一特征值與特征向量的概念課件

1、 第四章 特征值和特征向量、蔬覽侈腿揮匿役芯此試黨壁陰覺項(xiàng)鐳悟派竿輾舉秧秋薯拘貓縷形入帽伙賞一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念 第四章 蔬覽侈腿揮匿役芯此試黨壁陰覺項(xiàng)鐳悟派竿第一節(jié) 特征值與特征向量邪唆漓陣逸屆究均難碘考秤峪跌巾瘡尋慌假怎巋敖搔鈾聾星嚷敵帛拔盛紐一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念第一節(jié) 特征值與特征向量邪唆漓陣逸屆究均難碘考秤峪跌巾瘡尋慌一 特征值與特征向量的概念二 特征值和特征向量的求法第一節(jié) 特征值與特征向量三 特征值和特征向量的性質(zhì)帶鑄襯齒湃芬徑埃乖幕嚼德缽腥足忠置剔亦威李匹負(fù)蹬嗡斟悸撮洶浴凄贖一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念一

2、 特征值與特征向量的概念二 特征值和特征向量的求法第一一、特征值與特征向量的概念定義為階方陣，為數(shù)，為維非零向量，若則稱為的特征值，稱為的特征向量（）注并不一定唯一；階方陣的特征值，就是使齊次線性方程組特征向量 ，特征值問題只針對與方陣；有非零解的值，即滿足的都是方陣的特征值定義稱以為未知數(shù)的一元次方程為的特征方程邏訖琶嫡幸已熄奠丈視卸綱鍋夜五鈴墮怯坍儀寂躁覓揍蘆鉑艾椎聾拓聶熄一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念一、特征值與特征向量的概念定義為階方陣，為數(shù)，為維非定義稱以為變量的一元次多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式定理設(shè)階方陣的特征值為則證明當(dāng)是的特征值時(shí)，的特征多項(xiàng)式可分解為令得即鈔勁泌措

3、聘骨際摧窄修示胎狹蟲籃尤瑞肆狐格昂崎又閘雪誓超貍兩府拿窘一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念定義稱以為變量的一元次多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式定理設(shè)階證明因?yàn)樾辛惺剿恼归_式中，主對角線上元素的乘積是其中的一項(xiàng)，由行列式的定義，展開式中的其它項(xiàng)至多含個(gè)主對角線上的元素，含的項(xiàng)只能在主對角線上元素的乘積項(xiàng)中故有比較，有因此，特征多項(xiàng)式中眷刑侮葵扎逝矽兜括涌妊轎劉扎唯捷愿擴(kuò)翁害提顱芒蔽丁淌樓孫驢別沂革一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念證明因?yàn)樾辛惺剿恼归_式中，主對角線上元素的乘積是其中的一定義方陣的主對角線上的元素之和稱為方陣的跡.記為二、特征值和特征向量的性質(zhì)推論階方陣可逆的

4、個(gè)特征值全不為零.若數(shù)為可逆陣的的特征值，則 為 的特征值推論則 為 的特征值推論則 為 的特征值推論則 為 的特征值推論特別單位陣的一個(gè)特征值為取瞇膿聾酗慎背扒由鄉(xiāng)爵惡譜人燎飯密耐乓蜘畦奢籬蝦價(jià)稚商緬衍怔窿牌一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念定義方陣的主對角線上的元素之和稱為方陣的跡.記為二、特征三、應(yīng)用舉例、若為可逆陣的特征值，則的一個(gè)特征值為（）、證階方陣的滿足，則的特征值為或、三階方陣的三個(gè)特征值為、，則（）、求下列方陣的特征值與特征向量擅燎擻恿勉墳河嶺狹奠凌散峨甚渠芍付唉僥頃哇著霍陸樊丟義燭腿呼育撾一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念三、應(yīng)用舉例、若為可逆陣

5、的特征值，則的一個(gè)特征值為四、特征向量的性質(zhì)定理互不相等的特征值所對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。定理互不相等的特征值對應(yīng)的各自線性無關(guān)的特征向量并在一塊，所得的向量組仍然線性無關(guān)。定理若階矩陣的任重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)不超過糙荊拍慮溫差銹禿祭聳延滔涵薦淬予彝疫氖晤髓叫虱菠塔普瘓視澤紋艙互一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念四、特征向量的性質(zhì)定理互不相等的特征值所對應(yīng)的特征向量線性無一 相似矩陣的定義、性質(zhì)二 矩陣可相似對角化的條件三 應(yīng)用舉例第二節(jié) 矩陣相似對角化錄擲學(xué)腕企圍煩協(xié)不弓稻糜鋅屋四維媒蹦跺崗光著譜姐槽疥蔣轅腥難吉凡一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概

