概率論第二章課件

1、 概率統(tǒng)計教研室 2012第2章 隨機變量的分布及其數(shù)字特征隨機變量 分布函數(shù) 離散型隨機變量及其分布連續(xù)型隨機變量及其分布 正態(tài)分布 隨機變量函數(shù)的分布 隨機變量的數(shù)字特征 概率統(tǒng)計教研室 2012 2.1.1 隨機變量 (Random Variable) 為了更有效地研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律，需要引入微積分作為工具，這就需要用變量的形式來表達隨機現(xiàn)象。先考察下列兩個隨機試驗的例子 例2.1 某人拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。 試驗結(jié)果的事件表達形式：出現(xiàn)1點；出現(xiàn)2點；出現(xiàn)3點； 出現(xiàn)4點；出現(xiàn)5點；出現(xiàn)6點。 如果令 表示出現(xiàn)的點數(shù)，則 的可能取值為 于是，試驗結(jié)果的變量表示為： “出現(xiàn)1點”

2、 ； “出現(xiàn)2點” “出現(xiàn)3點” ； “出現(xiàn)4點” “出現(xiàn)5點” ； “出現(xiàn)6點” 2.1 隨機變量 分布函數(shù) 概率統(tǒng)計教研室 2012例2.2 某人擲硬幣試驗，觀察落地以后出現(xiàn)在上面的面。 試驗結(jié)果的事件表達形式： 國徽面在上面；有字面在上面 如果 表示國徽面在上面， 表示有字面在上面。 則試驗結(jié)果的變量表示為： “國徽面在上面” “有字面在上面”特點： 試驗結(jié)果數(shù)量化了，試驗結(jié)果與實數(shù)建立了對應(yīng)關(guān)系，而且變量取值隨著試驗結(jié)果的變化而變化。 概率統(tǒng)計教研室 2012定義1： 設(shè) 是一隨機試驗，其樣本空間為 ，如果對于 中的每一個樣本點，都有一個實數(shù) 與之對應(yīng)，并且 滿足： （1） 是由 唯一

3、確定； （2）對任意給定的實數(shù) ，集合 都表示一個有概率的事件。 則稱 為一隨機變量(Random Variable)。 概率統(tǒng)計教研室 2012 隨機變量舉例與分類 例2.3 某人拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù) 的可能取值為 。 例2.4 某個燈泡的使用壽命 的可能取值為 。 例2.5 一部電話總機在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù) 的可能取值為 。 例2.6 為在 區(qū)間上隨機移動的點，該點的坐標(biāo) 的可能取值為 。 從隨機變量取值的有限無限個，及方式的可列不可列的角度來看，隨機變量可做如下分類： 概率統(tǒng)計教研室 2012隨機變量的分類離散型隨機變量非離散型隨機變量連續(xù)型非連續(xù)型有限或無窮可列取值無窮且不

4、可列取值 概率統(tǒng)計教研室 2012 （1）對于任意 ，有 （非負(fù)有界性）； （2） （規(guī)范性）； （3）對于任意 有 （非減性）； （4） 在每一點至少是右連續(xù)的（連續(xù)性）。 若已知隨機變量 的分布函數(shù) ，則對于任意 有分布函數(shù)的性質(zhì) 概率統(tǒng)計教研室 2012例2.7 已知隨機變量 的所有可能取值為 ，取各值的概 率分別為 ，試求隨機變量的分布函數(shù)并作其圖像。解：由題設(shè)隨機變量的概率分布為0.30.30.4210由分布函數(shù)的定義有 當(dāng) 時， ； 當(dāng) 時， 當(dāng) 時， ； 當(dāng) 時， 。 分布函數(shù)圖像如圖2.1所示圖2.1 概率統(tǒng)計教研室 2012 2.2 離散型隨機變量及其分布 2.2.1. 離散

5、型隨機變量 定義1：如果隨機變量所有可能取值為有限或無窮可列，則該隨機變 量稱為離散型隨機變量。 定義2：設(shè)離散型隨機變量 的所有可能取是 ，而取值 的概率為 ，即有則稱該式為隨機變量 的概率函數(shù)。其也可以用下表表達：并稱其為隨機變量 的概率分布列，簡稱分布列。 還可以通過作圖直觀表示，稱為隨機變量的概率分布圖或概率函數(shù)圖 。 概率統(tǒng)計教研室 2012概率函數(shù)的兩個基本性質(zhì): （1） （非負(fù)性） （2） （歸一性）。 例2.8 設(shè)袋中有五個球，3個白球2個黑球。從中任取兩球，以表示取到的黑球數(shù)。求其概率函數(shù)及其概率分布函數(shù)。 解： 的可能取值為 分別表示事件“沒有取到黑球”、“取到一個黑球”、

