第十一章曲線積分與曲面積分經(jīng)典例題

1、第十一章曲線積分與曲面積分內(nèi)容要點一、引例設有一曲線形構(gòu)件所占的位置是xOy面內(nèi)的一段曲線L(圖10-1-1),它的質(zhì)量分布不均勻，其線密度為(x,y),試求該構(gòu)件的質(zhì)量.、第一類曲線積分的定義與性質(zhì)性質(zhì)1設a，af(af(x,y),g(x,y)dsaJf(x,y)ds,fg(x,y)ds；性質(zhì)2設L由L和L兩段光滑曲線組成(記為L=LL)，則1212Jf(x,y)ds=Jf(x,y)dsJf(x,y)ds.L1L2L1L2注：若曲線L可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我們就稱L是分段光滑的，在以后的討論中總假定L是光滑的或分段光滑的.性質(zhì)3設在L有f(x,y)g(x,y)，貝VJf(x,y

2、)dsJg(x,y)dsLL性質(zhì)4(中值定理)設函數(shù)f(x,y)在光滑曲線L上連續(xù)，則在L上必存在一點(g,n)，使Jf(x,y)dsf(g，耳)-sL其中s是曲線L的長度.三、第-類曲線積分的計算：；Jf(x,y)dsJ,fx(t),y(t)x2(t)y2(t)dt(1.10)La如果曲線L的方程為yy(x),axb，貝VJf(x,y)dsJbfx,y(x)1y2(x)dx(1.11)La如果曲線L的方程為xx(y),cyd,貝VJf(x,y)dsJdfx(y),y1x2(y)dy(1.12)Lc如果曲線L的方程為rr(0),a00)與x軸所圍成的面積.解ONA為直線y0.曲線AMO為y=a

3、x-x,x0,a.A丄Jxdy-ydx二AMO丄A丄Jxdy-ydx二AMO丄Jxdy-ydx2AMOONAAMO/x2y+(y)=x2yi(y)=01(y)=C,y所求函數(shù)為u=x2y2/2,C.例13(E07)設函數(shù)Q(x,y)在xoy平面上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，曲線積分與路徑無關(guān)，并且對任意t,總有(t，1)2xydx,Q(x,y)dy=J(1,t)2xydx,Q(x,y)dy,(0,0)(0,0)求Q(x,y).解由曲線積分與路徑無關(guān)的條件知讐=2x,于是Q(X,y)=x2,C(y),其中C(y)為待定函數(shù).J(t,1)2xydx,Q(x,y)dy=J1(t2,C(y)dy=t2,J1C

4、(y)dy,(0,0)00(1,t)2xydx,Q(x,y)dy=(1,C(y)dy=t+C(y)dy,(0,0)00由題意可知t2+J1C(y)dy=t,fC(y)dy.00兩邊對t求導，得2t=1+C(t)或C(t)=2t-1.所以Q(x,y)=x2,2y-1.例14(E08)設曲線積分xy2dx+y(x)dy與路徑無關(guān)，其中具有連續(xù)的導數(shù)，且L(0)=0,計算(1,1)xy2dx+y(x)dy.(0,0)解P(x,y)=xy2,Q(x,y)=y(x),TOC o 1-5 h zPQ-=(xy2)=2xy,半=y(x)=y(x).yyxx因積分與路徑無關(guān)散PQ因積分與路徑無關(guān)散=,yx由y

5、(x)=2xy(x)=x2,C.由(0)=0,知C=0故J(1,1)xy2dx,y(x)dy=J10dx,J1ydy=.(0,0)002例15選取a,b使表達式(x,y,1)ey,aeydx,bex-(x,y,1)eydy為某一函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù).-，bex一(x+y+1)ey，bexey,x解-，bex一(x+y+1)ey，bexey,xyyx若表達式全微分式則養(yǎng)聲，即ex+aey，bexey.得a，1,b，1.u(x,u(x,y)，+yex一(x+y+1)eydy+C0，x(x+1)ex1dx+yey(x+y+1)eydy+C，xexx彳+exyxeyyey期+C，(x+y)(e

