量子力學(xué)復(fù)習(xí)提綱

1、2008級材料物理專業(yè)量子力學(xué)復(fù)習(xí)提綱要點之一20世紀(jì)初，經(jīng)典理論在解釋黑體輻射、光電效應(yīng)和原子光譜的線狀結(jié)構(gòu)等實 驗結(jié)果時遇到了嚴(yán)重的困難。愛因斯坦在普朗克“能量子”假設(shè)的啟發(fā)下， 提出了 “光量子”的概念，認(rèn)為光是由一顆顆具有一定能量的粒子組成的粒子 流。描述光的粒子性的能量E和動量P與描述其波動性的頻率 （或角頻率）和波矢K由Planck- Einstein方程聯(lián)系起來，即：E = hv =力； h P = _n =力 K。力德布羅意提出，一切物質(zhì)粒子（原子、電子、質(zhì)子等）都具有粒子、波動二 重性，在一定條件下，表現(xiàn)出粒子性，在另一些條件下體現(xiàn)出波動性。描述微觀粒子（如原子、電子、質(zhì)子等

2、）粒子性的物理量為能量E和動量P， 描述其波動性的物理量為頻率 （或角頻率）和波長，它們間的關(guān)系可用 德布羅意關(guān)系式表示，即：E = hv=曲；P = hn =方K。力微觀粒子因具有波粒二象性，其運動狀態(tài)不能用坐標(biāo)、速度、加速度等物理 量來描述，而是用波函數(shù)來描述。描述自由粒子的波是具有確定能量和動量的平面波，即：w p （r, t） = Ae三3r-E）。波函數(shù)在空間某點的強度，即波函數(shù)模的平方，與在該點找到粒子的幾率成 正比例，即描寫粒子的波可認(rèn)為是幾率波，反映了微觀粒子運動的統(tǒng)計規(guī)律。波函數(shù)在全空間每一點應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)三個條件，該條件稱為波函 數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。通常將在無窮遠(yuǎn)處為零的

3、波函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱為束縛態(tài)，屬于不同能級的束縛定態(tài)波函數(shù)彼此正交，可表示為j Wm*W產(chǎn)=（m主n。 、人八 T t . t It 、， ar-* 、，人 1?kt 人人人 人It . I 人八，.，設(shè) F和G 的對易關(guān)系為F, G = ik，且kF = F - F, AG = G - G ，則 F和G 的測不準(zhǔn)關(guān)系式為：奇元-函元；如果k不等于零，則的均方偏差不會同時4.一 一-、-、-人人為零，它們的乘積要大于一正數(shù)，這意味著F和G不能同時測定。當(dāng)體系處于定態(tài)時，則體系有：1）能量有確定值；2）粒子在空間幾率密度與時間無關(guān)；3）幾率流密度與時間無關(guān)。粒子在一維無限深勢阱中的定態(tài)解可表示為

4、： TOC o 1-5 h z i 1 n 冗i中=W （x）e一h勺= sin （x + a）e一方氣,n = 1,2,3,當(dāng) n 為奇數(shù)時，n nva2a波函數(shù)具有偶宇稱，當(dāng)n為偶數(shù)時，波函數(shù)具有奇宇稱。在點電荷的庫侖場中運動的電子，其處于束縛態(tài)的波函數(shù)可表示成：Wnm （r,9,）=七（r）Ym （0刀），其中，主量子數(shù)n=1，2，3，角量子數(shù)l=0， 1，2，.，n-1，磁量子數(shù)m=0，1，2，.，l。Wm （r,0刀）是算符h、L2和L共同本征函數(shù)，當(dāng)電子處于該波函數(shù)描述的狀態(tài)時，力學(xué)量H、L2和L zz可以同時測得，體系 E 一 *Z2。4， L2= l（l + 1）h2，L =

