安徽省江淮名校2019屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）試題+Word版含解析

1、數(shù)學(xué)（理科）第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式得集合A，進(jìn)而可得，求解函數(shù)定義域可得集合B，利用交集求解即可.【詳解】因?yàn)榧?，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的補(bǔ)集及交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】由題意得，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故選A.3.已知向量，若，則（

2、）A. B. C. -3 D. 3【答案】B【解析】【分析】利用兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示列出方程求解即可.【詳解】向量，若，則，解得.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.4.已知函數(shù)，則是（ ）A. 奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B. 偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)C. 奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) D. 偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)【答案】C【解析】【分析】先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而利用可得函數(shù)為奇函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， ，有，所以是奇函數(shù)，函數(shù)，顯然是減函數(shù).故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題

3、.5.已知一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐側(cè)面的4個(gè)三角形面積的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】還原幾何體得四棱錐，其中面，分別計(jì)算各側(cè)面的面積即可得解.【詳解】還原三視圖可得幾何體如圖所示，四棱錐，其中面，.中有，由，所以.所以.所以面積最大值是的面積，等于2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體，并計(jì)算幾何體的側(cè)面積，需要一定的空間想象力，屬于中檔題.6.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用基本量運(yùn)算可得通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得前n項(xiàng)和，從而可得，令求解即可.【詳解】由，可得；

4、由.兩式作比可得：可得，所以，所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)公式，屬于公式運(yùn)用的題目，屬于基礎(chǔ)題.7.把函數(shù)的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，再向左平移，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)的圖象變換可得函數(shù)，再由 ，可解得單調(diào)增區(qū)間，即可得解.【詳解】函數(shù) 的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，可得的圖象，再向左平移，得到函數(shù) 的圖象.由 ，得，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換及三角函數(shù)的單調(diào)性，注意三角函數(shù)的平移變換，平移是針對(duì)自

5、變量“x”而言的，所以需要將x的系數(shù)提出，屬于中檔題.8.若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出不等式的可行域，的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)，由斜率的最大值即可得解.【詳解】作出不等式組構(gòu)成的區(qū)域，的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)，由圖象知的斜率最大，由得，所以，此時(shí).故選A.【點(diǎn)睛】常見的非線性目標(biāo)函數(shù)問題，利用其幾何意義求解：的幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線的距離的倍的幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方。的幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的直線的斜率.9.如圖，在矩形中的曲線是，的一部分，點(diǎn)，在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)

6、，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由幾何概型可知，再利用定積分求陰影面積即可.【詳解】由幾何概型，可得 .【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的計(jì)算，涉及定積分在求面積中的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確計(jì)算出陰影部分的面積，屬于中檔題.10.的斜邊等于4，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】結(jié)合三角形及圓的特征可得，進(jìn)而利用數(shù)量積運(yùn)算可得最值，從而得解.【詳解】 .注意，所以當(dāng)與同向時(shí)取最大值5，反向時(shí)取小值-3.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的線性運(yùn)算，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及幾何圖形中向量問

7、題的求解.屬于中檔題.11.體積為的三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，則球的表面積的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把三棱錐放在長(zhǎng)方體中，由面積公式及基本不等式可得，進(jìn)而有，結(jié)合即可得最值.【詳解】把三棱錐放在長(zhǎng)方體中，由已知條件容易得到，所以 ，因此，注意，所以球的表面積的最小值是. 故選C.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的外接球問題，利用四面體構(gòu)造長(zhǎng)方體是解題的關(guān)鍵，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線等于球的直徑是本題的突破點(diǎn)12.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則當(dāng)時(shí)， （ ）A. 有極大值，無極小值 B. 無極大值，有極小值C. 既有極大值又有極小值 D. 既無極大值又無極小值【答案

8、】B【解析】【分析】由題設(shè)，結(jié)合條件可得存在使得，再由，可得在上單調(diào)遞增，分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得原函數(shù)的極值情況.【詳解】由題設(shè)，所以，所以存在使得，又 ，所以在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因此，當(dāng)時(shí)，取極小值，但無極大值，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：研究函數(shù)的極值，但函數(shù)一次求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性不明確時(shí)，仍可以繼續(xù)求導(dǎo)，即二次求導(dǎo)，屬于常見的處理方式，考查了學(xué)生的分析問題的能力，屬于難題.第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知，若是的充分不必要條件，則的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】由是的充分不必要條件，可

9、得是的充分不必要條件，從而得且，列不等式求解即可.【詳解】，由題意是的充分不必要條件，等價(jià)于是的充分不必要條件，即，于是且，得，經(jīng)檢驗(yàn).故答案為：.【點(diǎn)睛】邏輯聯(lián)結(jié)詞，且：全真為真，一假為假；或：一真為真，全假為假；非：真假相反.本題中是的充分不必要條件，也可以考慮逆否命題來解決.14.已知函數(shù)在上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得的范圍，由條件可知右端點(diǎn)應(yīng)該在第一個(gè)最小值后第二個(gè)最大值前，即得，解不等式即可得解.【詳解】由題設(shè)，所以應(yīng)該在第一個(gè)最小值后第二個(gè)最大值前，所以有，得，所以的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)，考查

