2003年考研數(shù)學三真題及答案解析

1、 64. 1x cos ,x x f(x) x x a xb與x ab b2 2y32a 若 , 0 x ，f (x) g(x) 而DI f(x)g(y x)dxdy其他，0,Dn維向量 (a,0, ,0,a) ,a 0E為nT1A E T， B E T，aAX 和Y 若Z X 0.4Y與Z X2X ,X , ,X Xn12n1nY X 2nnii1 6 4 . f(x)f (0)g(x)x 在. 在. (x ,y )00 y yf(x ,y) y y在 . f(x ,y)在 y0. ）0000f(x ,y) y y f(x ,y)在 y0. 在.00a ana an）設 p ，q ，n nn

2、22nn 若 a 與 q .pnnnn1n1n1 若 a p 與 q .nnnn1n1n1 若 a p 與 q .nnnn1n1n1 若 a p 與 q .nnnn1n1n1a b b b a bAA b b a 或 或 a b 且 a b 且 ）設 , , , n 12s1 k , , ,k0 k ,k , ,k k12s122ss12s. 線 性 相 關 ， 則 對 于 任 意 一 組 不 全 為 零 的 數(shù) k ,k , ,k ， 都 有 若 , , ,12s12s k 0.kk1122ss , , , 12s , , , .12sA =A，A312A， 4 A ,A ,A . A ,A

3、 ,A .123234 A ,A ,A . A ,A ,A .123234 8設1111f(x) ,x . x)x x21在 .2四 8 f f1221，又 g(x,y) fxy, (x y ) ,求設 具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足22uv222 g g22.xy22 8I esin(xy )dxdy.2(x2y2 )2D y .D=(x,y)x22 9x2n (x .1n2nn1 9設 在 ( , )f (x) g(x) g (x) f (x) f (x) g(x) 2ex.， 求 . 8 在03 f(3)=1. f ( ) 0. (a b)x a x a x a x112233nna x (

4、a b)x a x a x 1 12233nna x (a b)x a x a x 1 1a x a x a x32233nn(a b)x1 1223nnn a 0. a ,a , ,a 和b i12ni1 . . f (x ,x ,x ) X AX ax 2x 2x 2bx x (b 0)，T22221231313A 1 求 f . X 1,若x,其他;f (x) 3 x3 2是X. . X與YX12，X 0.3 0.7而Y 6 4. 1x cos ,x x ）設 f(x) .2x 當x 0 . 當 111x ,x x x12 f (x) xx lim f (x) 0 f (0).2x0 x

5、 a xb4a6y與x a.2b232by 0 0 與a.2b y 3x a0 xa .22220y00 x 3a x b 0 ,3020故b x (3a x ) a 4a 4a .2202222460 .a,若 0 x a2 . ，f (x) g(x) 而DI f(x)g(y x)dxdy=其他，0,D 0 x y x 1.2 f(x)g(y x)dxdy I= a dxdyD0 x1,0yx1 1x1=a dx dy a (x xdx a .1 2220 x0 .n維向量A E (a,0, ,0,a) ,a 0E為nT1 E ， B T，TaA. 這里 為nETT2a2AB. 1AB (E

6、 )(E )TTa11 T T=ETTTa1a1aa1 ( )T T=ETa 2a=ETTT1(12a ) E,=E Ta1112a 0 2a2 a 1 0a ,a 1.故a2X 和Y 若Z X 0.4Y 與Z . cov(Y,Z) cov(Y,X 0.4) EY(X 0.4) EY)E(X 0.4)=E(XY) 0.4EY) EY)E(X) 0.4EY) 且DZ DX .Y,Z) X,Y)= XY D(X a) X,Y a) X,Y， X 2 X ,X , ,X X n12n112n X.Y2nnii1 X ,X , ,X 方12n11npX in (n nnii1i11 112 X ,X

7、,X EX DX (EX ) =( ) 2222224 212niii111nnY nX .22nn2iii1i1 6 4 . f(x)f (0)g(x)x 在 . 在 . D , . 為f (x)f (x) f (0)x0 lim lim f (0) . limg(x)xx0 x0 x0 x x 】 0,x x 】 若在xf (x) x f (x ) f (x ) .A x0 x00 xx00(x ,y )00 y yf(x ,y) y y在 . f(x ,y)在 y0. ）0000f(x ,y) y y. f(x ,y)在 y0. 在00 A .【詳解】 (x ,y ) f (x , y

8、) 000y00f(x ,y)在 y y , 00 yyf(x,y ) x x 】f(x ,y)在y f (x , y ) 在000000 f (x ,y ).0 x0 x y【評注 2】 f(x,y)f(0,y) y2 (0,0)22a ana an）設 p ，q ， n nn22nn 若 a p 與 q .nnnn1n1n1 若 a p 與 q .nnnn1n1n1 若 a p 與 q .nnnn1n1n1 若 a 與 q . B pnnnn1n1n1 .a a【詳解】 若a n p a，ann2nnnn1n1n1a anq n與 q np2nnn1n1a b b b a bAAb b a