5、mh。 n2n2h2z角動量算符L2和Lz對易，即L2,、 = ，因此它們有共同的本征函數(shù)完 備系Ylm （0 ,中）。在Ylm （0 ,中）描述的狀態(tài)中，力學(xué)量L2和Lz可以同時測得， L2= l（l + 1）h2，L = mh，此時總磁矩（沿z軸方向）M = -? = 一日m。電子在點電荷的庫侖場中運動，其處于束縛態(tài)的第n個能級En只與n有關(guān)， 而與l、m無關(guān)，是n2度簡并的；若n = 2時，對應(yīng)的波函數(shù)有W2（r,0,中）、 W21（r,0,中）、W211（r,0,）和W211（r,0刀）。而在非點電荷的庫侖場中運動的電子，如Li，Na，K等堿金屬原子中最外層價電子是在由核和內(nèi)殼層電子所

6、產(chǎn)生的有心力場中運動，這個場不再是點電荷的庫侖場，因此價電子的能級由主量子 數(shù)n和角量子數(shù)l決定，僅對m簡并。 .一.一 /V . 人 .一一. 一一.一.一 一 一 .一兩個算符F與G有共同本征函數(shù)系的充要條件是這兩個算符彼此對易；在 兩個力學(xué)量算符的共同本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)中，這兩個算符所表示的力學(xué)量同 時有確定值。選定一個特定Q表象，就相當(dāng)于在Hilbert空間中選定一個特定的坐標(biāo)系， 力學(xué)量算符Q的正交歸一完備函數(shù)系匕(工)構(gòu)成Hilbert空間中的一組正交 歸一完備基底。任意態(tài)矢量W (乙t)在Q表象中的表示是一列矩陣，矩陣元an (t) 是態(tài)矢量W (4,t)在Q算符的本征矢上的投

7、影，即:an (t) = j un (x)*W (x,t)dx。選定力學(xué)量Q表象，Q算符的正交歸一的本征函數(shù)完備系記為u (x)，一n力學(xué)量算符F在Q表象中是一個矩陣F=(Fmn)，其矩陣元為： 一.上. n、F =j u*(x)F(x, 一 ih - )u (x)dx ； 該矩陣為厄米矩陣，對角矩陣元為實數(shù)。一力學(xué) 量算符F在自身表象中的矩陣是一個對角矩陣，對角元就是算符F的本征值。18.在坐標(biāo)表象中，x = x，px = _ lh ；而在動量表象中，x = ihd，px = 辦g xp。若力學(xué)量算符F不顯含時間t，且與哈米頓算符H對易，力學(xué)量F的平均一廠=值F不隨時間而變化，則稱F為運動積

8、分，或在運動中守恒。動量算符P、P、P彼此對易，它們有共同的本征函數(shù)完備系:x y Z1 1W p (r)=次)_32 W ；在該本征函數(shù)描述的狀態(tài)中，P、P、P同時具有確定 x的值。要點之二L態(tài)疊加原理：若L態(tài)疊加原理：若1，2,是粒子的可能狀態(tài)，則粒子也可處 n在它們的線性迭加態(tài)=c1 1+c2 2+.+ Cn n；當(dāng)體系處于 態(tài)時，發(fā)現(xiàn)體系 處于k態(tài)的幾率是kJ2(k=1，2，3，)，并且Z |匕|2= 1。k隧道效應(yīng)：粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)。它是粒 子具有波動性的生動表現(xiàn)。只有當(dāng)粒子的質(zhì)量和勢壘寬度比較小時，這種效應(yīng)才 顯著。厄密算符：若算符F滿足Jw Fdx

9、 = J (Fv )dx，則算符F稱為厄密算 符，其性質(zhì)是厄密算符的本征值必為實數(shù)，因此量子力學(xué)的力學(xué)量算符都是厄密 算符。偶宇稱與奇宇稱：在空間反射下，如果有w(-己t) = v廳,t)，則稱波函數(shù)有 確定的宇稱。當(dāng)V(-己t) =w(r,t)，則稱波函數(shù)具有偶宇稱；當(dāng)V(-r,t) = -W(r,t)， 則稱波函數(shù)具有奇宇稱。Hilbert空間：以某一力學(xué)量的本征波函數(shù)為基底，構(gòu)成的無限維的函數(shù)空 間，稱為Hilbert空間。任意態(tài)矢量V (x,t)在該力學(xué)量表象中的表示是一列矩 陣，矩陣元是態(tài)矢量V (x,t)在該力學(xué)量算符的本征矢上的投影。測不準(zhǔn)原理：量子力學(xué)揭示，要同時測出微觀粒子的

