川大離散數(shù)學(xué)習(xí)題5

1、習(xí) 題 5設(shè) A=(a,b)|a,bN. 定 義 A 上 的 一 個(gè) 二 元 關(guān) 系R=（ a,b）,(c,d)）|ad=bc,證:R是A上的等價(jià)關(guān). 證：A a,b|a,bN，R=（a,）,(c,d）|ad=bc自反性：由Aab baa,b NR對(duì)稱性 設(shè) a,b, c, d R ，則ad bc即 cb dad R1傳遞性 設(shè) 1b c d,11,R，則a db c111c , 1111,c d2 R ，則c d12 d c1 2 a d b c d b d a d bc1 11 11 1 121 2,b11,c , d2 R定義復(fù)數(shù)集合的子集合C1=a+bi|i2=-1,abR,a 0，在

2、C1上定S(a+bi)S(c+di) ac0C1系，并給出S證明:因?yàn)?a+bi)S(c+di)ac0(a,bR,a0,c0) r:a0,a20(a+bi)S(a+bi) s:(a+bi)S(c+di)ac0ca0(c+di)S(a+bi) t:(a+bi)S(c+di)(c+di)S(u+vi)ac0cu0 au0(a+bi)S(u+vi) 綜上，SC1上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。a0,c0acS2其一是1=a+bi|a0，另一個(gè)是-1=a+bi|a0，它們分別對(duì)應(yīng)于復(fù)平面上右半部和左半部。3.A=1,2,3,4S=1,2,4,3S00的AR.0解：A,2,34,S ,3 0設(shè) A 1A 2R 242

3、424試確定在4個(gè)元素的集合上可以定義出的等價(jià)關(guān)系數(shù)解：每個(gè)集合的劃分就可以確定一個(gè)等價(jià)關(guān)系集合有多少個(gè)劃分就可以確定多少個(gè)等價(jià)關(guān)系C 4 C 3 C 2 C 1 15 種。4444R1和 R 是非空集合 A 上的兩個(gè)等價(jià)關(guān)系.試確定下列各個(gè)關(guān)系2是否是A 上的等價(jià)關(guān)系:如果是,加以證明;如果不是,舉例說(shuō)明：(1)R R；(2)R R3r(R-R)（R R12121212解：R R12R R1不是A是A1R 是A2R oR1不是A設(shè)RA如果對(duì)每一個(gè)xA，存在yA 使xRy，那么，R 是A 上的等價(jià)關(guān)系。證明：由題可知，對(duì)于每一個(gè)x，都存在y 使xRy，則非空集合A的元素都存在關(guān)系x,，又因?yàn)镽

4、 具有對(duì)稱性，則對(duì)于所有的x，R 中也必然存在（y,x） 又因?yàn)镽 具有傳遞性，則對(duì)于所有的x,R 中也必然存在（x,x）,即R綜上，據(jù)等價(jià)關(guān)系定義，R 是A 上的等價(jià)關(guān)系MnAB Mnnp MAB(讀為AB).證明：是Mnn等價(jià)關(guān)系. 證明:r:設(shè)E 是單位矩陣,則A,A=EAE-1AA s:ABA=PBP-1P-1AP=BB=P-1A(P-1)-1BA t:ABBCA=PBP-1B=QCQ-1A=P(QCQ-1)P-1A=(PQ)C(PQ)-1AC所以是Mn設(shè)A54,|A,|)對(duì)應(yīng)的Hasse 圖.解：A=1，2，3，6，9，18，27，54COVER(|)=(1,2), (1,3), (

5、2,6), (3,6), (3,9),(6,18),(9,18), (9,27), (18,54), (27,54)最大元：54 最小元：14L1=54,27,9,3,1L1=54,18,9,3,1L1=54,18,6,3,1L1=54,18,6,2,1設(shè)A=a,b,c2A, )對(duì)應(yīng)的Hasse上題Hasse解： A a,b,c2A a,b,a,b,ca,b a,cb,cabc是否存在集合A 上的一個(gè)關(guān)系R,.解：集合A 、恒等關(guān)系IA都是等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系。設(shè)R A 上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系?，F(xiàn)在在等價(jià)類之間定義一個(gè)新關(guān)系S，使得對(duì)Ra和b滿足aSb aRb,判別?RS是RaSb aRb。因?yàn)閷?duì)R

6、的任 2 個(gè)等價(jià)類a和b，要么a=b，要么ab=aRb說(shuō)明a和b a) | aA（等價(jià)類集合上的恒等關(guān)系，所以S所以S設(shè)RAR稱R 是A舉一個(gè)逆序關(guān)系的例子；包是A解：（1）例如：A=A,B,CR=(A,B),(B,C),(A,C)x,y(x,y(y,xx,，與逆序關(guān)系的反自反性相矛盾；即若對(duì)于兩個(gè)不同的x,y 不可能存在兩個(gè)關(guān)系(x,y)和(y,x)，所以逆序關(guān)系是反對(duì)稱的。x,y(x,y(y,x同樣具有傳遞性。綜上，逆序關(guān)系的自反閉包符合偏序關(guān)系的定義，故其是A 上的偏序關(guān)系。設(shè)R是集合A是A的非空子集。證明：RBB是B上的偏序關(guān)系。證：i）自反性，對(duì)b B A ,b,bR（R的自反性）顯然bBBbRBB反對(duì)稱性，對(duì)a,bB,RBB,RBB即RR ，由R a b傳遞性，對(duì)a,b,cB，設(shè)bRBB,cRBB則a,bR，R。由RR ，顯然B BcRBB5.21A（略）設(shè)A=a,b,c,d22,使得是的拓