6、 “取到兩個黑球”，則其概率函數(shù) 當(dāng) 時，； 當(dāng) 時，當(dāng) 時， 概率統(tǒng)計教研室 2012 當(dāng) 時，所以， 的分布函數(shù)為 概率函數(shù)和分布函數(shù)用于描述隨機變量的變化規(guī)律，之間的關(guān)系為： 已知概率函數(shù)求分布函數(shù) 概率統(tǒng)計教研室 2012 2.2.2 常見的離散型隨機變量的概率分布 引入隨機變量的概念以后，客觀世界中的許多隨機現(xiàn)象，如果拋開其所涉及的具體內(nèi)容，實質(zhì)上可以用同一個概率模型即概率分布來表達。1.等概分布設(shè) 為離散型隨機變量，若其分布列為： 則 稱服從等概分布。該分布滿足： (1) 非負(fù)性： (2) 規(guī)范性： 概率統(tǒng)計教研室 20122.兩點分布（0-1分布） 若隨機變量 的分布表為其中 ，

7、則稱 服從參數(shù)為 的兩點分布。記作 。 兩點分布所能刻畫的隨機現(xiàn)象： 凡是隨機試驗只有兩個可能的結(jié)果，都可以兩點分布作為其概率模型。例如：擲硬幣觀察正反面，產(chǎn)品是否合格，人口性別統(tǒng)計，系統(tǒng)是否正常，電力消耗是否超負(fù)荷等等。 例如，投一枚均勻的骰子，觀察向上面的點數(shù)，用 表示向上面的點數(shù)，則 服從的等概分布。 概率統(tǒng)計教研室 2012 二項分布的概率函數(shù)就是二項式 展開式中的通項（這里 ），所以稱之為二項分布。分布中，當(dāng) 時，就是兩點分布，其概率函數(shù)為 (1) 非負(fù)性： 則稱 服從參數(shù)為 的二項分布（Binomial distribution），記為若離散型隨機變量 的概率函數(shù)為： 3.二項分布

8、 顯然，二項分布的概率函數(shù)滿足：(2) 規(guī)范性： 概率統(tǒng)計教研室 2012例2.10 設(shè)某學(xué)生在期末考試中，共有5門課程要考，已知該學(xué)生每門課程及格的概率為0.8。試求該學(xué)生恰好有3門課及格的概率和至少有3門課及格的概率。 解: 設(shè) 表示該學(xué)生恰好有3門課及格； 表示該學(xué)生至少有3門課及格。顯然，這是一個5重貝努里概型，從而有 凡是 重貝努里概型中隨機事件 發(fā)生次數(shù)的概率分布規(guī)律都可用二項分布來刻畫。 概率統(tǒng)計教研室 2012例2.11 某保險公司以往資料顯示，索賠要求中有8%是因為被盜而提出來的。現(xiàn)已知該公司某個月共收到10個索賠要求，試求其中包含4個以上被盜索賠要求的概率。 解: 設(shè) 表示

9、10個索賠要求中被盜索賠要求的個數(shù)，則 于是，所求概率為 即10各索賠要求中有4個以上被盜索賠要求的概率為0.00059通過該例題的求解，可以看出：二項分布當(dāng)參數(shù) 很大，而 很小時，有關(guān)概率的計算是相當(dāng)麻煩的。甚至有時借助于計算工具也難實現(xiàn)。為了解決這種情況下的二項分布有關(guān)概率計算問題，1837年法國數(shù)學(xué)家S. D. Poisson 提出了以下定理。 概率統(tǒng)計教研室 2012Poisson定理 設(shè)隨機變量 ， 若 時，有 ，則有 證明：令 ，于是有 對于固定的 有 所以 概率統(tǒng)計教研室 2012 4泊松（Poisson）分布 若隨機變量 的概率函數(shù)為則稱 服從參數(shù)為 的泊松分布，記為 。 若中