10、位置和動量，其精度是 有一定的限制。海森伯推得，測量一個微粒的位置時，如果不確定范圍是k， 那么同時測量其動量也有一個不確定范圍詢x，且位置不確定度軟和動量的不 確定度詢 的乘積總是大于一定的數(shù)值，即軟詢 J。粒子的位置和動量不xx 2能同時準(zhǔn)確測定源于物質(zhì)具有微粒和波動二象性。測不準(zhǔn)原理是普遍存在的；若 兩個力學(xué)量不對易，則它們不可能同時被準(zhǔn)確測定，其不確定度的乘積總是大于 一定的值。定態(tài)：當(dāng)薛定諤方程中的勢能U與時間t無關(guān)，則薛定諤方程的解可表示成 W=V廳)f(t)，通過分離變量求解薛定諤方程，得到薛定諤方程的解是-T=V (r)e h (分離變量過程中引入的常數(shù)E為粒子的能量)，當(dāng)粒子

11、處在由 該波函數(shù)所描述的狀態(tài)時，粒子的能量E有確定的值，這種狀態(tài)稱為定態(tài)。零點能:也就是線性諧振子基態(tài)的能量E0 = 2府，其中 是諧振子的角頻率。 零點能不等于零是量子力學(xué)中特有的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零 的“靜止的”波是沒有意義的，零點能是量子效應(yīng)，已被絕對零點情況下電子 的晶體散射實驗所證實。要點之三:請闡述力學(xué)量的算符、力學(xué)量算符的本征值、力學(xué)量測量值及力學(xué)量平均值 之間的關(guān)系。答：量子力學(xué)中的所有力學(xué)量用厄米算符來表示。算符的本征函數(shù)組成正交歸一本征波函數(shù)完備系。當(dāng)體系處于力學(xué)量算符F的本征態(tài) 時，F(xiàn)表示的力 n學(xué)量F有確定值，該值就是F在n態(tài)中的本征值n，此時力學(xué)量F

12、的測得值即 為n，的平均值為當(dāng)體系處在一般狀態(tài) 中，F(xiàn)表示的力學(xué)量F沒有確 定值，而是具有一系列的可能值，這些可能值就是表示力學(xué)量算符F的本征值(n=1,2,3,.)，每個可能值都以確定的幾率被測得，F(xiàn)的平均值為nF =fv*FvdT。在(2)中，0 -8,根據(jù)波函數(shù)滿足的連續(xù)性和有限性條件，只有當(dāng)w =0 時，(2)才能成立，所以有w = 0(尤 a)(3)為了方便，引入符號a =f曾2，則(2)式簡寫為I加J方 2 d 2W+a 2w = 0(0 x a) (4)2m dx 2它的解是W = A sin ax + B cos ax(5)根據(jù)W的連續(xù)性，由(3)式的w = 0(x a)，代入

13、(5)，有A sin a - 0 + B cos a - 0 = 0A sin aa + B cos aa = 0由此求得B=0A sin a a = 0A和B不能同時為零，否則w到處為零，在物理上無意義。因此求得n = 1,2,3,歸一化的定態(tài)薛定諤方程的解為:(n兀) x ,歸一化的定態(tài)薛定諤方程的解為:I aJ2 sin =Ml a0基態(tài)波函數(shù)：w J2 sin =Ml a0基態(tài)波函數(shù)：w i = ：2sisin X將基態(tài)波函數(shù)用動量本征函數(shù)展開:w = j w = j C (p)w (x)dp,w = e 力p2兀力i pxC1(p) = 2= jsin(竺)eMx儼-*-+=_ Il

