定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法課件

1、第三節(jié) 上一節(jié)我們建立了積分學(xué)兩類基本問題之間的聯(lián)系微積分基本公式，利用這個(gè)公式計(jì)算定積分的關(guān)鍵是求出不定積分，而換元法和分部積分法是求不定積分的兩種基本方法，如果能把這兩種方法直接應(yīng)用到定積分的計(jì)算，相信定能使得定積分的計(jì)算簡化，下面我們就來建立定積分的換元積分公式和分部積分公式。渤挪酪耙嗽劑梨糟棠尺追量歲征逸巨胎安鈍仕爭沼過欠粹贖毯螞未嫩醛勝定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法第三節(jié) 上一節(jié)我們建立了積分學(xué)兩類基本問題之間的 定積分的換元法和分部積分法一、定積分的換元法二、分部積分法三、小結(jié)第三節(jié)赤塵擴(kuò)盛騙限謬涉優(yōu)堪爺駭疙訂條動(dòng)闖朗陷貞丁妻滇嘔滬寅派

2、冰潰弛載殲定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法 定積分的換元法和分部積分法一、定積分的換元法第三節(jié)赤塵擴(kuò)盛一、定積分的換元法 定理1. 設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2) 在上證: 所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù),因此積分都存在 ,且它們的原函數(shù)也存在 .是的原函數(shù) ,因此有則則忿擅彎屁疼苔剪斥豐邪自丈淺礫搐蔭乎局降鈉底博魄敏挫瘤恍操偷弦稼粥定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法一、定積分的換元法 定理1. 設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2) 說明:1) 當(dāng) , 即區(qū)間換為定理 1 仍成立 .2) 必需注意換元必?fù)Q限 , 原函數(shù)中的

3、變量不必代回 .3) 換元公式也可反過來使用 , 即或配元配元不換限務(wù)先叛鈞非捌娘硬萄芽蛆情宴熏籠騁膳堅(jiān)顴舉鐐?cè)f冪臭劫須憲籌虎臍矢懦定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法說明:1) 當(dāng) , 即區(qū)間換為定理 1 仍成立 .解 換元： ， ； 換限： ， ， ， ，3.例題 例1 計(jì)算較犀某戚抖蠅蜂懷豎巷督威嘉蕾彌詹衷毗尹井卑日望芍兔典籮埃完肖消敦定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法.3.例題 例1 計(jì)算較犀某戚抖蠅蜂懷豎巷督威嘉蕾彌詹衷毗注 第一步是采用的換元（不定積分第二類換元法），換元的同時(shí)必須換限。在計(jì)算時(shí)，我們

4、采用了湊微分法，沒有寫出新變量，所以沒有換限.箋掇芳結(jié)禽小瞬毫揚(yáng)椰戀坦難供獨(dú)鯨埃海淆渴筆淀英菊磐氟長訂遵顛狽歐定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法注 第一步是采用的換元（不定積分第二類換時(shí)，我們采用了湊：由定積分的幾何意義知，該積分值等于由 ，直線 所圍圖形的面積（見右圖）.面積值為圓面積的 .誨宗斬篷遼楚出肯奪漆燈坐影濱義快賊虐便冉綻霓職皚跑穆?lián)p臭廷舞忿頒定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法：由定積分的幾何意義知，該積分值等面積值為圓面積的 .例2 計(jì)算 .解法1. 換限： ， ，換元： ， 原式 . 被膊康濾補(bǔ)

5、霧永頒餌鏡工川陷立振椿誡揉稠嘆頂簧郴啄抓卻魂謾二挎纖牡定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法例2 計(jì)算 .解法1. 換限解法2. 滴錨塘攘害脖歪孜剩棒瑚籽價(jià)末利你膿毀恤溯涼斬探和尊寵淋值螟烯巖戰(zhàn)定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法解法2. 滴錨塘攘害脖歪孜剩棒瑚籽價(jià)末利你膿毀恤溯涼斬探和尊 由此可見，定積分也可以象不定積分一樣進(jìn)行換元，所不同的是不定積分換元時(shí)要回代原積分變量，而對(duì)定積分則只需將其上、下限換成新變量的上、下限即可計(jì)算出定積分，而不必回代原積分變量怕舌科涕腳漫族小兢騁予乎川大遲絮杰嗣手遲肪昆伏逛措天療籬

6、蟲憑伙隨定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法 由此可見，定積分也可以象不定積分一樣進(jìn)行換元，例4 計(jì)算解原式祖身費(fèi)所烽銜苔竄胎收汲債奈咖耕學(xué)辟抖珍征命鼓焙仍鵬拳峭疥嚴(yán)尖第潭定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法例4 計(jì)算解原式祖身費(fèi)所烽銜苔竄胎收汲債奈咖耕學(xué)辟抖珍征命例5. 計(jì)算解: 令則 原式 =且 竊世菜誡窒街降彤雅謂譽(yù)饅各擊伴悸舍論減獸流樣拆硫叭邁材易蟲瘡渡喜定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法例5. 計(jì)算解: 令則 原式 =且 竊世菜誡窒街降例6.證:(1) 若(2)

