2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(山東卷)理

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)數(shù)學(xué)(理科)第卷(共50分)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2014山東,理1)已知a,bR,i是虛數(shù)單位,若a-i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù),則(a+bi)2=().A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i答案:D解析:由a-i與2+bi互為共軛復(fù)數(shù),可得a=2,b=1.所以(a+bi)2=(2+i)2=4+4i-1=3+4i.2.(2014山東,理2)設(shè)集合A=x|x-1|2,B=y|y=2x,x0,2,則AB=().A.0,2B.(1,3)C.1,3)D.(1

2、,4)答案:C解析:由題意,得A=x|x-1|2=x|-1x1,且x0,即log2x1或log2x2或0 x12所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,12(2,+4.(2014山東,理4)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是().A.方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根B.方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根答案:A解析:因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)的反面為一個(gè)也沒有,所以要做的假設(shè)是方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根.5.(2014山東,理5)已知實(shí)數(shù)x,y滿足axay(0a1y2+1B.l

3、n(x2+1)C.sin xsin yD.x3y3答案:D解析:由axay(0ay.又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3在R上遞增,所以f(x)f(y),即x3y3.6.(2014山東,理6)直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為().A.22B.42C.2D.4答案:D解析:由y=4x,y=x3,解得x=-所以直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形面積應(yīng)為S=02 (4x-x3)dx=2x2-7.(2014山東,理7)為了研究某藥品的療效,選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn).所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位:kPa)的分組區(qū)間為12,13),13,14),14,15),15,1

4、6),16,17,將其按從左到右的順序分別編號為第一組,第二組,第五組.下圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人,第三組中沒有療效的有6人,則第三組中有療效的人數(shù)為().A.6B.8C.12D.18答案:C解析:設(shè)樣本容量為n,由題意,得(0.24+0.16)1n=20,解得n=50.所以第三組頻數(shù)為0.36150=18.因?yàn)榈谌M中沒有療效的有6人,所以第三組中有療效的人數(shù)為18-6=12.8.(2014山東,理8)已知函數(shù)f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是().A.0,12C.(1,2)D.

5、(2,+)答案:B解析:畫出f(x)=|x-2|+1的圖象如圖所示.由數(shù)形結(jié)合知識,可知若方程f(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則函數(shù)g(x)與f(x)的圖象應(yīng)有兩個(gè)不同的交點(diǎn).所以函數(shù)g(x)=kx的圖象應(yīng)介于直線y=12x和y=x之間,所以k的取值范圍是19.(2014山東,理9)已知x,y滿足約束條件x-y-10,2x-y-30,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a0,bA.5B.4C.5D.2答案:B解析:約束條件x-y-10,2x-y-30滿足的可行域如圖中的陰影部分所示.由圖可知,目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(所以2a+b=25,則b=25-2a,所以a2+b2=a2+(25-2a)2=5a

6、2-85a+20=5a-45即當(dāng)a=455,b=255時(shí),a2+b10.(2014山東,理10)已知ab0,橢圓C1的方程為x2a2+y2b2=1,雙曲線C2的方程為x2a2-y2b2=1,A.x2y=0B.2xy=0C.x2y=0D.2xy=0答案:A解析:由題意,知橢圓C1的離心率e1=a2雙曲線C2的離心率為e2=a2因?yàn)閑1e2=32所以(a即(a整理可得a=2b.又雙曲線C2的漸近線方程為bxay=0,所以bx2by=0,即x2y=0.第卷(共100分)二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.11.(2014山東,理11)執(zhí)行下面的程序框圖,若輸入的x的值為1,則輸出的n的

7、值為.答案:3解析:輸入x=1,12-4+30,則x=2,n=1;返回22-8+30,則x=3,n=2;返回32-12+30,則x=4,n=3;返回42-16+30,則輸出n=3,結(jié)束.12.(2014山東,理12)在ABC中,已知ABAC=tan A,當(dāng)A=6時(shí),ABC答案:1解析:由ABAC=tan A,可得|AB|AC|cos A=tan A.因?yàn)锳=6,所以|AB|AC|3即|AB|AC|=23所以SABC=12|AB|=1213.(2014山東,理13)三棱錐P-ABC中,D,E分別為PB,PC的中點(diǎn),記三棱錐D-ABE的體積為V1,P-ABC的體積為V2,則V1V2答案:1解析:由

8、題意,知VD-ABE=VA-BDE=V1,VP-ABC=VA-PBC=V2.因?yàn)镈,E分別為PB,PC中點(diǎn),所以S設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d,則V114.(2014山東,理14)若ax2+bx6的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為20,則a答案:2解析:ax2+bx6的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6r(ax2)6-rbxr=令12-3r=3,得r=3.由C6ra6-rbr=C63a3b3=20,所以a2+b22ab=21=2.15.(2014山東,理15)已知函數(shù)y=f(x)(xR).對函數(shù)y=g(x)(xI),定義g(x)關(guān)于f(x)的“對稱函數(shù)”為函數(shù)y=h(x)(xI).y=h(x)滿足:對任意xI

