材料力學(xué)(II)第二章-材料力學(xué)-孫訓(xùn)方

1、材料力學(xué)(II)第二章-材料力學(xué)-孫訓(xùn)方第一頁，共38頁。21 塑性材料簡化的應(yīng)力應(yīng)變曲線 圖a所示為低碳鋼拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線，bc表示卸載規(guī)律。工程中有時(shí)要考慮材料塑性來計(jì)算構(gòu)件的承載能力，低碳鋼等塑性材料在應(yīng)力超過比例極限后，應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)榉蔷€性關(guān)系，使分析極為復(fù)雜。為了簡化計(jì)obec(a)2第二頁，共38頁。算，工程中把低碳鋼等塑性材料的拉伸、壓縮時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系簡化為圖b所示的曲線。即認(rèn)為材料屈服前服從胡克定律，屈服后不考慮強(qiáng)化，拉伸和壓縮時(shí)材料的屈服極限和彈性模量分別相等。該曲線稱為彈性理想塑性模型，這種材料稱為彈性 理想塑性材料(通常簡稱為理想彈塑性材料)。同樣，也可將塑性材料的t

2、g曲線簡化為圖c所示的曲線。b(b)(c)3第三頁，共38頁。22 拉壓桿系的極限荷載 圖a所示的靜定結(jié)構(gòu)中，各桿的材料相同，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如圖b所示。隨著載荷增加，當(dāng)其中任一桿橫截面上的應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，該結(jié)構(gòu)成為幾何可變的機(jī)構(gòu)，喪失承載能力?？梢婌o定拉壓桿系結(jié)構(gòu)，考慮材料的塑性，也不能提高結(jié)構(gòu)的承載能力。超靜定桿系結(jié)構(gòu)見下例。BCAF(a)(b)4第四頁，共38頁。例21 圖a所示超靜定桿系結(jié)構(gòu)中，三桿的材料相同，se關(guān)系如圖b所示，彈性模量為E。三桿的橫截面積均為A。試分析當(dāng)荷載F逐漸增加時(shí)三桿的應(yīng)力和結(jié)點(diǎn)A位移的變化情況。(b)(a)l5第五頁，共38頁。解： (1) 應(yīng)力 1. 當(dāng)

3、F 較小時(shí)，三桿均處于彈性工作狀態(tài)，解此超靜定結(jié)構(gòu)，得到三桿的軸力，除以其橫截面面積后得三桿的應(yīng)力分別為可見F(c)6第六頁，共38頁。由于FN3=sA，使超靜定結(jié)構(gòu)成為靜定結(jié)構(gòu)，荷載還可以繼續(xù)增加，由結(jié)點(diǎn)A的平衡方程，得1、2桿的軸力為 2. F增加到Fs時(shí)，3桿首先屈服，1、2桿仍處于彈性工作狀態(tài)。 Fs 稱為屈服載荷。令s3ss，F(xiàn) =Fs。由(2)式得應(yīng)力為(4)7第七頁，共38頁。極限荷載和屈服荷載的比值為當(dāng)a45時(shí)，F(xiàn)u/Fs1.41，即考慮材料塑性將使結(jié)構(gòu)的承載能力提高1.41倍。 3. 繼續(xù)增加荷載，3桿的應(yīng)力保持s3ss不變，1、2桿的應(yīng)力增加，直到1、2桿也發(fā)生屈服(s1=

4、s2=ss)，整個(gè)結(jié)構(gòu)屈服，從而喪失承載能力。這種狀態(tài)稱為極限狀態(tài)，相應(yīng)的荷載為極限荷載，用Fu表示。令FN1= FN2 = FN3 =ss A，由結(jié)點(diǎn)A的平衡方程得8第八頁，共38頁。(2) A點(diǎn)的位移 1. F=Fs時(shí)，s3ss ，3桿屈服，1、2桿仍處于彈性工作狀態(tài)，由圖d可得A點(diǎn)的位移為 2. 繼續(xù)增加荷載，3桿的應(yīng)力s3ss保持不變，增加部分的荷載將由1、2桿承擔(dān)，使1、2桿的彈性變形不斷增加，直到1、2桿剛剛出現(xiàn)塑性變形，A點(diǎn)的位移為A(d)1329第九頁，共38頁。外力F和A點(diǎn)位移之間的關(guān)系，如圖e所示。FFs時(shí)，結(jié)構(gòu)的剛度由三根桿組成， FFs時(shí)，3桿屈服，結(jié)構(gòu)的剛度由1, 2