6、xey)+C.例16(E09)求方程(x3一3xy2)dx+(y3一3x2y)dy，0的通解.解P，6xy，Q,原方程是全微分方程，TOC o 1-5 h zyxxyx43y4u(x,y)，J(x33xy2)dx+Jyy3dy，一x2y2+,00424原方程的通解為x43丄y4Cx2y2+，C.424例19求微分方程2x(1+x2y)dxx2ydy，0的通解.解將題設方程改寫為2xdx+2xx2一ydx一x2一ydy，0,即d(x2)+x2一yd(x2)一x2一ydy，0,將方程左端重新組合,有d(x2)+x2一yd(x2一y)，0,2故題設方程的通解為x2+3(x2y)3/2，C.內(nèi)容要點一

7、、第一類曲面積分的概念與性質(zhì)定義1設曲面是光滑的，函數(shù)f(x,y,z)在上有界，把任意分成n小塊AS(AS同ii時也表示第i小塊曲面的面積)，在AS上任取一點(g，耳,:),作乘積iiiif(g.,n.，:.)-AS.(i，1,2,n)iiii3333并作和f(g，,).,S,如果當各小塊曲面的直徑的最大值尢T0時，這和式的極限存在,iiiii=1則稱此極限值為f(x,y,z)在Y上第一類曲面積分或?qū)γ娣e的曲面積分，記為JIf(x,y,z)dS=limf(g.，.,.),S.IIII九tO.1Yi=1其中f(X,y,z)稱為被積函數(shù)，Y稱為積分曲面.二、對面積的曲面積分的計算法1z2(x,y)

8、1z2(x,y)z2(x,y)dxdy.xyDxy例4例4計算JJ|xyzdS,其中為拋物面z=x2+y2(0z1).解根據(jù)拋物面z=x2+y2對稱性，及函數(shù)IxyzI關(guān)于xOz、yOz坐標面對稱，有xyz|dS=4解根據(jù)拋物面z=x2+y2對稱性，及函數(shù)IxyzI關(guān)于xOz、yOz坐標面對稱，有xyz|dS=4IIxyzdS=4IIxy(x2y2)1(2x)2(2y)2dxdyD1xy=415=412dt11r2costsint-r214r2rdr=212sin2tdt11r514r2dr0000u一1”421255-1du=4205計算JJxdS,其中是圓柱面x2+y2=1,平面z=x2及

9、z=0所圍成的空間立體的表面.解II=II+II12+II,3，在xOy面上得投影域D:x2y21.1于是將2xyIIxdS=JIxdxdy=0,IIxdS=IIx1+1dxdy=0,D1xy2(,-x2)投影到zOx面上，得投影域3132DxyDxy33333333D:-1x1,0yx1.xyDzxIIxdS=IIxdSIIxdS=2IIx1y2y2dxdzDzx33132=2x1+X?dxdz=2lXx+2dz=,1一x2，i1一x20Dxz所以xdS=0+0+=.例8設有一顆地球同步軌道衛(wèi)星，距地面的高度為h=36000km,運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同.試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積

10、與地球表面積的比值(地球半徑R=6400km).解取地心為坐標原點，地心到通訊衛(wèi)星重心的連線為z軸，建立如圖坐標系.衛(wèi)星覆蓋的曲面是上半球面倍半頂角為A的圓錐面所截得的部分.的方程為Z=R2一x2一y2,它在xOy面上的投影區(qū)域D:x2+y2R2sin2a.xy于是通訊衛(wèi)星的覆蓋面積為A=2R2(1一cosa).R(Rh將cosa=代入上式得A=2兀R21-=2kR2-.R+h(R+h丿R+hA由此得這顆通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為4r2425%.由以上結(jié)果可知，衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積，故使用三顆相隔23角度的通訊衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面.內(nèi)容要點二、第二類曲面積分的概

