廣東省廣州市長崗中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

1、廣東省廣州市長崗中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面是邊長為1的正方形，若A1AB=A1AD=60，且A1A=3，則A1C的長為（）ABCD參考答案：A【分析】用空間向量解答【解答】解： =+；2=（+）2；即2=?+?+?+?（?+?）=1+031cos60+0+131cos60（31cos60+31cos609）；=1+1+9=5，A1C=故選A2. 已知集合集合，則集合的子集個數(shù)為（ ）A. B. C. D. 參考答案：C

2、3. 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若c2=（ab）2+6，C=，則ABC的面積（）A3BCD3參考答案：C【考點】余弦定理【分析】根據(jù)條件進(jìn)行化簡，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可【解答】解：c2=（ab）2+6，c2=a22ab+b2+6，即a2+b2c2=2ab6，C=，cos=，解得ab=6，則三角形的面積S=absinC=，故選：C4. 設(shè)，則的值為 （）A. B. C. D. 參考答案：A略5. 已知是不同的直線，是不同的平面，則“”的一個充分不必要條件是（ ）A， B， C， D， 參考答案：A略6. 已知集合,則集合（ ）A. B. C. D. 參考答案

3、：C7. 若正方形ABCD的邊長為1，則?等于（）AB1CD2參考答案：B【考點】平面向量數(shù)量積的運算【分析】直接利用向量的數(shù)量積求解即可【解答】解：正方形ABCD的邊長為1，則?=|?|cos，=1故選：B8. 設(shè)p：1x2，q：2x1，則p是q成立的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【專題】簡易邏輯【分析】運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分必要條件的定義，即可判斷【解答】解：由1x2可得22x4，則由p推得q成立，若2x1可得x0，推不出1x2由充分必要條件的定義可得p是q成立的充分不必要條件故選A【點

4、評】本題考查充分必要條件的判斷，同時考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用，屬于基礎(chǔ)題9. 在十進(jìn)制中，那么在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成十進(jìn)制為 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004參考答案：B略10. 為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了塊地作試驗田.這塊地的畝產(chǎn)量（單位：)分別為，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（ ）A. 的平均數(shù)B. 的標(biāo)準(zhǔn)差C.的最大值 D. 的中位數(shù)參考答案：C二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 5 名同學(xué)去聽 3 個課外講座，且每個學(xué)生只能選一個講座，不同的選法有 種參考答案：24312. 如圖所示，在直三棱柱

5、ABCA1B1C1中，底面是ABC為直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當(dāng)AF_時，CF平面B1DF. 參考答案：a或2a略13. 已知，數(shù)列an滿足a1=f（1），且an+1=f（an）（nN+），則a2015=參考答案：【考點】數(shù)列與函數(shù)的綜合【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】求得a1，再取倒數(shù)，可得=+1，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式，計算即可得到所求值【解答】解：由，可得a1=f（1）=，由an+1=f（an），可得an+1=，取倒數(shù)，可得=+1，即有為首項為2，公差為1的等差數(shù)列，即有=2+20151

6、=2016，可得a2015=故答案為：【點評】本題考查數(shù)列的通項的求法，注意運用取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式，考查運算能力，屬于中檔題14. 已知正方體 中，點E是棱 的中點，則直線AE與平而 所成角的正弦值是_.參考答案：15. 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ABC的外接圓半徑為1，若，則ABC的面積為_參考答案：分析：由正弦定理可把其中一邊化為角，從而由及由公式求得面積.詳解：由題意得，即，故答案為.點睛：正弦定理：，利用它把三角形的邊角與外接圓半徑建立聯(lián)系，這樣可得三角形面積為.16. 平面上一機器人在行進(jìn)中始終保持與點F（1，0）的距離和到直線x=1的距

7、離相等，若機器人接觸不到過點P（1，0）且斜率為k的直線，則k的取值范圍是 參考答案：k1或k1【考點】拋物線的簡單性質(zhì)【分析】由拋物線的定義，求出機器人的軌跡方程，過點P（1，0）且斜率為k的直線方程為y=k（x+1），代入y2=4x，利用判別式，即可求出k的取值范圍【解答】解：由拋物線的定義可知，機器人的軌跡方程為y2=4x，過點P（1，0）且斜率為k的直線方程為y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k24）x+k2=0，機器人接觸不到過點P（1，0）且斜率為k的直線，=（2k24）24k40，k1或k1故答案為：k1或k117. 若是等差數(shù)列，是互不相等的正整數(shù)，有正確的結(jié)