10、獎的的概率為1%，連續(xù)購買400次，則該人至少中獎一次的概率為 。這表明隨著實驗次數(shù)的增多，小概率事件是會發(fā)生的！顯然，泊松分布的概率函數(shù) 滿足： (1) 非負(fù)性：； (2) 規(guī)范性： 概率統(tǒng)計教研室 2012泊松分布所能刻畫隨機現(xiàn)象： 服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)； 交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)； 礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù)； 顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目； 單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目； 單位時間內(nèi)市級醫(yī)院急診病人數(shù)； 一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)。 特別注意: 體積相對較小的物質(zhì)，在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其參數(shù) 可以由觀測值的平均值求出。 概率統(tǒng)

11、計教研室 2012（設(shè) 時) (1) 非負(fù)性： 都是正整數(shù)，且為參數(shù)，則稱 服從參數(shù)為 的超幾何分布，記作 。 顯然，它的概率函數(shù)式滿足：設(shè)離散型隨機變量 的概率函數(shù)為： 5超幾何分布 (2) 規(guī)范性： 概率統(tǒng)計教研室 2012思考：幾個常見的離散型隨機變量分布的關(guān)系？ 概率統(tǒng)計教研室 2012作業(yè)：P75 習(xí)題二： 1. 2. 3. 概率統(tǒng)計教研室 2012成立，則稱 為連續(xù)型隨機變量。 為連續(xù)型隨機變量 的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。 Def 設(shè)隨機變量 的分布函數(shù)為 ，如果存在非負(fù)的可積函數(shù) ，使得對任意的 ，有2.3 連續(xù)型隨機變量及其分布 2.3.1 連續(xù)型隨機變量 可以證明，連續(xù)型

12、隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。隨機變量的概率密度函數(shù)具有如下兩條基本性質(zhì)：(1)(2) 概率統(tǒng)計教研室 2012(3) 對任意給定的 ， ；(4) 在 的連續(xù)點處，總有 ；(5) 連續(xù)型隨機變量 取任一點 的概率始終為零，即 證明：對任意的 ，令 ，則 由 ，有 由于 是連續(xù)型隨機變量，其分布函數(shù) 是連續(xù)函數(shù)，當(dāng) 時，有 所以 。 概率統(tǒng)計教研室 2012 該性質(zhì)表明連續(xù)型隨機變量的概率分布不能用逐點取值的概率表達，而只能用概率密度來表達。 由此，對于連續(xù)型隨機變量 ，有如下的結(jié)果：設(shè)任意的實數(shù) ，有 概率統(tǒng)計教研室 2012求系數(shù) 的值； 在區(qū)間內(nèi) 取值的概率； 的分布函數(shù)。 例2.14 設(shè)

13、隨機變量 的概率密度函數(shù)為:解：由概率密度函數(shù)性質(zhì)（2）知 所以 概率統(tǒng)計教研室 2012當(dāng) 時， ； 當(dāng) 時， 當(dāng) 時， 由式 知從而得 概率統(tǒng)計教研室 2012 例2.15 設(shè)隨機變量 的分布函數(shù)為 求系數(shù) ； 在區(qū)間 內(nèi)取值的概率； 的密度函數(shù)。解：由 ， ，有 概率統(tǒng)計教研室 2012 解得 ， 。 注意：如果隨機變量 具有以上形式的密度函數(shù) ，則 稱服從柯西分布(Cauchy distribution)。 概率統(tǒng)計教研室 2012Def 若隨機變量 的概率密度函數(shù)為則稱隨機變量 服從區(qū)間 上的均勻分布，記為 均勻分布所能刻畫隨機現(xiàn)象： “等可能”地取區(qū)間 中的值。這里的“等可能”理解

14、為： 落在區(qū)間 中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的；或者說它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān)。這正是幾何概型的情形。 2.3.2 幾個常見的連續(xù)型隨機變量的概率分布 1. 均勻分布（Uniform Distribution） 概率統(tǒng)計教研室 2012即 ，則對任意滿足 的 ，總有 這表明， 落在 的子區(qū)間 上的概率，只與子區(qū)間的長度 有關(guān)（成正比），而與子區(qū)間在區(qū)間 中的具體位置無關(guān)。 均勻分布無論在理論上還是應(yīng)用上都非常有價值。例2.16 某市規(guī)定公共汽車每隔10分鐘發(fā)一趟班車，即每隔10分鐘就要有一輛公共汽車經(jīng)過公共汽車站。一位乘客隨機地來到一個公共汽車站，問