11、念與性質(zhì)定義1設工為光滑的有向曲面，其上任一點(x,y,z)處的單位法向量n=cosai+cosj+cosyk,又設A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k其中函數(shù)P,Q,R在Y上有界，則函數(shù)v-n=Pcosa+Qcos+Rcos則工上的第一類曲面積分0V-ndS=0(Pcosa+Qcos+Rcos)dS.(5.5)稱為函數(shù)A(x,y,z)在有向曲面Y上的第二類曲面積分.三、第二類曲面積分的計算法設光滑曲面:z=z(x,y)，與平行于z軸的直線至多交于一點，它在xOy面上的投影區(qū)域為D,則.xy(5.9)(5.9)Dyz上式右端取“+”號或“-”號要根據(jù)是銳

12、角還是鈍角而定.內(nèi)容要點一、高斯公式定理1設空間閉區(qū)域Q由分片光滑的閉曲面圍成，函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Q上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有公式dv=,Pdydzdv=,Pdydz+Qdzdx+Rdxdy(6.1)這里是Q的整個邊界曲面的外側(cè)，cosa,cosp,cos是上點(x,y,z)處的法向量的方向余弦.(6.1)式稱為高斯公式.若曲面與平行于坐標軸的直線的交點多余兩個，可用光滑曲面將有界閉區(qū)域Q分割成若干個小區(qū)域，使得圍成每個小區(qū)域的閉曲面滿足定理的條件，從而高斯公式仍是成立的.此外，根據(jù)兩類曲面積分之間的關(guān)系，高斯公式也可表為dv=)J(Pcosdv=)J(

13、Pcosa+QcosP+Rcos)dS.二、通量與散度一般地，設有向量場fiffA(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,其中函數(shù)P、Q、R有一階連續(xù)偏導數(shù)，是場內(nèi)的一片有向曲面，n。是曲面的單位法向量.則沿曲面的第二類曲面積分=,AdS=,AndS=jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy稱為向量場A通過曲面流向指定側(cè)的通量.而QPQQQR+QxQyQz稱為向量場A的散度，記為divA，即divA=QdivA=QPQQQR+QxQyQz(6.5)例4(E04)證明：若為包圍有界域Q的光滑曲面，則Mv”udV丿vQndS“呱讐g+曇g光IdVQQ其中n為函數(shù)u

14、沿曲面工的外法線方向的方向?qū)?shù)，u，v在,上具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù)符號士+親+n稱為拉普拉斯算子.這個公式稱為格林第公式.證因為其中ncosa,cosp,cosY是E在點(x,y,其中ncosa,cosp,cosY是E在點(x,y,z)處cosa+cosp+cosYVu-nnxyz的外法線的方向余弦，于是vudSJJv(Vu-n)dS(vVu-n)dSnEExuu”vcosa+vcosp+uu”vcosa+vcosp+xu”xu”v+v+-x丿y-y丿zvcosYz丿u”v-z丿dvdS人,uvuvuv”，JJJvudv+JJJ+dv.-xxyyzz丿將上式右端移至左端即得所要證明的等式.例

15、5(E05)求向量場rxi+yj+zk的流量穿過圓錐x2+y2z2(0zh)的底(向上)；(2)穿過此圓錐的側(cè)表面(向外).解設氣,s2及S分別為此圓錐的面，側(cè)面及全表面，貝y穿過全表面向外的流量QJJr-dSJUdivrdv3JUdvh3.S+VV穿過底面向上的流量Q1JJr-dSzdxdyhdxdyh3.S+x2+y2z2x2+y2為分段光滑的空間有向閉曲線，E是以為邊界的分片光滑的有向曲面,的正向與E的側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含曲面E在內(nèi)的一個空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),貝有公式坐Idydz+比丿dzdx坐Idydz+比丿dzdx+丿

16、彷丿JPdx+Qdy+Rdz.L(7.1)公式(7.1)稱為斯托克斯公式.為了便于記憶，斯托克斯公式常寫成如下形式JJdydzd_dxPdzdxJJdydzd_dxPdzdxddyQdxdyd_dzRJPdx+Qdy+Rdzr利用兩類曲面積分之間的關(guān)系，斯托克斯公式也可寫成JJcosad_dxJJcosad_dxPcos卩d_dyQcosyd_dzdSJPdx+Qdy+Rdz.二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、環(huán)流量與旋度設向量場fiffA(x,y,z)P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,則沿場A中某一封閉的有向曲線C上的曲線積分rJPdx+Qdy+RdzC稱為向量場

