浙江省杭州之江高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

1、PAGE 浙江省杭州之江高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）.1若一個球的直徑為2，則此球的表面積為（）A2B16C8D42“2x2+x0”是“x0”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件3兩圓x2+y26y0和x2+y28x+120的位置關(guān)系為（）A相交B外切C內(nèi)切D相離4設(shè)A為圓x2+y22x0上的動點(diǎn)，PA是圓的切線且|PA|1，則P點(diǎn)的軌跡方程是（）A（x1）2+y24By22xC（x1）2+y22Dy22x5已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）ABCD6三條不重

2、合的直線a，b，c及三個不重合的平面，下列命題正確的是（）A若a，a，則B若a，則aC若a，b，c，ca，cb，則D若a，c，c，c，則a7如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為線段A1C1的中點(diǎn)，則異面直線DE與B1C所成角的大小為（）A15B30C45D608拋物線y22x上的點(diǎn)到直線距離的最小值是（）A3BCD9已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點(diǎn)P使得F1PF2是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（）ABCD10如圖，在菱形ABCD中，BAD60，線段AD，BD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，K，連接EF，F(xiàn)K現(xiàn)將ABD繞對角線BD旋轉(zhuǎn)，令二面角ABDC的平面角為，則在旋轉(zhuǎn)

3、過程中有（）AEFKBEFKCEDKDEDK二、填空題：本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題6分，共36分.11已知雙曲線1，則該雙曲線的漸近線方程為 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 12若直線m：2x4y30與n：3x+ay120平行，則a ，兩直線間的距離是 13圓x2+y2+4x2y+40上的點(diǎn)到直線yx1的最近距離為 ，最遠(yuǎn)距離為 14已知向量（2，1，3），（1，4，2），（7，5，），若，則 ，若，共面，則 15已知圓x2+y26x70與拋物線y22px（p0）的準(zhǔn)線相切，則p 16如圖，三棱錐SABC中，若AC2，SASBSCABBC4，E為棱SC的中點(diǎn)，則直線AC與BE所成角的余弦值為

4、 17已知一個圓經(jīng)過直線l：2x+y+40與圓C：x2+y2+2x4y0的兩個交點(diǎn)，并且有最小面積，則此圓的方程為 三、解答題：本大題共5小題，滿分74分，解答須寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.18已知拋物線C：y22px（p0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P（1，2）在拋物線C上（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)和拋物線C的準(zhǔn)線方程；（2）過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩個不同點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M（3，2），求OAB的面積19如圖，ABCD是正方形，直線PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中點(diǎn)（1）證明：直線PA平面EDB；（2）求直線PB與平面ABCD所成角的正切值20如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中

5、，已知AA1BCAB2，ABBC（1）求四棱錐A1BCC1B1的體積；（2）求二面角B1A1CC1的大小21設(shè)橢圓C：1（ab0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，B為短軸的一個端點(diǎn)，且S，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值為1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）若點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)22已知兩定點(diǎn)，點(diǎn)P是曲線E上任意一點(diǎn)，且滿足條件求曲線E的軌跡方程；若直線ykx1與曲線E交于不同兩點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，求k的范圍參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）.1若一個球的直徑為2，則此球的表面積為（）A2B16C8D4解：球的直徑為2，該球的半徑為1，可得該球的表面積為S4R

6、24124故選：D2“2x2+x0”是“x0”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解：由2x2+x0，解得：x0或x2，故“x0或x2“是“x0”的必要不充分條件，故“2x2+x0”是“x0”的必要不充分條件，故選：B3兩圓x2+y26y0和x2+y28x+120的位置關(guān)系為（）A相交B外切C內(nèi)切D相離解：圓x2+y26y0的圓心（0，3）半徑為3；x2+y28x+120圓心（4，0）半徑為2，圓心距為5，半徑和為3+25，兩個圓的位置關(guān)系是外切故選：B4設(shè)A為圓x2+y22x0上的動點(diǎn)，PA是圓的切線且|PA|1，則P點(diǎn)的軌跡方程是（）A（x1）2+y24B