10、學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.在應(yīng)用函數(shù)y=Asin（ x + ）的圖像和性質(zhì)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值時(shí)，一般采用的是整體思想，將 x +看做一個(gè)整體，地位等同于sinx中的x.15.已知正數(shù)，滿足，則的最大值為_【答案】【解析】【分析】令，則，可得，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】令，則，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)可以取到最大值，此時(shí).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了均值不等式的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的正確應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的

11、條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.16.在四邊形中，則的最大值為_【答案】【解析】試題分析：因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，在以為直徑的圓上，要使最大，就是到圓周上動(dòng)點(diǎn)的最大值，為到圓圓心的距離加半徑，即是，故答案為.考點(diǎn)：1、正弦定理、余弦定理應(yīng)用；2、圓的性質(zhì).【方法點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理應(yīng)用以及圓的性質(zhì)，屬于難題. 在解與三角形有關(guān)的問題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù)，對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件. 對(duì)正弦定理也是要注意兩方面的應(yīng)用：一是邊角互化；二是求邊求角.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過

12、程或演算步驟.） 17.如圖，在梯形中，四邊形是正方形，且，點(diǎn)在線段上. （）求證：平面；（）當(dāng)平面時(shí)，求四棱錐的體積.【答案】（）見解析；（）.【解析】【分析】（）分析梯形的角度可得，即得，又，從而得證；（）設(shè)對(duì)角線，交于點(diǎn)，連接，易得四邊形是平行四邊形，得，由梯形面積公式可得底面積，高為，利用椎體的體積公式即可得解.【詳解】（）由題設(shè)易得，所以，（第2問用）因此，又，和為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面（）設(shè)對(duì)角線，交于點(diǎn)，連接，則由平面可得，進(jìn)而四邊形是平行四邊形，所以.四棱錐的底面積是.由（）知四棱錐的高是所以體積.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的證明及線面平行的性質(zhì)，還有椎體的體積公式，

13、考查一定的空間想象力，屬于中檔題.18.如圖，是的外角平分線，且.（）求；（）若，求的長(zhǎng).【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）由角平分線及互補(bǔ)的關(guān)系可得，可得 ，從而得解；（）在和中，分別用余弦定理表示和，再利用，解方程即可得解.【詳解】（）由題設(shè)，所以 （）在中，由余弦定理，在中，又，所以，進(jìn)而.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的靈活應(yīng)用，需要對(duì)圖形的幾何特征進(jìn)行分析，需要一定的能力，屬于中檔題.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)的和，是等差數(shù)列，且.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）由及時(shí)，可得，再由是等差數(shù)列，利用基本量運(yùn)算求解即可；（）由，利用

14、錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（），時(shí)， ，也符合此式，所以.又，可得，所以（） ，所以 ，所以 ，錯(cuò)位相減得 ，所以【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等.20.在四棱錐中，側(cè)面底面，.（）求與平面所成角的正弦值；（）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，可得平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為，軸，通過解方程求得平面的法向量，利用，即可得解；（）求得平面

15、的法向量，通過求解，即可得二面角銳角的余弦值.【詳解】在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，又側(cè)面底面，所以平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易得，.由已知條件， ，得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為所以向量，（）設(shè)平面的法向量，則 ，設(shè)求與平面所成角為，則，（）設(shè)平面的法向量則 ，所以，.平面與平面所成的銳二面角的余弦值等于【點(diǎn)睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角

16、和距離.21.已知.（）求的最小值；（）若對(duì)任意都成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（）最小值；（）3.【解析】【分析】（）通過求導(dǎo)分析 函數(shù)單調(diào)性即可得最小值；（）由條件可得對(duì)任意都成立，記，通過求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性可得存在唯一的，在取唯一的極小值也是最小值，結(jié)合極值的等量關(guān)系可得，從而得解.【詳解】（）的定義域是，令 ，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取唯一的極小值，也是最小值（） （注意），記，則考查函數(shù)， ，在定義域上單調(diào)遞增.顯然有，所以存在唯一的使得.在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增.所以在取唯一的極小值也是最小值，注意此時(shí) ，所以 ，所以整數(shù)的最大值可以取3【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值與最值，考查了用變量分離求新函數(shù)的最值解決恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，也考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題22.已知，其中.（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若恒成立，求的最大值.【答案】（）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（）.【解析】【分析】（）求函數(shù)導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可研究函數(shù)的單調(diào)性;（）由條件可得 在上恒成立, 求導(dǎo)得,分別討論,和三種情況,研究的最小值的取值情況,從而即可得解.【詳解】（）時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù)，求導(dǎo)得，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（）令 在上恒成立，則 在上恒成立求導(dǎo)得.若，顯然可以任意小，不符合題意.若，則最