專題07 恒成立問題（講義）（教師版）

1、專題7 恒成立問題【重難點知識點網(wǎng)絡】：不等式恒成立問題常見處理方法： 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）； 數(shù)形結合(圖象在 上方即可)； 討論最值或恒成立； 討論參數(shù).一、分離參數(shù)法1、參變分離：顧名思義，就是在不等式中含有兩個字母時（一個視為變量，另一個視為參數(shù)），可利用不等式的等價變形讓兩個字母分居不等號的兩側，即不等號的每一側都是只含有一個字母的表達式.然后可利用其中一個變量的范圍求出另一變量的范圍2、如何確定變量與參數(shù)：一般情況下，那個字母的范圍已知，就將其視為變量，構造關于它的函數(shù)，另一個字母（一般為所求）視為參數(shù).3、參變分離法的適用范圍：判斷恒成立問題是否可以采用參變分離法

2、，可遵循以下兩點原則：（1）已知不等式中兩個字母是否便于進行分離，如果僅通過幾步簡單變換即可達到分離目的，則參變分離法可行.但有些不等式中由于兩個字母的關系過于“緊密”，會出現(xiàn)無法分離的情形，此時要考慮其他方法.例如：，等（2）要看參變分離后，已知變量的函數(shù)解析式是否便于求出最值（或臨界值），若解析式過于復雜而無法求出最值（或臨界值），則也無法用參變分離法解決問題.（可參見”恒成立問題最值分析法“中的相關題目）4、參變分離后會出現(xiàn)的情況及處理方法：（假設為自變量，其范圍設為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達式）（1）若的值域為 ，則只需要 ，則只需要，則只需要 ，則只需要，則只需要 ，則只需要，則只需

3、要 ，則只需要（2）若的值域為 ，則只需要 ，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比） ，則只需要 ，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比） ，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比） ，則只需要 ，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比） ，則只需要x/k-+w5、多變量恒成立問題：對于含兩個以上字母（通常為3個）的恒成立不等式，先觀察好哪些字母的范圍已知（作為變量），那個是所求的參數(shù)，然后通常有兩種方式處理（1）選擇一個已知變量，與所求參數(shù)放在一起與另一變量進行分離.則不含參數(shù)的一側可以解出最值（同時消去一元），進而多變量恒成立問題就轉化為傳統(tǒng)的恒成立問題了.（2）將參數(shù)與變量進

4、行分離，即不等號一側只含有參數(shù)，另一側是雙變量的表達式，然后按所需求得雙變量表達式的最值即可.二、數(shù)形結合法1、函數(shù)的不等關系與圖象特征：（1）若，均有的圖象始終在的下方（2）若，均有的圖象始終在的上方2、在作圖前，可利用不等式的性質對恒成立不等式進行變形，轉化為兩個可作圖的函數(shù)3、要了解所求參數(shù)在圖象中扮演的角色，如斜率，截距等4、作圖時可“先靜再動”，先作常系數(shù)的函數(shù)的圖象，再做含參數(shù)函數(shù)的圖象（往往隨參數(shù)的不同取值而發(fā)生變化）5、在作圖時，要注意草圖的信息點盡量完備6、什么情況下會考慮到數(shù)形結合？利用數(shù)形結合解決恒成立問題，往往具備以下幾個特點：（1）所給的不等式運用代數(shù)手段變形比較復雜

5、，比如分段函數(shù)，或者定義域含參等，而涉及的函數(shù)便于直接作圖或是利用圖象變換作圖（2）所求的參數(shù)在圖象中具備一定的幾何含義（3）題目中所給的條件大都能翻譯成圖象上的特征不等式恒成立問題常見處理方法： 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）； 數(shù)形結合(圖象在 上方即可)； 最值法：討論最值或恒成立； 討論參數(shù). 最值法求解恒成立問題是三種方法中最為復雜的一種，但往往會用在解決導數(shù)綜合題目中的恒成立問題.此方法考查學生對所給函數(shù)的性質的了解，以及對含參問題分類討論的基本功.是函數(shù)與導數(shù)中的難點問題，下面通過典型例題總結此類問題的解法-最值分析法.三、最值分析法1、最值法的特點：（1）構造函數(shù)時往往將

