專題08 極值點(diǎn)偏移（一）（解析版）

1、 專題08 極值點(diǎn)偏移（一）考情分析導(dǎo)數(shù)的引入,為函數(shù)的研究與應(yīng)用提供了有效的工具,把初等函數(shù)的學(xué)習(xí)提高到一個(gè)新的層次,正因如此,近年來,對(duì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的考查,已成為高考和各地模擬考試的熱點(diǎn)和重點(diǎn), 有些學(xué)生由于對(duì)概念的理解不夠準(zhǔn)確或受到某些知識(shí)或方法的負(fù)遷移,在由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求極值點(diǎn)偏移的問題程時(shí),從而導(dǎo)致對(duì)而不會(huì),會(huì)而不全.極值點(diǎn)偏移問題在近幾年高考及各種?？?，作為熱點(diǎn)以壓軸題的形式給出，很多學(xué)生對(duì)待此類問題經(jīng)常是束手無策，而且此類問題變化多樣，有些題型是不含參數(shù)的，而更多的題型又是含有參數(shù)的. 其實(shí)，此類問題處理的手段有很多，方法也就有很多，下面我們來逐一探索！ 經(jīng)驗(yàn)分享【極值

2、點(diǎn)偏移基本定義】眾所周知，函數(shù)滿足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；可以理解為函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點(diǎn). 如二次函數(shù)的頂點(diǎn)就是極值點(diǎn)，若的兩根的中點(diǎn)為，則剛好有，即極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒有偏移.若相等變?yōu)椴坏?，則為極值點(diǎn)偏移：若單峰函數(shù)的極值點(diǎn)為，且函數(shù)滿足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點(diǎn)左右側(cè)變化快慢不同. 故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)滿足，則與極值點(diǎn)必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點(diǎn)左偏；若，則稱為極值點(diǎn)右偏.【極值點(diǎn)偏移幾種?？碱愋汀?. 若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）； 2. 若函數(shù)中

3、存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3. 若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；4. 若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.三、題型分析例1.設(shè)函數(shù)，函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，且是的圖像上不同的兩點(diǎn)，滿足，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：【解析】，又依題意，得在定義域上單調(diào)遞增，所以要證，只需證，即不妨設(shè)，注意到，由函數(shù)單調(diào)性知，有，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，從而不等式式成立，故原不等式成立. 例2.【2016年全國(guó)】已知函數(shù) QUOTE 有兩個(gè)零點(diǎn)（I）求a的取值范圍；（II）設(shè)，是 QUOTE 的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：【解析】（）（i）設(shè)，則，只有一個(gè)零點(diǎn)（ii）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單

4、調(diào)遞增又，取滿足且，則，故存在兩個(gè)零點(diǎn)（iii）設(shè)，由得或若，則，故當(dāng)時(shí)，因此在上單調(diào)遞增又當(dāng)時(shí)，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)若，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又當(dāng)時(shí)，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)綜上，的取值范圍為（）不妨設(shè)，由（）知，又在上單調(diào)遞減，所以等價(jià)于，即由于，而，所以設(shè)，則所以當(dāng)時(shí)，而，故當(dāng)時(shí)，從而，故例3 已知函數(shù)f(x)lnxax2(2a)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)a0，證明：當(dāng)0 xeq f(1,a)時(shí)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)x)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)x)；(3)若函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交于

5、A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明f(x0)0.【解析】 (1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)eq f(1,x)2ax(2a)eq f(2x1ax1,x).若a0，則f(x)0，所以f(x)在(0，)單調(diào)增加若a0，則由f(x)0得xeq f(1,a)，且當(dāng)xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)時(shí)，f(x)0，當(dāng)xeq f(1,a)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)單調(diào)增加，在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，)單調(diào)減少(2)設(shè)函數(shù)g(x)feq blc(rc)(avs4alco1

6、(f(1,a)x)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)x)，則g(x)ln(1ax)ln(1ax)2ax，g(x)eq f(a,1ax)eq f(a,1ax)2aeq f(2a3x2,1a2x2).當(dāng)0 xeq f(1,a)時(shí)，g(x)0，而g(0)0，所以g(x)0.故當(dāng)0 xeq f(1,a)時(shí)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)x)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)x).由(1)可得，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yf(x)的圖像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，故a0，從而f(x)的最大值為feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，且

7、feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)0.不妨設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，0 x1x2，則0 x1eq f(1,a)f(x1)0.從而x2eq f(2,a)x1，于是x0eq f(x1x2,2)eq f(1,a).由(1)知，f(x0)0. 【解題技巧點(diǎn)睛】在函數(shù)的解答題中有一類是研究不等式或是研究方程根的情況，基本的題目類型是研究在一個(gè)區(qū)間上恒成立的不等式(實(shí)際上就是證明這個(gè)不等式)，研究不等式在一個(gè)區(qū)間上成立時(shí)不等式的某個(gè)參數(shù)的取值范圍，研究含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、三角函數(shù)式等超越式的方程在某個(gè)區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)等，這些問題依據(jù)基礎(chǔ)初等函數(shù)的知識(shí)已經(jīng)無能為力，就需要根據(jù)導(dǎo)