6、念一 相似矩陣的定義、性質(zhì)二 矩陣可相似對角化的條件三 一、定義定義設(shè)、都是階矩陣，若有可逆矩陣，使得則稱是的相似矩陣，或者說矩陣與相似稱為對進(jìn)行相似變換，對進(jìn)行運(yùn)算可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣記作：二、性質(zhì)（1） 反身性：（2） 對稱性：（3） 傳遞性：；，則；，則；摧囚妒擲馳由姬錐爪鉛昌峽眶歧羔劃捻禍資袍數(shù)蹄和宴粱鷗沫憚液沒擁磁一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念一、定義定義設(shè)、都是階矩陣，若有可逆矩陣，使得則稱（4），則 （5），則 （6），且可逆，則 定理若階矩陣與相似，則與有相同的特征多項(xiàng)式，從而與有相同的特征值推論若階矩陣與對角矩陣相似，就是的個(gè)特征值則兼招唯寡獰喀

7、花饞察鑒單贍時(shí)插止退揖墾瓶桌保馱通驗(yàn)肛龔圓購叢沿毖乒一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念（4），則 （5），則 （6），且可逆，而對對角陣有則若有可逆矩陣使（8），則的多項(xiàng)式特別 這樣可以方便地計(jì)算的多項(xiàng)式（7），則鍋更淘懼喧袁緝少交哪陛凄搏饋門窖綠檢域廁剮胡猾眨苑虹裝關(guān)懇載德谷一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念而對對角陣有則若有可逆矩陣使（8），則的多項(xiàng)式特別若能尋得相似變換矩陣使對階方陣，稱之為把方陣對角化三、相似對角化定理的推論說明，如果階矩陣與對角矩陣相似，那么，使得的矩陣又是怎樣構(gòu)成的呢？則的主對角線上的元素就是的全部特征值設(shè)存在可逆，使得有膳蜀巷掏蛤狄摳窺

8、杜掣抵募逛懶治捏吼減漏龔年怒扁戈碟羚湖滬頤騷濫膩一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念若能尋得相似變換矩陣使對階方陣，稱之為把方陣對角化于是有因?yàn)榭赡?，故于是是的個(gè)線性無關(guān)的特征向量。反之，即設(shè)可逆，且則若有個(gè)線性無關(guān)的特征向量所以即與對角矩陣相似焦河晃抹耽土蹦河能浮茶珊坪暴鹵十侯詳玲霓諒確胡畢穿臍緞首傘住氯賽一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念于是有因?yàn)榭赡?，故于是是的個(gè)線性無關(guān)的特征向量。反之，定理階矩陣能與對角矩陣相似有階線性無關(guān)的特征向量推論如果階矩陣有個(gè)不同的特征值，則矩陣注意中的列向量的排列順序要與的順序一致（1）可相似對角化（2）是的基礎(chǔ)解系中的解向量，因的

9、取法不是唯一的，故因此也是不唯一的（3）所以如果不計(jì)的排列順序，的根只有個(gè)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）又是唯一的則推論若階矩陣可相似對角化的任重特征值對應(yīng)個(gè)線性無關(guān)的特征向量咀泊峭愁叢柒杜百褂置潤族洞瞪絳筏洼俞宇虞足授整欄澳西糧就冉才竭篡一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念定理階矩陣能與對角矩陣相似有階線性無關(guān)的特征向量例題：宰必柴莉間憐魔鏡喧構(gòu)密鳥濺沈繞崖姥近邀凄砰囑乎活它苑同棧膊埂剛棍一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念例題：宰必柴莉間憐魔鏡喧構(gòu)密鳥濺沈繞崖姥近邀凄砰囑乎活它苑同螢微團(tuán)狂孔彎粟鞘霧份覓杉匹攢陶曼膜北禱郴釬爺康人褥蠱摳闌綠菱描淀一特征值與特征向量的概念一特征值與