15、等車時間在5分鐘之內(nèi)的概率是多少？ 概率統(tǒng)計教研室 2012解： 設(shè)公共汽車均勻地來到車站，乘客的等車時間可以看作是區(qū)間 上的均勻分布。則有 若用分布函數(shù)計算有 概率統(tǒng)計教研室 2012 均勻分布的概率密度函數(shù)滿足(1) 非負(fù)性： (2) 規(guī)范性： 其圖像為圖2.1 概率統(tǒng)計教研室 2012均勻分布的分布函數(shù)為求解過程黑板演示。 概率統(tǒng)計教研室 2012 2. 指數(shù)分布（Exponential Distribution） Def 若隨機變量 的概率密度函數(shù)為則稱隨機變量 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，記為 例2.17 設(shè) 在 上服從均勻分布，求方程有實根的概率。 解: 方程有實數(shù)根等價于 ，即 ；

16、所求概率為 。 概率統(tǒng)計教研室 2012 指數(shù)分布的概率密度函數(shù)滿足 （1）非負(fù)性： ； （2）歸一性： 其圖像為： 概率統(tǒng)計教研室 2012 指數(shù)分布的分布函數(shù)為： 求解過程與均勻分布類似，省略。 指數(shù)分布所能刻畫隨機現(xiàn)象： 隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間； 電話的通話時間； 無線電元件的壽命；動植物的壽命。 概率統(tǒng)計教研室 2012 例2.18 設(shè) 服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，試寫出它的密度函數(shù)并求 。 解: 的概率密度為 例2.19 多年統(tǒng)計經(jīng)驗表明，某廠生產(chǎn)的電視機壽命 （單位：萬小時）。某人購買了一臺該廠生產(chǎn)的電視機，問其壽 命超過4萬小時的概率是多少？ 解：所求的概率為 概率統(tǒng)計教研室 20

17、12其中 ， ， 為參數(shù)，分別為形狀、尺度和位置參數(shù)。則稱 服從威布爾分布（Weibull distribution），記作 。 若連續(xù)型隨機變量 具有密度函數(shù) 3威布爾分布 概率統(tǒng)計教研室 2012 當(dāng)參數(shù) ， 時， 變?yōu)闉榍懊娼榻B過的指數(shù)分布 ，這里參數(shù) 。 對于參數(shù)取不同的值，可以得出不同的曲線，其多樣性使威布爾分布的適應(yīng)性比較廣泛，在很多方面都有應(yīng)用，比如在農(nóng)林科學(xué)中可以用以描述樹高和胸徑的近似分布。 概率統(tǒng)計教研室 2012 其中參數(shù) 滿足 ，則稱隨機變量 服從參數(shù)為 的正態(tài)分布，記為 。 2.4 正態(tài)分布（Normal Distribution）2.4.1正態(tài)分布 Def 若隨機變

18、量 的概率密度函數(shù)為 概率統(tǒng)計教研室 2012正態(tài)分布概率密度函數(shù)的圖像特點： 圖像呈單峰狀； 圖像關(guān)于直線 對稱； 圖像在點 處有拐點； 圖像以 軸為水平漸近線。Gauss參數(shù) 對密度曲線的影響 相同 不同密度曲線情況位置參數(shù)變化 概率統(tǒng)計教研室 2012 相同 不同密度曲線情況形狀參數(shù)變化 正態(tài)分布的密度函數(shù)滿足：（1）非負(fù)性 （2）歸一性 概率統(tǒng)計教研室 2012 正態(tài)分布的分布函數(shù)為 其圖像是一條S型曲線，如下 概率統(tǒng)計教研室 2012正態(tài)分布所能刻畫隨機現(xiàn)象： 若隨機變量 受到眾多相互獨立的隨機因素的影響，每一個別因素的影響都是微小的，而且這些影響具有加性特征則 服從正態(tài)分布。例如：

19、 各種測量的誤差；人的生理特征指標(biāo)； 工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量； 海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強度； 熱噪聲電流強度；學(xué)生們的考試成績等等。正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，體現(xiàn)在以下方面： 正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的 隨機現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的。事實上如果一個隨機指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個因素都不起決定性作用，則該隨機指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布。 正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布。 正態(tài)分布有許多其它分布所不具備的良好的性質(zhì)。 概率統(tǒng)計教研室 20122.4.2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 定義：在正態(tài)分布的概率密度函數(shù)中，如果 時，即若隨機變量

