線性代數(shù)矩陣性及應(yīng)用舉例

1、線性代數(shù)矩陣性及應(yīng)用舉例作者：日期：2華北水利水電學(xué)院線性代數(shù)解決生活中實(shí)質(zhì)問題課程名稱：線性代數(shù)專業(yè)班級：成員構(gòu)成：聯(lián)系方式：2012年11月7日3對于矩陣逆的判斷及求逆矩陣方法的商討綱要：矩陣的可逆性判斷及逆矩陣的求解是高等代數(shù)的主要內(nèi)容之一。本文給出判斷矩陣能否可逆及求逆矩陣的幾種方法。重點(diǎn)詞：逆矩陣陪伴矩陣初等矩陣分塊矩陣矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)的一個主要內(nèi)容，也是辦理實(shí)質(zhì)問題的重要工具，而逆矩陣在矩陣的理論和應(yīng)用中據(jù)有相當(dāng)重要的地位。下邊經(jīng)過引入逆矩陣的定義，就矩陣可逆性判斷及求逆矩陣的方法進(jìn)行商討。定義1n級方陣A稱為可逆的，假如n級方陣B，使得AB=BA=E（1）這里E是n級單位矩陣。

2、定義2假如B合適（1），那么B就稱為A的逆矩陣，記作A1。定理1假如A有逆矩陣，則逆矩陣是獨(dú)一的。逆矩陣的基天性質(zhì)：性質(zhì)1當(dāng)A為可逆陣，則A11.A性質(zhì)2若A為可逆陣，則A1,kA(k為隨意一個非零的數(shù))都是可逆陣，且(A1)1A(kA)11A1(k0).k性質(zhì)3(AB)性質(zhì)4(A)1B1A1，此中A，B均為n階可逆陣.1(A1).由性質(zhì)3有定理2若A1,A2An(n2)是同階可逆陣，則A1,A2An是可逆陣，且(A1A2下邊給出幾種判斷方陣的可逆性及求逆矩陣的方法：方法必定義法利用定義1，即找一個矩陣B，使AB=E，則A可逆，并且A1B。方法二陪伴矩陣法定義3設(shè)A(aij)是n級方陣，用Ai

3、j表示A的(i,j)元的代數(shù)余子式(i,j1n)，4A11A21An1矩陣A12A22An2稱為A的陪伴矩陣，記作A*。A1nA2nAnn定理3矩陣A可逆的充分必需條件是A0，并且當(dāng)A可逆時,有A11A*。A定理證明見1.定理3不單給出了判斷一個矩陣能否可逆的一種方法，并且給出了求逆矩陣的一種方法，可是這類方法主要用在理論上以及2級或3級矩陣的情況，假如階數(shù)較大，那么使用此方法計(jì)算量太大。由定理3逆矩陣判斷的方法還有：推論3.1n級矩陣A可逆的充要條件是矩陣A的秩為n。推論3.2矩陣A可逆的充要條件是它的特點(diǎn)值都不為0。推論3.3n級矩陣A可逆的充分必需條件是它的行(或列)向量組線性沒關(guān)。方法

4、三初等變換法定義4對矩陣實(shí)行以下三種變換稱為矩陣的初等變換：(1)互換矩陣的兩行(列)；(2)以一個非零的數(shù)k乘矩陣的某一行(列)；(3)把矩陣的某一行（列)的k倍加到另一行(列)。定理4方陣A可逆的充分必需條件是A可表示為若干個同階初等矩陣的乘積。詳細(xì)方法是：欲求A的逆矩陣時，第一由A作出一個n2n矩陣，即(AE)，其次對這個矩陣施以行初等變換(且只好用行初等變換)，將它的左半部的矩陣A化為單位矩陣，那么本來右半部的單位矩陣就同時化為A1：(AE)行初等變換(EA1)5AE或許列初等變換EA1231例1求矩陣A的逆矩陣，已知A013。125解：231100125001125001(AE)01

5、3010013010013010125001231100019102120552125001125001663013010013010010131220061120011111663001116631011340636011310221001116361134663A113122111663注：在預(yù)先不知道n階矩陣是可逆的狀況下，也可直接用此方法。假如在初等變換過程中發(fā)現(xiàn)左側(cè)的矩陣有一行元素全為0，則意味著A不行逆。方法四利用解線性方程組來求逆矩陣若n階矩陣A可逆，則AA1E，于是A1的第j列是線性方程組AXj的解，j1,2n.所以我們能夠去解線性方程組AX，其(b1bn)，把所得的解的公6式

