可知, 第 i根桿的變形能，結(jié)構(gòu)的總變形能，結(jié)構(gòu)的自由度桿件的變形桿件的內(nèi)力桿件/結(jié)構(gòu)的變形能16對于一般的線彈性體，變形能為 ，小 結(jié)長L的等直桿，承受拉（壓）、彎曲、扭轉(zhuǎn)組合變形 。1）桿件彈性變形能計算式為*以上分析，桿件均為線性彈性材料制成*而且扭轉(zhuǎn)桿件為等截面圓桿（實(shí)心、空心、薄壁）*17桿件承受外載荷P作用，沿P 的作用方向上發(fā)生位移D 。2）用功能原理計算桿件的變形一般而

5、言，線彈性桿件i承受外載荷Pi作用，發(fā)生位移Di 。3）既可以用桿件系統(tǒng)所受外力，也可以用結(jié)構(gòu)的位移表示桿件系統(tǒng)的變形能。結(jié)構(gòu)的自由度桿件/結(jié)構(gòu)的變形能桿件的變形桿件的內(nèi)力結(jié)構(gòu)所受外力桿件的內(nèi)力桿件的變形力 法位移法18在線彈性范圍內(nèi)，外力按比例加載以及小變形條件下，存儲在彈性體內(nèi)的變形能可以表示為， 8.2 克拉貝隆原理 卡氏定理 即，在上述三個條件下，彈性體內(nèi)的變形能與外力加載的次序（加載路徑）無關(guān)。 19P1和P2同時比例加載首先，加載P1，然后施加P2在線彈性范圍內(nèi)，外力按比例加載以及小變形條件下，彈性體內(nèi)的變形能與外力加載的次序無關(guān)。 按照克拉貝隆原理，20線彈性結(jié)構(gòu)的變形能對于任一

6、獨(dú)立廣義外力的偏導(dǎo)數(shù)等于相應(yīng)于該力的廣義位移 ，即卡氏第二定理 線彈性結(jié)構(gòu)的變形能對于任一獨(dú)立廣義位移的偏導(dǎo)數(shù)等于相應(yīng)于該力的廣義力 ，即卡氏第一定理 設(shè)應(yīng)變能以廣義力為自變量的形式表示給定一個載荷增量 dPi ，則應(yīng)變能增量：同時 ，則外力功增量：由功能原理 dU=dW， 得：設(shè)應(yīng)變能以廣義位移為自變量的形式表示如上述類似地證明，21例6-1懸臂梁AB如圖所示，自由端A有一集中橫力P和一力偶矩M0 =PL作用，EI是常數(shù)。求梁A端的撓度yA和轉(zhuǎn)角A 解：按內(nèi)力功計算梁的變形能，但不計剪力作的功 。梁的彎矩方程為M(x) = - (M0+ Px) 事實(shí)上，查表3-2和運(yùn)用疊加原理，容易得到與上

7、式一致的結(jié)果。228.3 虛功原理 互等定理 在外力作用下處于平衡的梁，任意給它一個虛位移，則外力在虛位移上所作的外力虛功等于梁的內(nèi)力在虛變形上所作的虛變形功（或內(nèi)力虛功），這便是虛功原理。 外力虛功=內(nèi)力虛功外力虛功=虛應(yīng)變能23P(實(shí)際載荷)(單位載荷)Dxdx內(nèi)力：變形：變形：內(nèi)力：內(nèi)力虛元功虛應(yīng)變元能外力虛功24P(實(shí)際載荷)(單位載荷)Dxdx內(nèi)力虛功虛應(yīng)變能外力虛功25在外力作用下處于平衡的梁，任意給它一個虛位移，則外力在虛位移上所作的外力虛功等于梁的內(nèi)力在虛變形上所作的虛變形功（或內(nèi)力虛功），這便是虛功原理。 虛功原理的適用范圍如何？線彈性、小變形條件下即線彈性、小變形條件下的莫

8、爾定理（莫爾積分）26例 設(shè)在任一彈性體上作用有一對等值反向的力P，如圖所示，力的作用點(diǎn)間距為H，求該彈性體的體積變化。 解：利用功的互等定理，需要設(shè)計另一個加載情形。假設(shè)彈性體受靜水壓力p（s1=s2=s3=-p)作用的情景（圖b），以H表示在壓力p作用下P力作用點(diǎn)間的相對位移，以V表示在一對力P作用下的體積改變量。根據(jù)功的互等定理，有 PH = pV 以下求圖b中的H 討論：外力愈大或兩力相距愈遠(yuǎn)則其體積變化愈大；材料的彈性模量愈大，即材料愈硬，則其體積變化愈小；如果=0.5，其體積變化為零，就成為不可壓縮材料。27例6-3 圖示簡支梁的中點(diǎn)受到集中力P作用，EI=常數(shù)。求變形前后梁軸線所