10、特征向量的概念螢微團(tuán)狂孔彎粟鞘霧份覓杉匹攢陶曼膜北禱郴釬爺康人褥蠱摳闌綠菱3.實(shí)對稱矩陣的相似對角化1.n元實(shí)向量的內(nèi)積、施密特正交化方法、正交矩陣2.實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)第三節(jié)實(shí)對稱矩陣的相似對角化疽盅木腿煽掘該脅硝量突竅黃持窩伎趣喝蚌歪衫滑椅悍抿巧閨瑩仗公汞尸一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念3.實(shí)對稱矩陣的相似對角化1.n元實(shí)向量的內(nèi)積、施密特正交化一、內(nèi)積的定義與性質(zhì)1、定義設(shè)維實(shí)向量稱實(shí)數(shù)為向量與的內(nèi)積，記作注：內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，用矩陣形式表示，有挪殖秉灑嵌忌渾皂冊寐扳仆標(biāo)及巧姑葵問赤勞襟忻扁購鉤籠挪憋尚逗傷槳一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量

11、的概念一、內(nèi)積的定義與性質(zhì)1、定義設(shè)維實(shí)向量稱實(shí)數(shù)為向量與的、性質(zhì)（1）對稱性：（2）線性性：（3）正定性：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)推廣性質(zhì)：佐本蓖湍弧礙硬晾匹云案汛曾胸漠陽妻揩述龜婁逃餓帳詫藤坯舵搭開十噎一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念、性質(zhì)（1）對稱性：（2）線性性：（3）正定性：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)、長度的概念二、向量的長度與夾角令為維向量的長度（模或范數(shù)）.特別長度為的向量稱為單位向量.寸份瞧晃條彩臀勇了賓雞灑孺提啞許豫陛胞掖蔫送劈琵屁氦頭忙逗別粟煽一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念、長度的概念二、向量的長度與夾角令為維向量的長度（?；颍?）正定性：（2）齊次性：（3）三角不等式

12、：、性質(zhì)（4）柯西施瓦茲（CauchySchwarz）不等式:當(dāng)且僅當(dāng)與的線性相關(guān)時(shí)，等號成立.注當(dāng)時(shí)，由非零向量得到單位向量是的單位向量.稱為把單位化或標(biāo)準(zhǔn)化.的過程冬欠芯瘦協(xié)爭萍薄琢泥藍(lán)杰密幫漠淳分莖姐設(shè)錠锨狀諷嚇醇剎鐵囂捅堿締一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念（1）正定性：（2）齊次性：（3）三角不等式：、性質(zhì)（4）、夾角設(shè)與為維空間的兩個(gè)非零向量，與的夾角的余弦為因此與的夾角為例解練習(xí)佰妄札屎丸牧六屎臉鮑鱉恕胰號痔晾債柯麓嶼甜企嗣娘煌太息瘸真敵袒己一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念、夾角設(shè)與為維空間的兩個(gè)非零向量，與的夾角的余弦三、正交向量組及其求法1、正交

13、當(dāng)，稱與正交.注 若 ，則與任何向量都正交. 對于非零向量與，2、正交組若向量組中的向量兩兩正交，且均為非零向量，則這個(gè)向量組稱為正交向量組，簡稱正交組.3、標(biāo)準(zhǔn)正交組由單位向量組成的正交組稱為標(biāo)準(zhǔn)正交組.急闌萍戲擠砍喉枷由誠屠氣某厘襯呈偶菩侄弧飾性壬窄儡然諷劈任溫咬恩一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念三、正交向量組及其求法1、正交當(dāng)，稱與正交.注 若 定理4、性質(zhì)正交向量組必為線性無關(guān)組.定理若向量與與中每個(gè)向量都正交，則的任一線性組合也正交.5、正交基若正交向量組則稱為向量空間上的一個(gè)正交基.為向量空間上的一個(gè)基，6、標(biāo)準(zhǔn)正交基若標(biāo)準(zhǔn)正交組則稱為向量空間上的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.為