5、桿組成，所以O(shè)a和ab的斜率不同。(7)(e)ab10第十頁，共38頁。 由于一次超靜定桿系結(jié)構(gòu)中，存在一個(gè)多余約束的桿(例如，例21中的3桿)當(dāng)某一桿發(fā)生塑性變形時(shí)，結(jié)構(gòu)成為靜定結(jié)構(gòu)，還可以繼續(xù)承載，直到結(jié)構(gòu)中另外的桿發(fā)生塑性變形，使結(jié)構(gòu)喪失承載能力，達(dá)到極限狀態(tài)。(a)l11第十一頁，共38頁。23 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的極限扭矩 圖a所示圓截面桿，其t g 的關(guān)系如圖b所示。本節(jié)討論等直圓桿極限扭矩及扭轉(zhuǎn)殘余應(yīng)力問題。12第十二頁，共38頁。. 極限扭矩 (1) 由塑性材料制成的受扭圓截面桿，一般把tmax=ts(圖c)作為破壞條件，并以此建立強(qiáng)度條件。邊緣屈服時(shí)的扭矩稱為屈服扭矩，并用Ts表

6、示，其值為僅當(dāng)tmax=ts時(shí)，圓桿不會(huì)發(fā)生明顯的屈服變形，扭矩還可以繼續(xù)增加。do(c)13第十三頁，共38頁。 (2) 若扭矩增加到某個(gè)值 時(shí)，圓桿進(jìn)入彈塑性工作狀態(tài)，根據(jù)平面假設(shè)，其g 的變化規(guī)律如圖d所示。根據(jù)圖b所示的tg關(guān)系，t 的分布規(guī)律如圖e所示，即靠近邊緣處已進(jìn)入塑性狀態(tài)，其余部分仍處于彈性狀態(tài)。設(shè)彈性區(qū)的直徑為ds。取dA=2prdr，扭矩為o(d)d(e)14第十四頁，共38頁。單位長度的扭轉(zhuǎn)角為 (3) 當(dāng)扭矩增加到T=Tu時(shí)，橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力均達(dá)到ts(圖f)，圓桿進(jìn)入完全塑性狀態(tài)，即為極限狀態(tài)， Tu稱為極限扭矩，其值為式中，右邊第一項(xiàng) 為彈性區(qū)的扭矩，第二項(xiàng)

7、為塑性區(qū)的扭矩。(f)15第十五頁，共38頁。由(1)式和(4)式可得可見，Tu=4Ts/3。若采用極限狀態(tài)為破壞條件，將使承載能力提高4/3倍。(f)16第十六頁，共38頁。. 殘余應(yīng)力 扭矩達(dá)到Tu時(shí)，卸去全部荷載，即反向加Me=d3s/12，由于卸載時(shí)，tg為線性關(guān)系(圖a)，所以， ，切應(yīng)力的分布規(guī)律如圖b所示，將它與極限狀態(tài)的切應(yīng)力(圖c)疊加，得殘余應(yīng)力，其分布規(guī)律如圖d所示。取dA=2prdr，其扭矩為Me=TuMe=Tu(b)(c)Me= 0(d)ts17第十七頁，共38頁。扭矩T0，說明殘余應(yīng)力是自相平衡的。18第十八頁，共38頁。24 梁的極限彎矩 塑性鉸. 純彎曲梁的極限

8、彎矩 圖a所示矩形截面純彎曲梁，其材料的se關(guān)系如圖b所示。b(b)(a)h/2h/219第十九頁，共38頁。 (1) 一般認(rèn)為smax=ss為梁的破壞條件，把上、下邊緣屈服時(shí)的彎矩稱為屈服彎矩，并用Ms表示圖c，其值為僅梁的上、下邊緣處屈服，梁不會(huì)發(fā)生明顯的屈服變形，彎矩還可以繼續(xù)增加。(c)20第二十頁，共38頁。(d)(e) (2) 當(dāng)彎矩增加到 時(shí)，梁進(jìn)入彈塑性工作狀態(tài)，根據(jù)平面假設(shè)，e 分布規(guī)律如圖d所示。按照?qǐng)Db所示的se 關(guān)系，s 的分布規(guī)律如圖e所示。即梁的上、下邊緣附近處為塑性變形，其余部分仍為彈性變形。21第二十一頁，共38頁。 (3) 當(dāng)彎矩增加到M =Mu時(shí)，整個(gè)橫截面