20、的概率密度為 則稱 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（Standard Normal istrution），記作 其分布函數(shù)為 概率統(tǒng)計教研室 2012標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)圖為：由圖可以看出，該曲線為以 軸為對稱軸的單峰曲線。 概率統(tǒng)計教研室 2012 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計算 可以由分布函數(shù)與其密度函數(shù)的關(guān)系解決： 因為 ，所以 直接查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表 即可解決概率計算。 思考：一般正態(tài)分布的概率計算也可以制表解決么？為什么？ 概率統(tǒng)計教研室 2012利用查表法計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值 例2.20 設(shè)隨機變量 ，試求 解: 查表知 所以有 概率統(tǒng)計教研室 2012 一般正態(tài)分布的概率計算（標(biāo)準(zhǔn)化變換

21、） 分布函數(shù) 在求解一般正態(tài)分布的概率計算問題時，先將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問題，然后利用查表法可計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值，從而解決概率計算問題。 概率統(tǒng)計教研室 2012定理2.4.1 設(shè) ，令 ，則 也是一個隨機變量，且 。 證明：設(shè)隨機變量 的分布函數(shù)為 ，概率密度函數(shù)為 。由分布函數(shù)的定義知 概率統(tǒng)計教研室 2012 由此，易知隨機變量 的概率密度函數(shù)為 這恰好是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，所以 。 這里稱變換 為標(biāo)準(zhǔn)化變換。 若 ，則 的分布函數(shù)為 概率統(tǒng)計教研室 2012從而有 也就是說，借助標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表即可解決一般正態(tài)分布隨機變量的概率計算問題。 概率統(tǒng)計教研室 2

22、012例2.21 設(shè) ，計算 的值。解： 概率統(tǒng)計教研室 2012例2.22 若 ，求 的值，此處 為常數(shù)。解： 概率統(tǒng)計教研室 2012由上例題可以得到，常用來作為質(zhì)量控制依據(jù)的“ ”準(zhǔn)則。即 據(jù)此認(rèn)為 隨機變量 落在 之外幾乎不可能，因為其概率僅為0.26%。 概率統(tǒng)計教研室 2012 2.4.3 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù) 雙側(cè)分位數(shù) Def 設(shè)隨機變量 ，對于給定的 ，如果實數(shù) 滿足 ，則稱 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布關(guān)于 的雙側(cè)分位數(shù)。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)的意義如下圖所示。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)的計算：由定義可知 直接查附表即可。 概率統(tǒng)計教研室 2012統(tǒng)計中常用的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位數(shù)有

23、概率統(tǒng)計教研室 2012單側(cè)分位數(shù) 設(shè) ，若有 滿足 ，則稱 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 上側(cè)分位數(shù)。 設(shè) 若有 滿足 ，則稱 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 下側(cè)分位數(shù)。 上下側(cè)分位數(shù)的意義如下圖所示。 概率統(tǒng)計教研室 2012上側(cè)分位數(shù)下側(cè)分位數(shù) 概率統(tǒng)計教研室 2012上側(cè)分位數(shù)的計算： 由定義知 ，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表即可得 ?；蛘呖捎呻p側(cè)分位數(shù)與上側(cè)分位數(shù)之間的關(guān)系求得： 即關(guān)于 的上側(cè)分位數(shù)就等于關(guān)于 的雙側(cè)分位數(shù)。下側(cè)分位數(shù)的計算： 下側(cè)分位數(shù)就等于上側(cè)分位數(shù)的相反數(shù)。 例如： 概率統(tǒng)計教研室 2012一般正態(tài)分布的分位數(shù)計算： 對一般正態(tài)分布的隨機變量 ，要求 的 。 先由 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得 再

24、由 求得分位數(shù) 概率統(tǒng)計教研室 2012例2.23 某省高考采用標(biāo)準(zhǔn)化計分方法，并認(rèn)為考生成績 服從正態(tài)分布 。如果某一科的錄取率為30.9%，問錄取分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃定在多少分以上？ 解：假設(shè)錄取分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃定在 分以上，由來確定 由于 查正態(tài)分布表得 故 概率統(tǒng)計教研室 2012作業(yè)：P75 習(xí)題二： 5. 6. 8. 9. 10. 概率統(tǒng)計教研室 2012 例2.24 已知 的分布如下。求 及 的概率分布。 在實際問題中，不僅要研究隨機變量，往往還要研究隨機變量函數(shù)的分布。本節(jié)將討論如何由已知的隨機變量 的分布，求 的函數(shù) 的分布。在這里， 是一個已知的連續(xù)函數(shù)。 2.5 隨機變量函數(shù)的分布 2.