6、中的b1,b2bn分別用1,00；0,1,00；0,00,1取代，即可求得A1的第1,2n列，這類方法在某些時候可能比用初等變換法求逆矩陣略微簡單調(diào)點(diǎn)。3100003100例2求矩陣A=00310的逆矩陣。0003100003解：設(shè)X(x1,x2,x3,x4,x5)TB(b1,b2,b3,b4,b5)T解方程組AX=B3x1x2b1x135(34b133b232b33b4b5)3x2x3b2x234(33b232b33b4b5)即3x3x4b3解得x333(32b33b4b5)3x4x5b4x432(3b4b5)3x5b5x531b5而后把B(b1,b2,b3,b4,b5)列，分別用1(1,0

7、,0,0,0)2(0,1,0,0,0)3(0,0,1,0,0)4(0,0,0,1,0)5(0,0,0,0,1)代入獲得矩陣A1的第1,2,3,4,5行，分別用x1(31,32,33,34,35)x2(0,31,32,33,34)x3(0,0,31,32,33)x4(0,0,0,31,32)x5(0,0,0,0,31)3132333435即A1031323334003132330003132000031這類方法特別合用于線性方程組AX=B的解簡單求解的情況。方法五分塊求逆法當(dāng)一個可逆矩陣的階數(shù)較大時，即便用初等變換求它的逆矩陣仍舊計(jì)算量較大。假如把該矩陣分塊，再對分塊矩陣求逆矩陣，則能減少計(jì)算量

8、。并且形如A0B1A110A11A12B0M1A22M2A22B2A210A100A27M3A11A12M40A12M1為A210A21的分塊矩陣，使用分塊矩陣較方便?，F(xiàn)用A22例，來說明求逆矩陣的方法，其余的矩陣可依此類推。設(shè)有n階可逆矩陣M1A110，此中A11,A22為r,s階可逆方陣，求M11。A21A22解：設(shè)M11X11X12，則M11與M1有同樣分法，則X21X22M1M11A110X11X12A11X11A11X12A21A22X21X22A21X11A22X21A21X12A22X22EnEr00EsA11X11Er得一個線性方程組為A11X120A21X11A22X210A

9、21X12A22X22EsX11A111因?yàn)锳11,A22可逆，故A111,A221存在，解得X120X21A221A21A111X22A221進(jìn)而M11A22A11101A21A111A221方法六利用哈密爾頓凱萊定理求逆矩陣法哈密爾頓凱萊定理設(shè)A是數(shù)域P上一個nn矩陣，f()EA是A的特點(diǎn)多項(xiàng)式，則f(A)An(a11a22ann)An1(1)nAE0。假如A可逆，則A的特點(diǎn)多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)an(1)nA0，由定理知f(A)An1An1n1于是1(An11An2n1n所以得A11(An11An2nAnE0E)AEn1E)()8此式給出了A1的多項(xiàng)式計(jì)算方法。110例3已知A430，求A1。1

10、02解：矩陣A的特點(diǎn)多項(xiàng)式為：f()EA34252因320，所以矩陣A可逆，由()式知1(A25E)=1620A14A82022311方法七“和化積”法有時碰到這樣的問題：要求判斷方陣之和A+B的可逆性并求逆矩陣，此時可將A+B直接化為(AB)CE，由此有A+B可逆，且(AB)1C，或?qū)⒎疥囍虯+B表為若干個已知的可逆陣之積，再有定理2知A+B可逆，并可得出其逆矩陣。例4證明：若Ak0，則EA是可逆陣，并求(EA)1。證明：(EAEAA2Ak1)E)(E-A是可逆矩陣且(EA)1EAA2Ak1總之，矩陣可逆性的判斷及求逆矩陣的方法好多，不不過不過以上列舉的幾種方法，大家在做題過程中，可依據(jù)題

11、目的需要靈巧采用方法來求解。參照文件：丘維聲.高等代數(shù)M.高等教育第一版社，1985.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)M.高等教育第一版社，1988.楊明順.三角矩陣求逆的一種方法.渭南師范學(xué)院學(xué)報，2003.楊彗.矩陣的非奇怪性判斷及求逆矩陣的幾種方法.云南師范大學(xué)學(xué)報，2002.Theonesthatgoagainstmatrixjudgeandaskthediscussiongoingagainstthematrixmethod9ABSTRACT:Judgingreversiblyandagainsttheaskingandsolvingoneofthemaincontentsthatishigheralgebrao