6、參數(shù)與自變量放在不等號的一側，整體視為一個函數(shù)，其函數(shù)含參（2）參數(shù)往往會出現(xiàn)在導函數(shù)中，進而參數(shù)不同的取值會對原函數(shù)的單調性產(chǎn)生影響可能經(jīng)歷分類討論2、理論基礎：設的定義域為（1）若，均有（其中為常數(shù)），則（2）若，均有（其中為常數(shù)），則3、技巧與方法：（1）最值法解決恒成立問題會導致所構造的函數(shù)中有參數(shù)，進而不易分析函數(shù)的單調區(qū)間，所以在使用最值法之前可先做好以下準備工作： 觀察函數(shù)的零點是否便于猜出（注意邊界點的值） 縮小參數(shù)與自變量的范圍： 通過代入一些特殊值能否縮小所求參數(shù)的討論范圍（便于單調性分析） 觀察在定義域中是否包含一個恒成立的區(qū)間（即無論參數(shù)取何值，不等式均成立），縮小自變

7、量的取值范圍（2）首先要明確導函數(shù)對原函數(shù)的作用：即導函數(shù)的符號決定原函數(shù)的單調性.如果所構造的函數(shù)，其導數(shù)結構比較復雜不易分析出單調性，則可把需要判斷符號的式子拿出來構造一個新函數(shù)，再想辦法解決其符號.（3）在考慮函數(shù)最值時，除了依靠單調性，也可根據(jù)最值點的出處，即“只有邊界點與極值點才是最值點的候選點”，所以有的討論點就集中在“極值點”是否落在定義域內.【重難點題型突破】：一、分離參數(shù)法例1.（2021全國高三其他模擬）已知函數(shù)，若對恒成立，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【分析】令，求導，分析導函數(shù)的正負，得所函數(shù)的單調性和最值，由不等式恒成立思想可得選項【詳解】令，則，令，則，令

8、，解得，令，解得，故在上單調遞減，在上單調遞增，故令，解得，令，解得，故在上單調遞減，在上單調遞增，故，解得，故選：A【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題常見方法： 分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）； 數(shù)形結合( 圖象在 上方即可)； 討論最值或恒成立.【變式訓練】若函數(shù)（且）在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意，不妨設，則，由時為減函數(shù)，即，又在上為單調遞增，所以，所以，而此時函數(shù)為增函數(shù)，一減一增為減，故不合題意；同理由時為增函數(shù)，即，又在上為單調遞增，所以，所以，而當時，函數(shù)為增函數(shù)，因此當時，同增為增，滿足題意.故選D.二、數(shù)形結合

9、法例2.（2021全國高三其他模擬）已知函數(shù)若關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【分析】不等式在上恒成立的兩個臨界狀態(tài)是與相切和與相切時，故求兩種狀態(tài)下的值，即可得的取值范圍【詳解】畫出函數(shù)的圖像如圖所示.在上恒成立即函數(shù)的圖像恒在直線的圖像的下方，且直線過定點，當直線與相切時，設切點，可得，解得，則直線斜率為，即；當直線與相切時，此時由，得，令，得或（舍），所以由圖像可知故選：A【點睛】方法點睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域或最值問題加以

10、解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解【變式訓練2-1】、已知函數(shù)在t,t+1上不單調，則實數(shù)t的取值范圍是_【答案】【解析】已知函數(shù)f(x)定義域為，鈭磘0，令gx函數(shù)在上不單調，區(qū)間在gx零點1或3的兩側，或t3t解得0t1或即實數(shù)t的取值范圍是.點睛：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的關鍵在于準確判定導數(shù)的符號，注意單調函數(shù)的充要條件，尤其對于已知單調性求參數(shù)值(范圍)時，隱含恒成立思想【變式訓練2-2】、若不等式對于任意的都成立，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】本題選擇數(shù)形結合，可先作出在的圖象，扮演的角色為對數(shù)的底數(shù)，決定函數(shù)的增減，根據(jù)不等關系可得，觀察圖象進一步可得只需時，即，所以三、最值分析法例3（2021遼寧高三二模）已知函數(shù)，若關于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【分析】先研究函數(shù)的單調性，再討論表示的直線與相切時參a的值，結合直線特征確定縱截距使得恒在直線上方，即求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則，令，得，當時，單調遞減，當時，單調遞增.又，則當時，若直線與相切時，設切點為，則，