9、,兩個(gè)點(diǎn)(x,h(x),(x,g(x)關(guān)于點(diǎn)(x,f(x)對稱.若h(x)是g(x)=4-x2關(guān)于f(x)=3x+b的“對稱函數(shù)”,且h(x)g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)b答案:(210,+)解析:由已知得h(x)+所以,h(x)=6x+2b-4-h(x)g(x)恒成立,即6x+2b-4-x整理得3x+b4-x在同一坐標(biāo)系內(nèi),畫出直線y=3x+b及半圓y=4-x2(如圖所示),當(dāng)直線與半圓相切時(shí),|30-0+b|1+32=2,所以|b|=210.三、解答題:本大題共6小題,共75分.16.(本小題滿分12分)(2014山東,理16)已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函數(shù)f(

10、x)=ab,且y=f(x)的圖象過點(diǎn)12,3(1)求m,n的值;(2)將y=f(x)的圖象向左平移(0)個(gè)單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若y=g(x)圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1,求y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.分析:在第(1)問中,可先根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算整理出f(x)的解析式,再由圖象過兩點(diǎn),代入整理可得關(guān)于m,n的方程組,利用此方程組即得m,n的值.在第(2)問中,通過圖象平移知識,可得含參數(shù)的g(x)的解析式,從中設(shè)出最高點(diǎn),然后根據(jù)兩點(diǎn)距離為1,可確定最高點(diǎn)的坐標(biāo),代入可求出g(x)確定的解析式,從而求出單調(diào)區(qū)間.解:(1)由題意知f(x)=ab=msin 2x

11、+ncos 2x.因?yàn)閥=f(x)的圖象過點(diǎn)12所以3即3解得m=3,n=1.(2)由(1)知f(x)=3sin 2x+cos 2x=2sin2x由題意知g(x)=f(x+)=2sin2x設(shè)y=g(x)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為(x0,2),由題意知x02+1=1,所以x0=即到點(diǎn)(0,3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0,2).將其代入y=g(x)得sin2+因?yàn)?,所以=6因此g(x)=2sin2x+2=2cos由2k-2x2k,kZ,得k-2xk,kZ所以函數(shù)y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k-2,17.(本小題滿分12分)(2014山東,理17)如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面AB

12、CD是等腰梯形,DAB=60,AB=2CD=2,M是線段AB的中點(diǎn).(1)求證:C1M平面A1ADD1;(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=3,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值.分析:在第(1)問中,可考慮線面平行的判定定理,即從平面A1ADD1中找一條線與C1M平行,顯然可找線AD1,再通過證明四邊形AMC1D1為平行四邊形來達(dá)到求證目的.在第(2)問中,方法一:可以點(diǎn)C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面C1D1M和平面ABCD的法向量,則兩法向量夾角的余弦的絕對值即為兩面夾角(銳角)的余弦值.方法二:平面C1D1M即為平面ABC1D1,則平面C1D1M與平面AB

13、CD所成角的棱為AB,又已知CD1平面ABCD,故可過C向棱AB作垂線,垂足為N,連接D1N,則可證D1NC為二面角的平面角,進(jìn)而在RtD1CN中求D1NC的余弦值即可.(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形,且AB=2CD,所以ABDC.又由M是AB的中點(diǎn),因此CDMA且CD=MA.連接AD1,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,因?yàn)镃DC1D1,CD=C1D1,可得C1D1MA,C1D1=MA,所以四邊形AMC1D1為平行四邊形.因此C1MD1A,又C1M平面A1ADD1,D1A平面A1ADD1,所以C1M平面A1ADD1.(2)解法一:連接AC,MC,由(1)知,CDAM且CD=AM

14、,所以四邊形AMCD為平行四邊形.可得BC=AD=MC,由題意ABC=DAB=60,所以MBC為正三角形,因此AB=2BC=2,CA=3,因此CACB.以C為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C-xyz.所以A(3,0,0),B(0,1,0),D1(0,0,3).因此M32所以MD設(shè)平面C1D1M的一個(gè)法向量n=(x,y,z),由n可得平面C1D1M的一個(gè)法向量n=(1,3,1).又CD1=(0,0,3)為平面ABCD因此cos=所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值為55解法二:由(1)知平面D1C1M平面ABCD=AB,過C向AB引垂線交AB于N,連接D1N.由CD1平

15、面ABCD,可得D1NAB,因此D1NC為二面角C1-AB-C的平面角.在RtBNC中,BC=1,NBC=60,可得CN=32所以ND1=CD在RtD1CN中,cosD1NC=CND所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值為5518.(本小題滿分12分)(2014山東,理18)乒乓球臺(tái)面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分.如圖,甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域A,B,乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C,D.某次測試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定:回球一次,落點(diǎn)在C上記3分,在D上記1分,其他情況記0分.對落點(diǎn)在A上的來球,隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為12,在D上的概率為13;對落點(diǎn)在B