7、y22xC（x1）2+y22Dy22x解：圓x2+y22x0可化為（x1）2+y21，由題意可得圓心C（1，0）到P點(diǎn)的距離為，所以點(diǎn)P在以（1，0）為圓心， 為半徑的圓上，所以點(diǎn)P的軌跡方程是（x1）2+y22故選：C5已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）ABCD解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為底面半徑為，高為2的圓柱的，挖去一個半徑為的半球；故：V故選：A6三條不重合的直線a，b，c及三個不重合的平面，下列命題正確的是（）A若a，a，則B若a，則aC若a，b，c，ca，cb，則D若a，c，c，c，則a解：在正方體中可以判斷，A命題不正確；設(shè)作a，a是過a直線

8、上一點(diǎn)O的直線，a，a，a，a，a，而2個平面的交線只有一條，a與a重合，故a，故答案B是 正確的命題當(dāng)ab時，C命題不正確；當(dāng)，兩兩相交于同一條直線a時，也存在a，c，c，c，這種情況，故D命題不正確，故選：B7如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為線段A1C1的中點(diǎn)，則異面直線DE與B1C所成角的大小為（）A15B30C45D60解：分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，可得D（0，0，0），E（1，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），（1，1，2），（2，0，2），cos，異面直線DE與B1C所成角的余弦值為異面直線DE與

9、B1C所成角的大小為：30故選：B8拋物線y22x上的點(diǎn)到直線距離的最小值是（）A3BCD解：因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線y22x上，設(shè)，則點(diǎn)P到直線的距離y0R，當(dāng)時，故選：C9已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點(diǎn)P使得F1PF2是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（）ABCD解：如圖，當(dāng)動點(diǎn)P在橢圓長軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動時，P對兩個焦點(diǎn)的張角F1PF2漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)P0處時，張角F1PF2達(dá)到最大值由此可得：橢圓上存在點(diǎn)P使得F1PF2是鈍角，P0F1F2中，F(xiàn)1P0F290，RtP0OF2中，OP0F245，所以P0OOF2，即bc，a2c2c2，可得a22c

10、2，e，0e1，e1故選：B10如圖，在菱形ABCD中，BAD60，線段AD，BD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，K，連接EF，F(xiàn)K現(xiàn)將ABD繞對角線BD旋轉(zhuǎn)，令二面角ABDC的平面角為，則在旋轉(zhuǎn)過程中有（）AEFKBEFKCEDKDEDK解：法一（考慮特殊位置）考慮初始位置，180，排除D；考慮重疊位置，0，排除AC，故選：B法二（二面角最大原理）如圖，EFKEFE，EHMEHE，在二面角ABDA中，根據(jù)二面角最大角原理得，EHEEFE，故故選：B二、填空題：本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題6分，共36分.11已知雙曲線1，則該雙曲線的漸近線方程為yx，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）解：雙曲線1

11、，可得a2，b，c，則該雙曲線的漸近線方程為：yx焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（，0）故答案為：yx；（，0）12若直線m：2x4y30與n：3x+ay120平行，則a6，兩直線間的距離是 解：因?yàn)橹本€m：2x4y30與n：3x+ay120平行，所以，解得a6，所以直線m：2x4y30，直線n：3x6y120，取直線n上一點(diǎn)P（4，0），則點(diǎn)P到直線m的距離為，所以兩直線間的距離是故答案為：6；13圓x2+y2+4x2y+40上的點(diǎn)到直線yx1的最近距離為 ，最遠(yuǎn)距離為 解：由題意可知，圓的方程為x2+y2+4x2y+40，即（x+2）2+（y1）21，圓心（2，1）到直線yx1的距離 d，圓的點(diǎn)到直線的最近