9、夾的面積A。 解：假設(shè)簡支梁受均布載荷q作用的情景（圖b）。由互等定理，注意到：因?yàn)閝 為常數(shù)，式中，A即為所求之面積。288.4 單位力法 圖乘法 29線彈性、小變形條件下的莫爾定理（莫爾積分）其中最常用于計算梁的變形的莫爾積分對于一段同材料等截面（等剛度）梁，則下面介紹一種由圖形互乘代替積分的方法單位力法 30圖乘法設(shè)M0(x)=ax+b（一段斜線），積分項(xiàng)即當(dāng)M0圖中為一段斜線時，莫爾積分項(xiàng)等于M圖的面積與M0圖中與M圖形心坐標(biāo)對應(yīng)的函數(shù)值。當(dāng)M圖中為一段斜線時，上述結(jié)論應(yīng)該怎樣？31常見圖形的形心和面積bb/33b/8bb/4b直角三角形二次拋物線二次拋物線頂點(diǎn)頂點(diǎn)面積=bh/2面積=

10、2bh/3面積=bh/332例題 圖示梁，求中點(diǎn)C的撓度。解：畫出彎矩圖M(圖b)和M0(圖c).利用彎矩圖的對稱性可簡化計算。33例題 圖示梁，求載荷作用點(diǎn)的撓度。解：畫出彎矩圖M(圖b)和M0(圖c).34例 圖乘法求圖示外伸梁A端轉(zhuǎn)角A 解：1.疊加法作M圖2.作 圖3.求解A ql8C1C2C3w1w3w2MC1MC2MC3358.5 超靜定結(jié)構(gòu)的基本解法1.確定超靜定次數(shù)，選定靜定基2.作出相當(dāng)系統(tǒng)3.寫出相當(dāng)系統(tǒng)的應(yīng)變能4.根據(jù)多余約束處的位移條件，5.聯(lián)立求解補(bǔ)充方程，得到全部多余約束力6.按靜定結(jié)構(gòu)求其余約束力、內(nèi)力、應(yīng)力和位移 應(yīng)用卡氏定理列出補(bǔ)充方程36例 圖示超靜定梁的E

11、I為常量，試求多余約束力。解：一次超靜定1.取靜定基 2.作相當(dāng)系統(tǒng) 4. 求解變形協(xié)調(diào)方程3.列變形協(xié)調(diào)方程375.討論 求MA 利用變形能可以求得38例題懸臂梁AB如圖所示，A、B端固支。問題為三次超靜定。除掉A 端固支，得到包含未知反力的靜定結(jié)構(gòu)，稱為靜定基。利用疊加原理，分別畫出外載荷（圖b);支反力X1和X2（圖b和圖c)單獨(dú)作用圖。式中， 分別表示外載荷在靜定基中X1和X2方向上產(chǎn)生的位移。力法正則方程39按照歸一化要求，改寫式中， 為Xi 方向上的總位移； 為外載荷(P)在靜定基中在Xi 方向上的位移； 為未知反力Xj =1在靜定基中作用在Xi 方向上的位移；上式稱為力法正則方程

12、， 稱為柔度系數(shù)。40利用莫爾積分，正則方程中的柔度系數(shù)寫為：對二次靜不定問題要作幾個彎矩圖，用莫爾圖乘法，要作幾次圖乘？三次靜不定問題呢?運(yùn)用前面的知識，證明柔度系數(shù)具有對稱性 dij=dji41例題懸臂梁AB如圖所示，A、B端固支。求支反力。解：畫靜定基（圖a),分別畫彎矩圖b-d;42代入力法正則方程，得解聯(lián)立方程組得43例題 內(nèi)力為一次靜不定桁架如圖6-15(a)所示，設(shè)各桿EI相同，求兩種情況下的各桿軸力：(1) 在力P的作用下；(2) P = 0，但桿5升溫T，已知材料膨脹系數(shù)。解：(1) 斷開桿5，加一對約束內(nèi)力X1即得靜定基如圖6-15(b)所示。桿號 i桿長Li軸力Ni軸力N

13、0i1aP2aP3a04aP5016144(2) 僅有桿5升溫，正則方程為 11 X1+ 1T = 0 1T = l5T是因桿5升溫而引起的相對位移 由表中數(shù)據(jù)計算，得到代入正則方程 11 X1+ 1P = 0 得 ，其余各桿的內(nèi)力請讀者自行算之。在既受到外載荷作用，又有溫度變化時，如何求解此問題？45載荷對稱性：載荷關(guān)于結(jié)構(gòu)的對稱軸對稱或反對稱。對稱結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)的尺寸、形狀、支承情況和材料性質(zhì)是關(guān)于某一根線對稱的。*利用對稱性條件簡化計算EIEI2EIEIEI2EIEI2EI2EI對稱結(jié)構(gòu)非對稱結(jié)構(gòu)46利用對稱性簡化計算，要選擇恰當(dāng)?shù)撵o定基。EIEIEIEIEI EI EIX2X2X1X1X3

14、X3X1=1X2=1X3=1M10：M20：M30：*對稱性條件簡化正則方程的計算47若載荷也具有對稱性，則計算還可再簡化。 MF：X1=1X2=1X3=1M10：M20：M30：對稱結(jié)構(gòu)受對稱載荷時，對稱軸截面上反對稱內(nèi)力等于零。FFFF對稱性條件簡化正則方程的計算48若載荷也具有對稱性，則計算還可再簡化。 MF：X1=1X2=1X3=1M10：M20：M30：對稱結(jié)構(gòu)受反對稱載荷時，對稱軸截面上對稱內(nèi)力等于零。FFFF對稱性條件簡化正則方程的計算49一般載荷的對稱化處理：Fqq / 2F/2F/2F/2q / 2q / 2F/2對稱性條件簡化正則方程的計算利用對稱性將方程組進(jìn)行解耦508.