25、5.1離散型隨機變量函數(shù)的分布 -1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4解 ， 的分布如表2.7與表2.8所示。 概率統(tǒng)計教研室 2012 -2 0 2 40.2 0.3 0.1 0.4 0 1 4 0.1 0.7 0.2 概率統(tǒng)計教研室 2012這個例子給出了計算離散型隨機變量函數(shù)分布的一般方法，歸納起來如下： 設(shè) 是離散型隨機變量，概率分布如下表, 是連續(xù)函數(shù)，則 也是離散型隨機變量。求 的概率分布步驟如下：（1）計算 的函數(shù)值（2）計算相應(yīng)取值的概率，分兩種情況： 概率統(tǒng)計教研室 2012（1）用隨機變量 的概率密度函數(shù)表示 的分布函數(shù)；（2）對 的分布函數(shù)關(guān)于 求導(dǎo)，得 的概率

26、密度函數(shù)。 2.5.2 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率密度 的一般計算方法，即所謂的分布函數(shù)法：若 兩兩互不相同，則 的概率分布為 若 中有相同的取值，則將這些相同的值合并，把相應(yīng)的概率函數(shù)的 取值相加，就得出 的概率分布。 概率統(tǒng)計教研室 2012 例2.25 設(shè)隨機變量 ，令 ，求 的概率密度函數(shù)。解：設(shè) 分別為隨機變量 的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)，則當(dāng) 時，有 當(dāng) 時，有 又由 得的概率密度函數(shù)為 概率統(tǒng)計教研室 2012通常稱上式中的 服從對數(shù)正態(tài)分布（Logarithms Normal Distribution），它是研究壽命問題常用的概率分布。 概率統(tǒng)計教研室 2

27、012 例2.26 已知連續(xù)型隨機變量 的密度函數(shù)是 ，求 的概率密度函數(shù)。解：令 的分布函數(shù)為 ，而 是 的分布函數(shù)， 是 的密度函數(shù)。由分布函數(shù)的定義有當(dāng) 時， 不可能成立，故 ， 當(dāng) 時，從而有 概率統(tǒng)計教研室 2012所以， 的概率密度函數(shù)為 例2.27 設(shè) 為連續(xù)型隨機變量，令 （ 為任意實數(shù)），求 的概率分布。 概率統(tǒng)計教研室 2012當(dāng) 時，解：設(shè) 的分布函數(shù)與密度函數(shù)分別為 ， ，則當(dāng) 時 概率統(tǒng)計教研室 2012所以， 的密度函數(shù)為 例2.28 設(shè) ，即概率密度函數(shù)為求 的概率分布。（2.5.1） 概率統(tǒng)計教研室 2012解：令 的密度函數(shù)為 ，由上例的結(jié)果有 顯然， 服從正

28、態(tài)分布 。這一結(jié)果表明：服從正態(tài)分布的隨機變量的線性函數(shù)仍為正態(tài)分布， 概率統(tǒng)計教研室 2012求連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布的方法還有公式法： 定理2.5.1 設(shè) 的密度函數(shù)為 ，令 。如果 是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，且處處可導(dǎo)。則 是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為其中 為 的反函數(shù)。 證明略。 概率統(tǒng)計教研室 2012 例2.29 設(shè)隨機變量 ，令 。求 的概率密度函數(shù)。 解：設(shè) 的密度函數(shù)為 。由于是嚴(yán)格的單調(diào)上升的可導(dǎo)增函數(shù)，其反函數(shù) 也是嚴(yán)格單調(diào)上升的可導(dǎo)函數(shù)。從而，由上述定理知的 概率密度函數(shù)為： 概率統(tǒng)計教研室 20122.6隨機變量的數(shù)字特征 在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道