8、數(shù)的方法進(jìn)行解決使用導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式和方程的基本思路是構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)的方法研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和特殊點(diǎn)的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推斷不等式成立的情況以及方程實(shí)根的個(gè)數(shù)在高考題的大題中，每年都要設(shè)計(jì)一道函數(shù)大題.因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的引入，為函數(shù)問題的解決提供了操作工具.因此入手大家比較清楚，但是深入解決函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目時(shí)，往往一籌莫展.原因是找不到兩者的結(jié)合點(diǎn)，不清楚解決技巧.解題技巧總結(jié)如下：（1）樹立服務(wù)意識(shí)：所謂“服務(wù)意識(shí)”是指利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)（一般第一問先讓解決出來），如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，服務(wù)于第二問要證明的不等式.（2）強(qiáng)化變形技巧：所謂“強(qiáng)化變形技巧”是指對(duì)于給出

9、的不等式直接證明無法下手，可考慮對(duì)不等式進(jìn)行必要的等價(jià)變形后，再去證明.例如采用兩邊取對(duì)數(shù)（指數(shù)），移項(xiàng)通分等等.要注意變形的方向：因?yàn)橐煤瘮?shù)的性質(zhì)，力求變形后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式.（3）巧妙構(gòu)造函數(shù)：所謂“巧妙構(gòu)造函數(shù)”是指根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值進(jìn)行解決.在構(gòu)造函數(shù)的時(shí)候靈活多樣，注意積累經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)一個(gè)“巧妙”.例4已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若，是的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：【答案】（1）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 （2）【解析】（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，），且，當(dāng)a0時(shí)，f（x）0，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）；當(dāng)a0時(shí)，由f（x）0

10、得，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）知a0且，a2e，要證原不等式成立，只需證明，只需證明，只需證明一方面a2e，且f（x）在單調(diào)遞增，故；另一方面，令，（x0），則，當(dāng)時(shí)，g（x）0；當(dāng)時(shí)，g（x）0；故，故g（x）0即時(shí)x（0，）恒成立，令，則，于是，而，故，且f（x）在單調(diào)遞減，故；綜合上述，即原不等式成立例5.已知函數(shù)（），曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.（1）試比較與的大小，并說明理由；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明： .【答案】（1）（2）見解析試題解析：（1）依題意得，所以，又由切線方程可得，即，解得此時(shí)， ，令，即，解得；令，即，解得

11、，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為所以，即， .（2）證明：不妨設(shè)因?yàn)樗曰?jiǎn)得， 可得， .要證明，即證明，也就是因?yàn)?，所以即證即，令，則，即證.令（），由故函數(shù)在是增函數(shù)，所以，即得證.所以【問題的進(jìn)一步探究】對(duì)數(shù)平均不等式的介紹與證明兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.只證：當(dāng)時(shí)，.不失一般性，可設(shè).證明如下：（I）先證：不等式構(gòu)造函數(shù)，則.因?yàn)闀r(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式成立；（II）再證：不等式構(gòu)造函數(shù)，則.因?yàn)闀r(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式成立；綜合（I）（II）知，對(duì)，都有對(duì)數(shù)平

12、均不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.遷移應(yīng)用1.【2019全國(guó)文21】已知函數(shù).證明：（1）存在唯一的極值點(diǎn)；（2）有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).【解析】（1）的定義域?yàn)椋?，+）.因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，又，故存在唯一，使得.又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因此，存在唯一的極值點(diǎn).（2）由（1）知，又，所以在內(nèi)存在唯一根.由得.又，故是在的唯一根.綜上，有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).2.【2019天津文20】設(shè)函數(shù)，其中.（）若，討論的單調(diào)性；（）若，（i）證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)（ii）設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明.【解析】（）由已知，的定義域?yàn)?，且，因此?dāng)時(shí)，

13、 ，從而，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.（）（i）由（）知.令，由，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又，且.故在內(nèi)有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，則.當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，因此是的唯一極值點(diǎn).令，則當(dāng)時(shí)，故在內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng)時(shí)， ，所以.從而，又因?yàn)?，所以在?nèi)有唯一零點(diǎn).又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而，在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).（ii）由題意，即，從而，即.因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，又，故，兩邊取對(duì)數(shù)，得，于是，整理得.3設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍【解析】（）函數(shù)的定義域?yàn)橛煽傻?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以 的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為（）由（）知，時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，故在內(nèi)不存在極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增故在內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)