9、上的應(yīng)力均達(dá)到ss(圖f)，梁進(jìn)入完全塑性狀態(tài)，也稱為極限狀態(tài)， Mu稱為極限彎矩。由分離體(圖g)橫截面上的法向內(nèi)力所組成的合力等于零，即(f)zxy(g)得(2)22第二十二頁，共38頁。式中，At和Ac分別代表受拉區(qū)和受壓區(qū)的面積。由(2)式確定中性軸z的位置。對(duì)于水平形心軸為對(duì)稱軸的截面(例如，矩形等)，水平形心軸即為中性軸。對(duì)于水平軸不是對(duì)稱軸的截面，例如T形截面，中性軸和水平形心軸不重合。隨彎矩的增加，中性軸上移。到M=Mu時(shí)，中性軸位置如圖所示。中性軸 上移802080zzc20(中性軸)(形心軸)y23第二十三頁，共38頁。橫截面上法向微內(nèi)力組成極限彎矩，即式中，St、Sc分別

10、表示受拉區(qū)和受壓區(qū)面積對(duì)中性軸z的靜矩，均取正值。令(塑性彎曲截面系數(shù)) (4)則(5)24第二十四頁，共38頁。對(duì)于bh的矩形截面，由(6)和(1)式，得25第二十五頁，共38頁。例24 求圖示T形截面梁的極限彎矩，ss235 MPa。26第二十六頁，共38頁。解：1. 確定中性軸的位置 設(shè)中性軸z到截面底邊的距離為y。并設(shè)中性軸以下為受拉區(qū)，以上為受壓區(qū)，根據(jù)At=Ac，有2. 求 St、Sc3. 求 Mu得27第二十七頁，共38頁。4. 殘余應(yīng)力 當(dāng)矩形截面梁的彎矩達(dá)到Mu時(shí)，卸去全部荷載，即反向加Mu=bh2s/4，并注意到卸載時(shí)se成線性關(guān)系，則卸載時(shí)smax=(bh2ss/4)/(

11、bh2/6)=3ss /2(圖b)，將圖b和圖a的應(yīng)力疊加得殘余應(yīng)力(圖c)?？梢则?yàn)證殘余應(yīng)力自相平衡。bhyzc+-(a)+-+-(b)(c)+=+ss28第二十八頁，共38頁。. 橫力彎曲梁的極限荷載 塑性鉸(1) 靜定梁 圖a所示梁的材料為理想彈塑性材料，Mmax=Fl/4發(fā)生在C截面處，當(dāng)C截面處的smax=ss時(shí)，相應(yīng)的荷載Fs為屈服荷載， C截面上的彎矩Ms為屈服彎矩， Ms的值為byz-+（a）ABC29第二十九頁，共38頁。在Fs 作用下，C 截面未產(chǎn)生明顯的塑性變形，F(xiàn) 還可繼續(xù)增加。(1)可得(2)30第三十頁，共38頁。 1. 當(dāng)FsFMu時(shí)，塑性鉸不能承受MMu的彎矩，它的作用為鉸。卸載時(shí)，MMu，塑性鉸不起鉸的作用，可以承受彎矩。34第三十四頁，共38頁。(2) 超靜定梁理想彈塑性材料制成的超靜定梁如圖所示。1. 圖a. 在彈性范圍內(nèi)，解此超靜定梁，可知A截面的彎矩最大。Fs為屈服荷載(A截面上的smaxss時(shí)的荷載)，A截面上的彎矩為屈服彎矩Ms，即Ms=3Fsl /16。由此得(1)ACB（a）35第三十五頁，共38頁。2. 圖b. F增加到F1時(shí)，A截面的彎矩首先達(dá)到極限彎矩Mu，A截面出現(xiàn)塑性鉸。梁成為兩端鉸支的靜定梁。C截面的彎矩為荷載還可以繼續(xù)增加。在荷載增加的過程中，A截面上的彎矩MA=Mu保