16、上的來球,小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為15,在D上的概率為35.假設(shè)共有兩次來球且落在A,B上各一次,(1)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率;(2)兩次回球結(jié)束后,小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望.分析:第(1)問中,恰有一次落在乙上可分為兩種情況,第種,從A擊球落在乙上,從B擊球沒落在乙上;第種,從B擊球落在乙上,從A擊球沒落在乙上,將兩種情況的概率相加即為恰有一次落在乙上的概率.第(2)問中,根據(jù)事件的獨(dú)立性與互斥性,可得出,得0分情形為A,B處都不得分;得1分情形為A處得1分B處不得分或A處不得分B處得1分;得2分情形為A,B兩處各得1分;得3分情形為A處得3分B處得0分或A

17、處得0分B處得3分;得4分情形為A處得3分B處得1分或A處得1分B處得3分;得6分情形為A,B兩處都得3分,共6種情形.列出小明得分之和的分布列便可求出期望.解:(1)記Ai為事件“小明對落點(diǎn)在A上的來球回球的得分為i分”(i=0,1,3),則P(A3)=12,P(A1)=13,P(A0)=1-記Bi為事件“小明對落點(diǎn)在B上的來球回球的得分為i分”(i=0,1,3),則P(B3)=15,P(B1)=35,P(B0)=1-記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”.由題意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的獨(dú)立性和互斥性,P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+

18、A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=12所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為310(2)由題意,隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,3,4,6,由事件的獨(dú)立性和互斥性,得P(=0)=P(A0B0)=16P(=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=13P(=2)=P(A1B1)=13P(=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=12P(=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=12P(

19、=6)=P(A3B3)=12可得隨機(jī)變量的分布列為:012346P1112111所以數(shù)學(xué)期望E()=0130+116+215+3215+4113019.(本小題滿分12分)(2014山東,理19)已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令bn=(-1)n-14nanan+1,求數(shù)列bn分析:第(1)問中可利用等差數(shù)列知識,用首項(xiàng)與公差表示出前n項(xiàng)和,再根據(jù)S1,S2,S4成等比數(shù)列求出首項(xiàng),從而求得an.求第(2)問時(shí),可結(jié)合第(1)問中an的結(jié)果得出bn的通項(xiàng)公式,最后對項(xiàng)數(shù)n按奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論并求出bn的前n項(xiàng)和Tn

20、.解:(1)因?yàn)镾1=a1,S2=2a1+2122=2a1+2S4=4a1+4322=4a1+12由題意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.(2)bn=(-1)n-14nanan+1=(=(-1)n-112當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=1+13-13+1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=1+13-13+1所以Tn=2或T20.(本小題滿分13分)(2014山東,理20)設(shè)函數(shù)f(x)=exx2-k2x+lnx(k為常數(shù),e=2.718(1)當(dāng)k0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),求k的取值范圍.分析:第(1)問中可先求出f(x)的導(dǎo)

21、函數(shù)f(x),再解不等式f(x)0和f(x)0,再具體討論k值,要使f(x)在(0,2)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),則f(x)在(0,2)內(nèi)必須出現(xiàn)增減增或減增減,即導(dǎo)函數(shù)f(x)出現(xiàn)正負(fù)正或者負(fù)正負(fù).據(jù)此可列出不等式,最后求得k的取值范圍.解:(1)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?0,+).f(x)=x2e=xe由k0可得ex-kx0,所以當(dāng)x(0,2)時(shí),f(x)0,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+).(2)由(1)知,當(dāng)k0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在極值點(diǎn);當(dāng)k0時(shí),設(shè)函數(shù)g(x)=ex-kx,x0,+)

22、.因?yàn)間(x)=ex-k=ex-eln k,當(dāng)00,y=g(x)單調(diào)遞增,故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn);當(dāng)k1時(shí),得x(0,ln k)時(shí),g(x)0,函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞增.所以函數(shù)y=g(x)的最小值為g(ln k)=k(1-ln k).函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)g解得ek0)的焦點(diǎn)為F,A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B,交x軸的正半軸于點(diǎn)D,且有|FA|=|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí),ADF為正三角形.(1)求C的方程;(2)若直線l1l,且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E,證明直線AE過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo);ABE的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小值;若不存在,請說明理由.分析:在第(1)問中,可設(shè)D(t,0),然后根據(jù)拋物線定義以及|FA|=|FD|建立t與p的關(guān)系,再由ADF為正三角形求出p的值,即得C的方程.在第(2)問中,利用拋物線方程可確定拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo),再設(shè)出A點(diǎn),利用與F點(diǎn)關(guān)系求出點(diǎn)D,從而確定l的斜率.根據(jù)l1與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)知