15、6 沖擊應(yīng)力 動載強(qiáng)度計算 為了簡化計算，可作下面三個假定：1、忽略彈性體的重量，撞擊物視為剛體，它與彈性體接觸后即連成一體；2、撞擊時應(yīng)力立即就傳播到彈性體的各個部分，且處于平衡狀態(tài)；3、撞擊時只考慮動能和勢能的轉(zhuǎn)化，而無其它形式的內(nèi)能及熱能的耗散。51動荷系數(shù)Kd式中，Ps 為靜載荷（接觸前動能為零）, Pd 為動載荷；sd 、 ss 分別為動應(yīng)力和靜態(tài)應(yīng)力； Dd 、 Ds 分別為（撞擊點(diǎn)）的動位移和靜位移。沖擊過程中體系的響應(yīng)是線性的52自由落體沖擊的動荷系數(shù)沖擊前能量：沖擊結(jié)束時能量：由能量守恒，注意：53水平速度沖擊時的動荷系數(shù)沖擊前能量：沖擊結(jié)束時能量：由能量守恒注意54例6-1

16、0 圖6-18a 與圖6-18b 分別表示不同支承方式的鋼梁，承受相同的重物沖擊。已知支承彈簧的剛度k=100N/mm，l=3m，H=50mm，G =1kN，鋼梁的I =3.40107mm4，W=3.09105mm3，E=200GPa，試比較兩者的沖擊應(yīng)力 。 對于圖 (b) 解： 對于圖 (a) 55靜態(tài)最大應(yīng)力對于圖 (b) 對于圖 (a)最大應(yīng)力 由于圖 (b)采用了彈簧支座，使系統(tǒng)的剛度減小，因而使動載系數(shù)減小，這是減低沖擊應(yīng)力的有效方法。 降低動載系數(shù)Kd還有其他那些有效方法?56制動沖擊例：鋼吊索的下端懸掛一重物 P=20kN ，并以等速度 v=1m / s 下降，當(dāng)?shù)跛鏖L度為 l

17、 =20m 時，滑輪 D 突然被卡住, 求吊索沖擊應(yīng)力。已知吊索E=170GPa, A =414mm2, 滑輪和吊索的重量略去不計。解：制動沖擊問題，沖擊物的能量減少全部轉(zhuǎn)換為被沖擊物的應(yīng)變能沖擊物的能量減少：被沖擊物(吊索)的應(yīng)變能增加：PlD57例：鋼吊索的下端懸掛一重物 P=20kN ，并以等速度 v=1m / s 下降，當(dāng)?shù)跛鏖L度為 l =20m 時，滑輪 D 突然被卡住, 求吊索沖擊應(yīng)力。已知吊索E=170GPa, A =414mm2, 滑輪和吊索的重量略去不計。PlD制動沖擊58例：鋼吊索的下端懸掛一重物 P=20kN ，并以等速度 v=1m / s 下降，當(dāng)?shù)跛鏖L度為 l =20

18、m 時，滑輪 D 突然被卡住, 求吊索沖擊應(yīng)力。已知吊索E=170GPa, A =414mm2, 滑輪和吊索的重量略去不計。PlD增加緩沖彈簧，使沖擊物減少的能量大部分轉(zhuǎn)變?yōu)閺椈傻膽?yīng)變能，動載系數(shù)降低 58% 。制動沖擊59例：圖示等截面圓軸 AB 長為 l ，B 端裝有飛輪，軸與飛輪以角速度 等速轉(zhuǎn)動，飛輪對旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 J ，軸的直徑為 d 。不計軸的轉(zhuǎn)動慣量和飛輪的變形，試求當(dāng)軸的 A 端突然被剎住時軸內(nèi)的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。解：當(dāng)軸的 A 端突然被剎住時，飛輪因慣性繼續(xù)轉(zhuǎn)動一角度后轉(zhuǎn)速才變?yōu)榱悖瑢⒁鹋まD(zhuǎn)沖擊。ldAB軸的體積越大，沖擊切應(yīng)力越小。如果在B端被剎住時的情況又將是怎樣的60動載荷的強(qiáng)度計算動載荷的強(qiáng)度計算公式設(shè)計截面尺寸校核強(qiáng)度許可載荷動載荷的強(qiáng)