12、距離為dr，最遠(yuǎn)的距離為故答案為：，14已知向量（2，1，3），（1，4，2），（7，5，），若，則3，若，共面，則解：由題意，可知：27+（1）5+30，解得3，共面存在兩個實(shí)數(shù)m、n，使得m+n，即，根據(jù)上面兩個式子，可得32故答案為：3，15已知圓x2+y26x70與拋物線y22px（p0）的準(zhǔn)線相切，則p2解：拋物線y22px （p0）的準(zhǔn)線為 x，圓x2+y26x70，即（x3）2+y216，表示以（3，0）為圓心，半徑等于4的圓由題意得 3+4，p2，故答案為216如圖，三棱錐SABC中，若AC2，SASBSCABBC4，E為棱SC的中點(diǎn)，則直線AC與BE所成角的余弦值為解：取SA

13、的中點(diǎn)F，連接EF，BF，E為棱SC的中點(diǎn)，EFAC，BEF（或其補(bǔ)角）為異面直線AC與BE所成的角，AC2，SASBABBCSC4，BEBF2，EF，在等腰BEF中，cosBEF故答案為：17已知一個圓經(jīng)過直線l：2x+y+40與圓C：x2+y2+2x4y0的兩個交點(diǎn)，并且有最小面積，則此圓的方程為x2+y2+xy+0解：可設(shè)圓的方程為x2+y2+2x4y+（2x+y+4）0，即x2+y2+2（1+）x+（4）y+40，此時圓心坐標(biāo)為（1，），顯然當(dāng)圓心在直線2x+y+40上時，圓的半徑最小，從而面積最小，2（1）+40，解得：，則所求圓的方程為：x2+y2+xy+0故答案為：x2+y2+x

14、y+0三、解答題：本大題共5小題，滿分74分，解答須寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.18已知拋物線C：y22px（p0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P（1，2）在拋物線C上（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)和拋物線C的準(zhǔn)線方程；（2）過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩個不同點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M（3，2），求OAB的面積解：（1）將點(diǎn)代入拋物線得p2，則拋物線的方程為：y24x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x1（2）設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），所以直線l的斜率為1，直線l的方程為yx+1，|AB|x1+x2+p6+28，點(diǎn)O到直線l的距離，所以19如圖，ABCD是正方形，直線PD底面ABCD，PDD

15、C，E是PC的中點(diǎn)（1）證明：直線PA平面EDB；（2）求直線PB與平面ABCD所成角的正切值【解答】證明：（1）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，ABCD是正方形，O是AC中點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，OEPA，PA平面BDE，OE平面BDE，直線PA平面EDB解：（2）直線PD底面ABCD，ABCD是正方形，PDDC，PBD是直線PB與平面ABCD所成角，設(shè)PDDCa，則BD，tanPBD直線PB與平面ABCD所成角的正切值為20如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1BCAB2，ABBC（1）求四棱錐A1BCC1B1的體積；（2）求二面角B1A1CC1的大小【解答】（本題滿分12分）本

16、題共2小題，第（1）小題，第（2）小題解：（1）因?yàn)锳BBC，三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以ABBCC1B1，從而A1B1是四棱錐A1BCC1B1的高四棱錐A1BCC1B1的體積為V222（2）如圖（圖略），建立空間直角坐標(biāo)系則A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），設(shè)AC的中點(diǎn)為M，BMAC，NMCC1，BM平面A1C1C，即（1，1，0）是平面A1C1C的一個法向量設(shè)平面A1B1C的一個法向量是（x，y，z），（2，2，2），（2，0，0）2x0，令z1，解得x0，y1.（0，1，1），設(shè)法向量與的夾角為，二面角B1A1CC1的大小為，顯然為銳角cos|cos|，二面角B1A1CC1的大小為21設(shè)橢圓C：1（ab0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，B為短軸的一個端點(diǎn)，且S，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值為1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）若點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，1，求點(diǎn)