數(shù)學建模微分方程模型課件-課件

1、2 傳染病模型 3 戰(zhàn)爭模型 4 最優(yōu)捕魚問題 1 微分方程模型 微 分 方 程 模 型2 傳染病模型 3 戰(zhàn)爭模型 4 最優(yōu)捕魚問題 1 1 微分方程模型 一、微分方程模型的建模步驟 在自然科學以及工程、經(jīng)濟、醫(yī)學、體育、生物、社會等學科中的許多系統(tǒng)，有時很難找到該系統(tǒng)有關(guān)變量之間的直接關(guān)系函數(shù)表達式，但卻容易找到這些變量和它們的微小增量或變化率之間的關(guān)系式，這時往往采用微分關(guān)系式來描述該系統(tǒng)即建立微分方程模型 。我們以一個例子來說明建立微分方程模型的基本步驟。1 微分方程模型 一、微分方程模型的建模步驟例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陳代謝（即自

2、動消耗）。在健身訓練中，他所消耗的熱量大約是69 （焦/公斤天）乘以他的體重（公斤）。假設以脂肪形式貯藏的熱量100%地有效，而1公斤脂肪含熱量41868（焦）。試研究此人的體重隨時間變化的規(guī)律。 例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038模型分析 在問題中并未出現(xiàn)“變化率”、“導數(shù)”這樣的關(guān)鍵詞，但要尋找的是體重（記為W）關(guān)于時間t的函數(shù)。如果我們把體重W看作是時間t的連續(xù)可微函數(shù)，我們就能找到一個含有 的微分方程。模型分析 模型假設 1.以W(t)表示t時刻某人的體重，并設一天開始時人的體重為W0。2體重的變化是一個漸變的過程。因此可認為W(t)是關(guān)于連續(xù)t而且充分光滑的。3體重

3、的變化等于輸入與輸出之差，其中輸入是指扣除了基本新陳代謝之后的凈食量吸收；輸出就是進行健身訓練時的消耗。模型假設 模型建立 問題中所涉及的時間僅僅是“每天”，由此，對于“每天”體重的變化=輸入-輸出。由于考慮的是體重隨時間的變化情況，因此，可得體重的變化/天=輸入/天輸出/天。代入具體的數(shù)值，得 輸入/天 = 10467（焦/天）5038（焦/天）=5429（焦/天）， 輸出/天 = 69（焦/公斤天）（公斤）= 69（焦/天）。模型建立 體重的變化/天=W/t（公斤/天），當t0時，它等于dW/dt?？紤]單位的匹配，利用 “公斤/天=（焦/每天）/41868（焦/公斤）”, 可建立如下微分方

4、程模型 體重的變化/天=W/t（公斤/天），模型求解 用變量分離法求解，模型方程等價于積分得模型求解 從而求得模型解就描述了此人的體重隨時間變化的規(guī)律。從而求得模型解 現(xiàn)在我們再來考慮一下：此人的體重會達到平衡嗎?顯然由W的表達式，當t時，體重有穩(wěn)定值W 81 。我們也可以直接由模型方程來回答這個問題。 在平衡狀態(tài)下， W是不發(fā)生變化的。所以 這就非常直接地給出了W平衡=81。 所以，如果我們需要知道的僅僅是這個平衡值，就不必去求解微分方程了！ 現(xiàn)在我們再來考慮一下：此人的體重會達到平衡嗎?至此，問題已基本上得以解決。一般地，建立微分方程模型，其方法可歸納為：(1) 根據(jù)規(guī)律列方程。利用數(shù)學、

5、力學、物理、化學等學科中的定理或許多經(jīng)過實踐或?qū)嶒灆z驗的規(guī)律和定律，如牛頓運動定律、物質(zhì)放射性的規(guī)律、曲線的切線性質(zhì)等建立問題的微分方程模型。至此，問題已基本上得以解決。(3) 模擬近似法。在生物、經(jīng)濟等學科的實際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復雜的，常常用模擬近似的方法來建立微分方程模型、建模時在不同的假設下去模擬實際的現(xiàn)象，這個過程是近似的，用模擬近似法所建立的微分方程從數(shù)學上去求解或分析解的性質(zhì)，再去同實際情況對比，看這個微分方程模型能否刻劃、模擬、近似某些實際現(xiàn)象。本章將結(jié)合例子討論幾個不同領域中微分方程模型的建模方法。(3) 模擬近似法。在生物、經(jīng)濟等學科的實

6、際問題中，2 傳染病模型問題 描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預報傳染病高潮到來的時刻 預防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型2 傳染病模型問題 描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數(shù)的 已感染人數(shù) (病人) i(t) 每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模? 已感染人數(shù) (病人) i(t) 每個病人每天有效接觸(足以模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康 人的 比例分別為 2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為, 且使