29、了隨機變量 的概率分布，那么， 的全部概率特征也就知道了. 然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了. 因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的 . 概率統(tǒng)計教研室 2012 2.6.1 數(shù)學(xué)期望 以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均 ，反映了這7位同學(xué)高數(shù)成績的平均狀態(tài)。 1 引例 用7名學(xué)生的高數(shù)成績來考察高數(shù)的成績狀況。設(shè)某7學(xué)生的高數(shù)成績?yōu)?0，85，85，80，80，75，60，則他們的平均成績?yōu)?概率統(tǒng)計教研室 2012分析： 如果選擇另外的7名學(xué)生做同樣的考查，則會得到一組不同的頻率，由

30、此可知頻率具有觀測的隨機波動性，用概率代替頻率，則可消除隨機波動對頻率的影響。由此得到的平均值為理論上真正的平均值，且其為確定的數(shù)值，我們稱其為隨機變量的數(shù)學(xué)期望。 概率統(tǒng)計教研室 2012數(shù)學(xué)期望的定義 定義2.6.1 （離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望） 設(shè)離散型隨機變量 的概率函數(shù)為 若級數(shù) 絕對收斂，則稱 的值為離散型隨 機變量 的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記作 。即若級數(shù) ，則稱 的數(shù)學(xué)期望不存在。 概率統(tǒng)計教研室 2012定義2.6.2 （連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望） 設(shè)連續(xù)型隨機變量 的概率密度函數(shù)為 ，若積分 絕對收斂，則稱 的值為連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記作 。即

31、若 ，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在 概率統(tǒng)計教研室 2012 隨機變量數(shù)學(xué)期望的意義 隨機變量的數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量所有可能取值的平均值，是隨機變量取值的最好代表。 例2.30 已知隨機變量 的概率分布率為 求 解：由離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望定義得 4561/41/21/4 概率統(tǒng)計教研室 2012例2.31 設(shè)連續(xù)型隨機變量 的概率密度函數(shù)為求 解：由定義可得或利用奇函數(shù)的性質(zhì) 概率統(tǒng)計教研室 2012常用隨機變量的數(shù)學(xué)期望 （1）兩點分布 若隨機變量 服從兩點分布，即其分布列為 其中則 （2）二項分布 若 ，則其概率函數(shù)為 概率統(tǒng)計教研室 2012 其中故 所以 ，則 概率統(tǒng)計教研室 2012用

32、 表示一天中調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，則 ，其中 ，所求期望 例2.32 某種產(chǎn)品的次品率為0.1，檢驗員每天檢驗4次，每次隨機抽取10件產(chǎn)品進行檢驗，如果發(fā)現(xiàn)其中次品數(shù)大于1，則應(yīng)調(diào)整設(shè)備。設(shè)各種產(chǎn)品是否為次品是相互獨立的，求一天中調(diào)整設(shè)備次數(shù)的期望。 解：用 表示10件產(chǎn)品中次品數(shù)，則 ，從而每次檢驗后需要調(diào)整設(shè)備的概率 概率統(tǒng)計教研室 2012（3）泊松分布 若 ，則其概率函數(shù)為其中 于是所以若 ，則 概率統(tǒng)計教研室 2012（4）超幾何分布 若 ，則其概率函數(shù)為故 概率統(tǒng)計教研室 2012所以若 ，則（5）均勻分布 若 ，則其概率密度函數(shù)為于是 概率統(tǒng)計教研室 2012（6）指數(shù)分布 若 ，則其

33、概率密度函數(shù)為 其中 故 概率統(tǒng)計教研室 2012（7）正態(tài)分布 若 ，則其概率密度函數(shù)為 于是 概率統(tǒng)計教研室 2012說明： （1）計算過程中，用到兩點，一是 因為被積函數(shù)是奇函數(shù)，且為關(guān)于原點對稱區(qū)間上的積分；二是 （2）結(jié)果說明正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望正是它的第一個參數(shù)，即 是正態(tài)隨機變量取值的中心。 概率統(tǒng)計教研室 2012 一元隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望是隨機變量 的函數(shù)（1）離散型（2）連續(xù)型 概率統(tǒng)計教研室 2012該公式的重要性在于: 當(dāng)我們求Eg(X)時, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便.解：因為 概率統(tǒng)計教研室 2012