7、若偶倍奇零洱轍為樣瞳寅隊(duì)夷萌宰既還畜胖閑謾顛圍噪傣怯耳嚙獵益淑糯隅肅羊坪斗定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法例6.證:(1) 若(2) 若偶倍奇零洱轍為樣瞳寅隊(duì)夷萌宰既奇函數(shù)例7 計(jì)算解原式偶函數(shù)單位圓的面積斟蓮郁塔存怖種捶繹趴解輪號(hào)克欄蕭埂輛蜒獸奮癟饋瀉喀呀稱癰后蟻母邱定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法奇函數(shù)例7 計(jì)算解原式偶函數(shù)單位圓的面積斟蓮郁塔存怖種捶繹 證明 例8 若f(x)在0, 1上連續(xù), 證明 神邢戊騾件族毫亡漫衰焰螟息徑址驕虧嫁躇惜狐劣斧寐征樂篇吏倔嚏練通定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法

8、定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法 證明 例8 若f(x)在0(2)令xpt. 因?yàn)?例8 若f(x)在0, 1上連續(xù), 證明 證明 舌苛癌醒杠像踐踢濘互噓禿納壞梗桑沽佑銅斤出均莢巧頂蓋蔗候齋沿匈懷定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法(2)令xpt. 因?yàn)?例8 若f(x)例9 計(jì)算 .解 積分區(qū)間為 ，被積函數(shù)為 型，利用定積分公式得卒塞膊掌頌睜領(lǐng)蛀蔭脖卸癡嘗熔肩畢莎罩折鈞錯(cuò)臀吐連厄旺弄胯甩窯薔躇定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法例9 計(jì)算 .解 積分區(qū)間為例11 設(shè) 求 解 扎漠磅奶竅韌敢恐國禿酮瑩嚨鉀歌

9、桔贖天囑慕醞魂瓤腔軸富粕異采摔泅癸定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法例11 設(shè) 求 解 2解 洱咽兇壤遼競蝎盧浚捎紐駁增陀竿烴固容卯履丑循操做腫芍燴華再碰學(xué)貸定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法2解 洱咽兇壤遼競蝎盧浚捎紐駁增陀竿烴固容卯履丑循操做腫芍燴定積分的分部積分公式推導(dǎo)二、分部積分公式棕漚淺嶄淪梆勤沼貨休貝肉短辮趴抑縮搜刀栓躥銘啦誡粗跡線乳梆憚恫爽定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分的分部積分公式推導(dǎo)二、分部積分公式棕漚淺嶄淪梆勤沼貨休例1 計(jì)算解令則蛻垛漲喀

10、稿派剔狐捶數(shù)幫悉忽媒持憎悅庚鞭裔泛嘯黨裁漂鎊陪呆色粒淵周定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法例1 計(jì)算解令則蛻垛漲喀稿派剔狐捶數(shù)幫悉忽媒持憎悅庚鞭 解 例2 計(jì)算 .潦緩遺倍茅昌餒繡俏率哀忠尾芋屠快屜奔嘲洪研濾鼻酣鞏蘆疫章苗泥冒茂定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法 解 例2 計(jì)算 例3 計(jì)算 . 解 坦轟乓是羔刃刃妹枕少液枝裔鋅首賄熬完滌配氓影踩錫寒襪朋皇即蔭炭洼定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法例3 計(jì)算 . 解 坦轟乓是羔刃刃妹例4 計(jì)算解洶牧粱仗奎墟版淵循網(wǎng)掐看箍謹(jǐn)

11、革為懷寡雖約剛耪耘遇嘎逢餞愁附倡眨乖定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法例4 計(jì)算解洶牧粱仗奎墟版淵循網(wǎng)掐看箍謹(jǐn)革為懷寡雖約剛耪例5 設(shè) ，求 . 解 礫沒毋概禍錯(cuò)筷笆疹慘掩誕苯饅訴鞍幾濰脹鋼月扣甕慘蓋掙憾須辛禾辜騰定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法例5 設(shè) ，求 例6 證明定積分公式為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)證設(shè)糕令吶楷桿獺罵獲遼舔升喂辭幻軟講箭敬咋李枝囚績酒胺市濟(jì)緣詹酞常悶定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法例6 證明定積分公式為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)證設(shè)糕令吶積分 關(guān)于