7、接觸的健康人致病建模 日接觸率SI 模型模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總?cè)藬?shù)模型21/2tmii010ttm傳染病高潮到來時刻 (日接觸率) tmLogistic 模型病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大模型21/2tmii010ttm傳染病高潮到來時刻 (日模型3傳染病無免疫性病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設SIS 模型3）病人每天治愈的比例為 日治愈率建模 日接觸率1/ 感染期 一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。模型3傳染病無免疫性病人治愈成為健康人，健康人可再次被感模型3i0i0接觸數(shù) =1 閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)

8、不超過病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 0模型3i0i0接觸數(shù) =1 閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的模型4傳染病有免疫性病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率 , 日治愈率, 接觸數(shù) = / 建模需建立 的兩個方程模型4傳染病有免疫性病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者S模型4SIR模型無法求出 的解析解在相平面 上研究解的性質(zhì)模型4SIR模型無法求出 在相平面 模型4消去dtSIR模型相軌線 的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作

9、相軌線 的圖形，進行分析模型4消去dtSIR模型相軌線 的定義域si101D模型4SIR模型相軌線 及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0imP1: s01/ i(t)先升后降至0P2: s01/ i(t)單調(diào)降至01/閾值P3P4P2S0si101D模型4SIR模型相軌線 及模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段 (日接觸率) 衛(wèi)生水平(日治愈率) 醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計 降低 s0提高 r0 提高閾值 1/ 降低 (=/) , 群體免疫模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段 (日接觸率) 模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例xs0i0P

10、1i0 0, s0 1 小, s0 1提高閾值1/降低被傳染人數(shù)比例 xs0 - 1/ = 模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例xs戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)建模思路和方法為用數(shù)學模型討論社會領域的實際問題提供了可借鑒的示例第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預測戰(zhàn)役結(jié)局的模型3 戰(zhàn)爭模型 戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭只考慮雙方兵力多少一般模型 每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力 每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比 甲乙雙方的增援率為u(t), v(t)f,

11、 g 取決于戰(zhàn)爭類型x(t) 甲方兵力，y(t) 乙方兵力模型假設模型一般模型 每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力 每方非正規(guī)戰(zhàn)爭模型 甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn) 忽略非戰(zhàn)斗減員 假設沒有增援f(x, y)=ay, a 乙方每個士兵的殺傷率a=ry py, ry 射擊率， py 命中率正規(guī)戰(zhàn)爭模型 甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙0正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t), y(t)而在相平面上討論 x 與 y 的關(guān)系平方律 模型乙方勝0正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t), y(t)游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn) 甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著

12、甲方兵力的增加而增加 忽略非戰(zhàn)斗減員 假設沒有增援f(x, y)=cxy, c 乙方每個士兵的殺傷率c = ry pyry射擊率py 命中率py=sry /sxsx 甲方活動面積sry 乙方射擊有效面積游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn) 甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲0游擊戰(zhàn)爭模型線性律 模型0游擊戰(zhàn)爭模型線性律 模型0混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊乙方必須10倍于甲方的兵力設 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)0混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊乙方必須10 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等） 再生資源應適度開

13、發(fā)在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問題及 分析 在捕撈量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。 如果使捕撈量等于自然增長量，漁場魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。背景4 最優(yōu)捕魚問題 再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等） 再生資產(chǎn)量模型假設 無捕撈時魚的自然增長服從 Logistic規(guī)律 單位時間捕撈量與漁場魚量成正比建模 捕撈情況下漁場魚量滿足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)穩(wěn)定的條件r固有增長率, N最大魚量h(x)=Ex, E捕撈強度x(t) 漁場魚量產(chǎn)量模型假設 無捕撈時魚的自然增長服從 Logistic一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方

14、程F(x)=0的根x0 微分方程的平衡點設x(t)是方程的解，若從x0 某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱x0是方程(1)的穩(wěn)定平衡點不求x(t), 判斷x0穩(wěn)定性的方法直接法(1)的近似線性方程一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方程F(產(chǎn)量模型平衡點穩(wěn)定性判斷x0 穩(wěn)定, 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1 穩(wěn)定, 漁場干枯E捕撈強度r固有增長率產(chǎn)量模型平衡點穩(wěn)定性判斷x0 穩(wěn)定, 可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1產(chǎn)量模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使產(chǎn)量最大圖解法P的橫坐標 x0平衡點P的縱坐標 h產(chǎn)量產(chǎn)量最大f 與h交點P控制漁場魚量為最大魚量的一半y=rxhPx0hmx0*=N/2P*y=E*xy0y=h(x)=ExxNy=f(x)產(chǎn)量模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使產(chǎn)量最大圖解效益模型假設 魚銷售價格p 單位捕撈強度費用c 單