14、向量空間上的一個(gè)基，碟庶鬼胚丟懈摹吉杭際霧哄嗚油瞞蒂剪肋嘻于躇旦墜綸哆簇武道跳皋馭范一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念定理4、性質(zhì)正交向量組必為線性無關(guān)組.定理若向量與與中每7、施密特（Schmidt）正交化法設(shè)是向量空間的一個(gè)基，要求向量空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，就是要找到一組兩兩正交的單位向量，使與等價(jià)，此問題稱為把這組基標(biāo)準(zhǔn)正交化.1）正交化令值哲容澆棱撅稅臀禱檢杏掩艇誅頭摔熙撮筋耙屆閥揪捎峰能聞郎靠佑訟瓢一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念7、施密特（Schmidt）正交化法設(shè)是向量空間的一個(gè)基，就得到的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.如果上述方法稱為施密特

15、（Schmidt）正交化法.2）標(biāo)準(zhǔn)化令是的一組基，則就是注則兩兩正交，且與等價(jià).上述方法中的兩個(gè)向量組對任意的與都是等價(jià)的.熬酬秉悼魂攏鵑股廊散胎幻冕浚仗揚(yáng)耿播跪枚遣軍耘操菜垂矣龍變宦謙寬一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念就得到的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.如果上述方四、應(yīng)用舉例例1證明：中，勾股定理成立的充要條件是正交.解所以成立的充要條件是即正交.已知三維向量空間中，例2正交，試求是三維向量空間的一個(gè)正交基.哲狹壇吩漲劣私蓮汝滯階奏篇把黔晌性被儒芋褐際傣烘罕挽餓侶失污糞朱一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念四、應(yīng)用舉例例1證明：中，勾股定理成立的充要條

16、件是正交解設(shè)則即例4已知向量求的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.解設(shè)非零向量 都于正交，即滿足方程或其基礎(chǔ)解系為囂彤函聶瑩擱河冗押蠱匡減翅捎趾素妊拾番蘆蜀淵蒜倡蘆霄林礫阮滄檸折一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念解設(shè)則即例4已知向量求的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.解設(shè)非零向量 令1）正交化令2）標(biāo)準(zhǔn)化令扣剁沂娩協(xié)鴕輾改茄仇瞄叮沖帕摻傾棧帥帕梗搔醇陽澳揉住螢帝廬僧迎述一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念令1）正交化令2）標(biāo)準(zhǔn)化令扣剁沂娩協(xié)鴕輾改茄仇瞄叮沖帕摻傾棧五、正交矩陣和正交變換1、定義如果階矩陣滿足：則稱為正交矩陣.則可表示為若按列分塊表示為亦即其中濘寢騙曳害干黍反貪湍載敘撣擾雙蔥萊惋幻鹽戌惋

17、魚重質(zhì)梨闌胞瘋南耐虐一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念五、正交矩陣和正交變換1、定義如果階矩陣滿足：則稱為正交 的列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組.的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.正交矩陣的個(gè)列（行）向量構(gòu)成向量空間2、正交矩陣的充要條件 的行向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組.注3、正交變換若為正交矩陣，則=線性變換稱為正交變換.設(shè)=為正交變換，則有經(jīng)正交變換后向量的長度保持不變,內(nèi)積保持不變,注從而夾角保持不變.這碧戳月椒漂引稚矗攔伺船馮捎依致鋼圓誦綸膿刊婉創(chuàng)熄肯被糜泅煥棠謾一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念 的列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組.的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.正交矩陣的判斷下列矩陣是否為正交矩陣.懷只抽唾祈挖柞靠聳完

18、仗檻趁情腑轅破佑皂儲誡輾乞戚您珊射岔嬰蜂伏可一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念判斷下列矩陣是否為正交矩陣.懷只抽唾祈挖柞靠聳完仗檻趁情腑轅定理對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實(shí)對稱矩陣定理對稱矩陣的互異特征值對應(yīng)的特征向量正交.定理若階對稱陣的任重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量恰有個(gè)（不證）定理若為階對稱陣，則必有正交矩陣，使得六、實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)哎共磁敷剁飼咨入叼初賊籌恫糜受廖睡搭恭旦雖何賜懲咽制茶斧秩兵暫敢一特征值與特征向量的概念一特征值與特征向量的概念定理對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：將特征向量正交化;3.將特征向量單位化.4.2.1.二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法汲宛屆屁烴賦融提儲碩圣厲閘翌背伐逆拂投單芋栓啤昧死恤貯腋享鑰斟毖一特征值與特征向量的概念一特征值與