9、 或 或 a b且 a b且 C A A. Aa b bb a b (ab)(ab)20 或a 2b 0b b a, a b且 2 n A2)n r A n, ( ) ,r(*) r() nr() n1. ）設 , , , n12s1 k , , ,k0 k ,k , ,k k12s122ss12s. 線 性 相 關 ， 則 對 于 任 意 一 組 不 全 為 零 的 數(shù) k ,k , ,k ， 都 有 若 , , ,12s12s k 0.kk1122ss , , , 12s , , , . B 12s . 應.1 kk0【詳解】 k ,k , ,k , k12s122ss , , , , ,

10、 , k ,k , ,k ,12s12s12s1 k 0. .kkk122ss 若 , , , k ,k , ,k 12s12s1 k 0. .k122ss , , , s, , , , s12s12s , , , .12s , , , 12s. . k ,k , ,k 12s1 k , , ,k 0得k. 122ss12sk ,k , ,k k1 k0 , , , 線性無關. k12s122ss12s.A =A，A312A， 4 A ,A ,A . A ,A ,A .123234 A ,A ,A . A ,A ,A . C 123234. 12121214P(A ) P(A ) P(A )

11、，P(A )2，134114114P(A A ) P(A A ) P(A A ) P(A A A ) 0，且 P(A A )2，441231132324P(A A ) P(A )P(A )，P(A A ) P(A )P(A )，P(A A ) P(A )P(A )，121213132323P(A A ) P(A )P(A )P(A A A ) P(A )P(A )P(A )，.1231232424故A ,A ,A A ,A ,A 123234 .三 8設1111f(x) ,x . x)x x21在 .2 lim f(x).x 111lim f(x)=lim x1 x)x xxx) x1 1=

12、x) xx x1 1 xx) xxsin x1 1 2= lim cos x cos x x) sin xx21= .1在 21f ，1使在 .2y四 80. f f1，又 g(x,y) fxy, (x221y ) ,求設 具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足22uv222 g g22.xy221 g f (u,v)u xy,v (x y )222 f f22.v ugxff y x，uvgyf x y .u vf g f f f f2222 y2 x y故，222xuvvv222 g f f f f2222 x2 .v v2yuvu222 g g f f2222 (x y )(x y )2222xyu

13、v2222 y .=x22 .五 8I esin(x y )dxdy.(x2y2 )22D y .D=(x,y)x22 .x r ,y r I eesin(x y )dxdy(x2y2)22D 2r dr.=e2dr200令 t r2I e e sintdt.t0記A e sintdtt0A e intdett0=e sint e costdttt00 costde=t0=e cost e sintdttt00=e 1 .1A e)，2eI e ) e22 . 9x2n (x .1n2nn1 .x f (x) ( x .n2n11 x2n10到xt1f(x) f(0) x x 21t220由

14、得1f (x) 1 x2),(x 2 f (x) 0令1 x2f (x) , x )22f (0)1 0 ，在 . 9設 在 ( , )f (x) g(x) g (x) f (x) f (x) g(x) 2ex.， 求 . . 由 F (x) f (x)g(x) f (x)g (x) f (x)=g (x)22 g(x) 2f(x)g(x)=f(x)2e ) x2 F (x) 2F(x) 4e .2xe 2dx 4e e 2dxdxC F(x)2x=e 4e dxC2x4x=e .2x2x將F(x) e e .2x2x . 8 在03 f(3)=1. f ( ) 0. cf (c) 1 f f

15、 (0) f f (2). .1 1 3 M m f (0) M，m f M，m f (2) M .故f (0) f f (2)m M.3 c 0,2f (0) f f (2)f (c) 1.3 且 (c (0,3)， f ( ) 0.使 . . (a b)x a x a x a x112233nna x (a b)x a x a x 1 12233nna x (a b)x a x a x 1 1a x a x a x32233nn(a b)x1 1223nnn a 0. a ,a , ,a 和b i12ni1 . . . a b1aaaaaa233nnnaa b21A aaa b123aaa

16、a b123nn a =b (bn1ii1n a 0 當 bb 0.ii1 當 a x a x a x 0.1 122nnna 01由 aa (i ,n). 0iii1aaaa ,0) , ,0)T ，, ( ,0,0, .T ，T(231naa12n11n當b a b 0ii1 na aaaaaaa1i233nnni1a ana12ii 1naaaa123ii1naaaaa123nii1112nnaii1na a a aa1i23ni111 00 1 0 001011aa（ n行211n21 1 001 0 10 .1 0 01 0 0 00 x x,x x，x x ，.2131n1 .Tn

17、 b a ii1T. ，且顯然 f (x ,x ,x ) X AX ax 2x 2x 2bx x (b 0)，T22221231313A1 求 f.AA A . 1fab 0A 0 2 0 .2 b 0設A ii a2(2) 1，123a 0 b 0 2 0 4ab 12.2123b 0 2 A 1E A 0202200 ( 2( ，2 1 3.得A 23 (2 ) 0E A x12( .，TT123 ( 3E A)x 03 , 2) .T3 , , , , 3123122112( )( ,0, ) . ，TTT1552355 21 055 Q 0 10，123120 55則Q . 2 0 0 QTAQ 0 2 0 ，3 0 0f 2y 2y 3y .222213 f A aE A 0b0b0 ( 2) (a2) (2ab ).20222 1 a 2, 設A , , 2, (2a b 21232323 2(a2) 1，123 2(2a b ) 12.2123 X 1,若x,其他;f (x) 3 x3 2是X . . , Y 注(0 F(X) y . 當 x 1F(x) xdtx 1.33 t312設. y 0 y 1 y G(y) Y