17、A沿曲線c按所取方向的環(huán)流量.而向量函數(shù)dRdQdPdydzdRdQdPdydz，dzdRdQdPdxdxdy稱為向量場A的旋度稱為向量場A的旋度，記為rotA，即dP,k.dy丿roAdR-dQ+dydz丿dzdx丿旋度也可以寫成如下便于記憶的形式：ijkdrotAdddxdydzPQR四、向量微分算子：-?i+dj+4-k,dxdydz例2計算曲線積分J(y2-z2)dx+(z2-x2)dy+(x2-y2)dz,其中r是平面rx+y+z3/2截立方體：0，x，1,0,y,1,0,z,1的表面所得的接痕，從x軸的正向看法，取逆時針方向.解取工為題設平面的上側(cè)被所圍成部分，則該平面的法向量n1

18、,1,33,即cosacosPcos二13,13d13d13d13dQy13QQzdSy2y2-x2x2-y2ff(x+ff(x+y+z)dS43ffdS-23ff32y乙Dxy3dxdy-例3E02)計算f(y2+z2)dx+(x例3E02)計算f(y2+z2)dx+(x2+z2)dy+(x2+y2)dz,式中是x2+y2+z22Rx,x2+y2=2rx(0r0).此曲線是順著如下方向前進的：由它所包圍在球面x2+y2+z22Rx上的最小區(qū)域保持在左方.解由斯托克斯公式，有原式2ff(y一z)cosa+(z一x)cosP+(x一y)cosydSyffy2ff(z一y)dS(利用對稱性)ffz

19、dS二ffRcosydSyyy(x”“(y-z)-1R丿+(z-x)R+(x-y)汕ffRdxdyRffdo=r2R.yx2+y2，2rx例5(E03)設ux2y+2xy2一3yz2,求gradu;div(gradu)；rot(gradu).卻,|QuQuQu、解gradu，r2xy,4xy，-6yz.QxQyQzdiv(gradu)+一匸2y+4x-6y4(x-y).IQxQycQzQQd2udd2ud2udzdy，dzdxd2uQ2udxdzdxdyQ2uQyQx因為u=x2y+2xy2-3yz2有二階連續(xù)導數(shù),故二階混合偏導數(shù)與求導次序無關(guān)，故rot(gradu)=0.注：一般地，如果u

20、是一單值函數(shù)，我們稱向量場A=gradu為勢量場或保守場，而u稱為場A的勢函數(shù)例6(E04)設一剛體以等角速度c=ij+k繞定軸L旋轉(zhuǎn)，求剛體內(nèi)任意一xyz點M的線速度的旋度.解取定軸l為z軸，點M的內(nèi)徑r=OM=xi+yj+zk,則點M的線速度v=Cr=于是rotv=v=C0)特別地，當f(P)三1時，有d，d，limAQQQQi，1如果點函數(shù)f(P)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則f(P)在上可積.二、點函數(shù)積分的性質(zhì)設f(P)，g(P)在有界閉區(qū)域上都可積，則有性質(zhì)1Jf(P)g(P)d，Jf(P)d0,Pw,貝f(P)d0.Jf(P)dJIf(P)ld.性質(zhì)5若f(P)g(P),PeJf(P)dJIf(P)ld.性質(zhì)6若f(P)在積分區(qū)域上的最大值為M,最小值為m,則mJf(P)dM.性質(zhì)7(中值定理)若f(P)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則至少有一點P*e，使得Jf(P)d，f(P*).特別地，有d其中f(P*)=ip稱為函數(shù)f(P)在上的平均值.三、點函數(shù)積分的分類及其關(guān)系若=a,buR,這時f(P)=f(x),xa,b,則d=,bf(x)dx.d=,bf(x)dx.(1)QQ這是一元函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分.當f