34、例2.34 已知 的分布表如下，試求 及 的數(shù)學(xué)期望。 解： 概率統(tǒng)計教研室 2012利用X的分布可求出 的分布是自由度為1的卡方分布 即若 ，則 ， 且 。 例2.35 已知隨機變量 ，求 的數(shù)學(xué)期望。解：由定義計算 概率統(tǒng)計教研室 2012 隨機變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1. 設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C； 2. 若k是常數(shù)，如果隨機變量 的數(shù)學(xué)期望存在，則 的數(shù)學(xué)期望也存在，即E(kX)=kE(X)； 3. 如果隨機變量 的數(shù)學(xué)期望存在，則 的數(shù)學(xué)期望也存在，即 概率統(tǒng)計教研室 2012例2.36 獨立地操作兩臺儀器，他們發(fā)生故障的概率分別為p1和p2.證明：產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為 p1

35、 + p2設(shè)產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目為X則X的所有可能取值為0,1,2所以，產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望 概率統(tǒng)計教研室 2012數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個應(yīng)用An application of Expected Value in Medicine 考慮用驗血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每10個人一組，把這10個人的血液樣本混合起來進行化驗。如果結(jié)果為陰性，則10個人只需化驗1次；若結(jié)果為陽性，則需對10個人再逐個化驗，總計化驗11次。假定人群中這種病的患病率是10%，且每人患病與否是相互獨立的。試問：這種分組化驗的方法與通常的逐一化驗方法相比，是否能減少化驗次數(shù)？分析：設(shè)隨機抽取的10人組所

36、需的化驗次數(shù)為X，需要計算X的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較 概率統(tǒng)計教研室 2012 化驗次數(shù)X的可能取值為1，11先求出化驗次數(shù)X的分布律X=1=“10人都是陰性”X=11=“至少1人陽性”結(jié)論：分組化驗法的次數(shù)少于逐一化驗法的次數(shù)。注意求 X期望值的步驟！問題的進一步討論 1.概率p對是否分組的影響？2.概率p對每組人數(shù)n的影響? 概率統(tǒng)計教研室 2012 數(shù)學(xué)期望在使用過程中也有不便之處，主要是由于對于比較復(fù)雜的分布,計算上比較繁瑣；對于有的分布，數(shù)學(xué)期望不存在；用試驗觀測數(shù)據(jù)計算數(shù)學(xué)期望時，若試驗觀測數(shù)據(jù)中有一些離群的數(shù)據(jù)（通常是指極大、極小的極端值），而又沒有充分根據(jù)剔除它們的時候，用數(shù)

37、學(xué)期望來代表全體數(shù)據(jù)取值的平均水平不是很理想。為此，概率論與數(shù)理統(tǒng)計中，引入如下定義表達“平均值”的數(shù)字特征。 概率統(tǒng)計教研室 2012 中位數(shù) 定義2.6.3 設(shè) 是隨機變量 的分布函數(shù)，如果存在實數(shù) ，使得 ，則稱實數(shù) 為隨機變量 的中位數(shù)，記作： 說明： 直觀上， 的中位數(shù) 反映“ 取值比 小及比 大的可能性相等”這種意義下的“平均值”。 例2.37 設(shè) ，試求其中位數(shù) 解：因為 ，故 ，于是 正態(tài)分布的中位數(shù)與數(shù)學(xué)期望一致。 概率統(tǒng)計教研室 2012例2.38 設(shè)連續(xù)型隨機變量 的分布函數(shù)為求 ； 。 解： 首先求出密度函數(shù)由于所以 不存在。 概率統(tǒng)計教研室 2012因為要使 ，即須

38、，所以 是其中位數(shù)，即 概率統(tǒng)計教研室 2012作業(yè)：P75 習(xí)題二： 1113. 17. 20. 21. 23. 概率統(tǒng)計教研室 2012 2.6.2 方差 Variance 定義：設(shè) 是一隨機變量，如果 存在，則稱為 的方差，記作 或 方差的計算公式 與 有相同的量綱均方差（標(biāo)準(zhǔn)差） 即 概率統(tǒng)計教研室 2012引理： 概率統(tǒng)計教研室 2012離散型設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布密度為 f (x)方差的統(tǒng)計意義 隨機變量的方差反映了隨機變量所有可能取值偏離其均值 的平均偏差程度。 常見隨機變量的方差 概率統(tǒng)計教研室 20121二點分布 由前面知識可知 ，而所以 2二項分布 設(shè)