14、 . 1 e ) T + e 一1J2航腥2兀p兀p一 一一 + La方a方動量的幾率分布為：|q(p)|2 =動量的平均值：p =在一維無限深勢阱中運動的粒子，方勢阱U(x) = F fX - 0, X - a，如果粒 |0,當(dāng)0 x a子的狀態(tài)由波函數(shù)W(x) = Ax(a x)描寫，其中A為歸一化常數(shù)，a為勢阱寬度。求粒子能量的概率分布和能量平均值。解：由于勢阱u (x)=F fx -0, x -a，阱內(nèi)粒子所滿足的定態(tài)薛定諤方程為 10,當(dāng)0 x a(1)方 2 d 2W(1)=Ew 2m dx 2在阱外粒子滿足的定態(tài)薛定諤方程為 TOC o 1-5 h z 方 2 d 2W/c+ U

15、 w = Ew(2)2m dx 20在(2)中，U 0 -8,根據(jù)波函數(shù)滿足的連續(xù)性和有限性條件，只有當(dāng)w = 0 時，(2)才能成立，所以有W = 0(x a)(3)為了方便，引入符號a =f2mE)2，則(2)式簡寫為I加J方 2 d 2W+a2w = 0(0 x a) (4)2m dx 2它的解是W = A sin ax + B cos ax(5)根據(jù)W的連續(xù)性，由(3)式的w = 0(x a)，代入(5)，有A sin a - 0 + B cos a - 0 = 0A sin aa + B cos aa = 0由此求得B = 0A sin a a = 0A和B不能同時為零，否則w到處為

16、零，在物理上無意義。因此求得a = , n = 1,2,3,a2 n n兀)s歸一化的定態(tài)薛定諤方程的解為：w =ha丁)0n0 x a, x 0定態(tài)能量為：e =竺Tn 2 叭 a J對波函數(shù)W(x) = Ax(a - x)進(jìn)行歸一化，有ja 中(x) 2 dx = 1 n A = I0 a5用定態(tài)波函數(shù)w 用定態(tài)波函數(shù)w nJ 1偵竺x)將 W(x) = Ax(a x)展開， aW (x) = z c wnC = f+aW * W (x)dx = ja v 2 / a sin(nnx / a) Ax(a x)dx n8 _n0業(yè)1 (1) n n 3兀3(1)粒子能量取E(1)粒子能量取E

17、n的幾率為：icn|2=芝(1) I480(1) n (2)E = 5. 一個在球?qū)ΨQ勢場中運動的波函數(shù)為：w (x, y,z) = k(x + 2z)e-濟(jì)，其中k、為實常數(shù)，r = (x2 + y2 + z2)2，試求：(1)粒子的角動量量子數(shù)l；(2)l的 z C 可能測量值及其相應(yīng)的幾率；(3)七 的平均值 (提示：利用球諧函數(shù)：Y 00Y 00、；4 兀Y10 = L 土cos0，L,sin 0 e 土叩）。利用球諧函數(shù)提示由此可見1）粒子的角動量量子數(shù)1 = 1，對應(yīng)的利用球諧函數(shù)提示由此可見1）粒子的角動量量子數(shù)1 = 1，對應(yīng)的-1,0.-1解叫為C3）八的可能測值為左，4 一札測值為方，。，一方的幾率可由求得分別為+號，卜L的平均值匚= 1 五十號. 0 = 0, u Q o6.粒子在一維無限深方勢阱U= |W，當(dāng) -0， 中運動，求粒子的坐標(biāo)和 10,當(dāng)0 x a動量在能量表象中的矩陣元。W, 當(dāng)x a ,解：粒子在方勢阱U （x） = （ 業(yè)中，|0,當(dāng)0 x a, x Pnn.(n - m)兀x . (n + m)兀x sm + sin dxa _ (n + m) (n - m) 2nmi方 -1) n+m -1(n 2 - m2)annih a