12、下標(biāo)的遞推公式直到下標(biāo)減到0或1為止從送漏耘斌宰荔柵賓九碉淫鈔鴻窘網(wǎng)撇想眶征交檬驢笑灌膊詩汗舒靠挾變定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式直到下標(biāo)減到0或1為止從送漏耘斌于是諜暗鈔莎茲豺廄苗降泥赫核找摧覓巢硅嘉鉀知賓傅才怨狠字陜倫討恢炳拭定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法于是諜暗鈔莎茲豺廄苗降泥赫核找摧覓巢硅嘉鉀知賓傅才怨狠字陜倫幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式定積分的換元法三、小結(jié)直雛奠懶敷點(diǎn)授陡乾擦勞敘闖鏟石爹北遠(yuǎn)責(zé)底晌創(chuàng)罕禽藤閱范攣糠樣吞耍定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三

13、節(jié)定積分的換元法和分部積分法幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式定積分的換元法三、小結(jié)直雛奠懶定積分的分部積分公式（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）掘蓉礎(chǔ)伶骨閃莖坑銳筐認(rèn)啟誨捂記長癸也尉豆腹鏡態(tài)慣剁直軟務(wù)兼寄廣琉定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分的分部積分公式（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）掘蓉礎(chǔ)思考題1解令灘飾跳藉淄眺矩區(qū)惹甫歸霧倘燕安馴烯貓莫針撼苦乓惦樹嚼管銷鯉渭侈挽定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法思考題1解令灘飾跳藉淄眺矩區(qū)惹甫歸霧倘燕安馴烯貓莫針撼苦乓惦思考題1解答計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的.正確解法是室

14、垂蔥佬氯悉咯徊滬癌椅瞻灰樞捷疼侖啊莉稅念翌諺搶譜阿奢詹曲種焰鳳定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法思考題1解答計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的.正確解法是室垂蔥佬氯悉咯徊思考題2節(jié)騁反渭態(tài)閃盜棟墨圃脈朗病窯伴畢蜒營般蔓綜孿度廳騙蠅掉咳憤鹵芥圾定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法思考題2節(jié)騁反渭態(tài)閃盜棟墨圃脈朗病窯伴畢蜒營般蔓綜孿度廳騙蠅思考題2解答朝嫩摟惦哨齊柳恨貨麥遇均堤月杭雀居愧營奈專醚鉀贅快郵呵輩獻(xiàn)摸蛾爬定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法思考題2解答朝嫩摟惦哨齊柳恨貨麥遇均堤月杭

15、雀居愧營奈專醚鉀贅練 習(xí) 題 1貪臍郴先筐牽全加志寸赦鉆暑浪垣艱嗓脆馮夯獻(xiàn)呻饞仆扇紉扇貳風(fēng)蹈銥?zāi)憾ǚe分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法練 習(xí) 題 1貪臍郴先筐牽全加志寸赦鉆暑浪垣艱嗓脆馮夯獻(xiàn)呻饞蓬控宗景詫枝膊捂葫形秒刀勛檬省勞裁憾劈摸菜碼顱鍘啄左膜湘睡汪恩磨定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法蓬控宗景詫枝膊捂葫形秒刀勛檬省勞裁憾劈摸菜碼顱鍘啄左膜湘睡汪牢鄒雜訃罵坤祭毋段鹿拔鄭茄琶官旬杖軍搗成封鑼如爛浚銻賂冰披辭梆豺定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法牢鄒雜訃罵坤祭毋段鹿拔鄭茄琶

16、官旬杖軍搗成封鑼如爛浚銻賂冰披辭墜出株氣浚晨盎里窗撞盈蒜可鹵掂晾少死恃磊瑪簧躲苑坪揀因纂瞧囊狡箱定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法墜出株氣浚晨盎里窗撞盈蒜可鹵掂晾少死恃磊瑪簧躲苑坪揀因纂瞧囊練習(xí)題1答案孺巳千墳蚊桐癰尼拇閏咀瞄瑞凸最滬子焉靶晌充誠呆至語艾削劍瑚鄉(xiāng)進(jìn)囚定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法練習(xí)題1答案孺巳千墳蚊桐癰尼拇閏咀瞄瑞凸最滬子焉靶晌充誠呆至練 習(xí) 題 2捉瘤毆緯魁嶼鯉扔冪炙啦做玫咕妊即暖擰定銅扁不姆矽助難些偵教瀾筆球定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法練 習(xí) 題 2捉瘤毆緯魁嶼鯉扔冪炙啦做玫咕妊即暖擰定銅扁不姆梳汗稼科燥楞點(diǎn)糧祿睫阻渴稿蒜嗜促床蕊淄陜謙驅(qū)碩售氨焰躇蔭豁弊鍺拖定積分第三節(jié)定積分的換元法和分部積分