8、論：，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若等比數(shù)列，是互不相等的正整數(shù)，有_.參考答案：三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. （本小題滿分12分）已知二次函數(shù)函數(shù)（1）若且函數(shù)恒成立，求的值；（2）在（1）的條件下，當(dāng)時，是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.（3）若0,且為偶函數(shù)，判斷的符號（正或負(fù)）并說明理由.參考答案：由已知且函數(shù)恒成立，（2）由（1）又 所以 因為當(dāng)時，是單調(diào)函數(shù) （3）因為為偶函數(shù)，即所以又0, =所以12分19. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，且ADBC，ABC=PAD=90，側(cè)面PAD底面ABCD，若PA=AB=BC=

9、，AD=1（I）求證：CD平面PAC（II）側(cè)棱PA上是否存在點E，使得BE平面PCD？若存在，指出點E的位置，并證明，若不存在，請說明理由參考答案：【考點】直線與平面平行的判定；空間圖形的公理【專題】計算題；空間位置關(guān)系與距離【分析】（I）由面面垂直的性質(zhì)證出PA底面ABCD，可得PACD在底面梯形ABCD中利用勾股定理和余弦定理，利用題中數(shù)據(jù)算出CD2+AC2=1=AD2，從而ACCD最后利用線面垂直的判定定理，即可證出CD平面PAC；（II）取PD的中點F，連結(jié)BE、EF、FC利用三角形的中位線定理和已知條件BCAD且BC=AD，證出四邊形BEFC為平行四邊形，可得BECF最后利用線面平

10、行判定定理，即可證出BE平面PCD【解答】解：（I）PAD=90，PAAD又側(cè)面PAD底面ABCD，PA?側(cè)面PAD，且側(cè)面PAD底面ABCD=AD，PA底面ABCDCD?底面ABCD，PACD在底面ABCD中，ABC=BAD=90，PA=AB=BC=，AD=1AC=，CAB=CAD=45CAD中由余弦定理，得CD=可得CD2+AC2=1=AD2，得ACCD又PA、AC是平面PAC內(nèi)的相交直線，CD平面PAC（II）在PA上存在中點E，使得BE平面PCD，證明如下：設(shè)PD的中點為F，連結(jié)BE、EF、FC，則EF是PAD的中位線，EFAD，且EF=ADBCAD，BC=AD，BCEF，且BC=EF

11、，四邊形BEFC為平行四邊形，BECFBE?平面PCD，CF?平面PCD，BE平面PCD【點評】本題在四棱錐中證明線面垂直，并探索線面平行的存在性著重考查了空間垂直、平行的位置關(guān)系的判斷與證明等知識，屬于中檔題20. 制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損某投資人打算投資甲、乙兩個項目根據(jù)預(yù)測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損分別為30%和10%投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？參考答案：【考點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用【專題】應(yīng)用

12、題；數(shù)形結(jié)合【分析】設(shè)投資人對甲、乙兩個項目各投資x和y萬元，列出x和y的不等關(guān)系及目標(biāo)函數(shù)z=x+0.5y利用線性規(guī)劃或不等式的性質(zhì)求最值即可【解答】解：設(shè)投資人對甲、乙兩個項目各投資x和y萬元，則，設(shè)z=x+0.5y=0.25（x+y）+0.25（3x+y）0.2510+0.2518=7，當(dāng)即時，z取最大值7萬元答：投資人對甲、乙兩個項目分別投資4萬元和6萬元時，才能使可能的盈利最大【點評】本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用問題，利用不等式的性質(zhì)求最值問題，考查對信息的提煉和處理能力21. 如圖所示，四棱錐的底面是正方形，每條側(cè)棱長都是底面邊長的倍，為側(cè)棱上的點.(1)求證：；(2)若平面，則側(cè)棱上是否存在一點，使得平面.若存在，求的值；若不存在，試說明理由. 參考答案：(1)證明：據(jù)題意可知四棱錐為正四棱錐，連接交于2分 面，且，為在底面內(nèi)的射影， 4分由三垂線定理，可得 6分 (2)解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，令， 9分由平面知為平面的一個法向量，平面， 11分為靠近點