人教版A版高中數(shù)學選修4-2特征向量在實際問題中的應用課件

1、特征向量在實際問題中的應用特征向量在實際問題中的應用性質(zhì) 1: 設 l1, l2 是二階矩陣 A 的兩個不同特征值, x1, x2 是矩陣 A 的分別屬于特征值 l1, l2 的特征向量, 對于任意的非零平面向量 a, 設 a=t1x1+t2x2 (其中 t1, t2 為實數(shù)), 則對任意正整數(shù) n, 有 Ana = t1l1nx1 + t2l2nx21.用數(shù)學歸納法證明:(1) 當 n=1 時,Aa=A(t1x1+t2x2)= t1Ax1+t2Ax2= t1l11x1+t2l21x2,即 n=1 時, 性質(zhì) 1 成立。(2) 假設 n=k 時, Aka = t1l1kx1 + t2l2kx2

2、 成立,那么當 n=k+1 時,Ak+1a=AAka= A(t1l1kx1 + t2l2kx2)= t1l1kAx1 + t2l2kAx2= t1l1kl1x1 + t2l2kl2x2= t1l1k+1x1 + t2l2k+1x2,即得 n=k+1 時, 等式也成立。由(1)(2)知, 對于任意正整數(shù) n, 性質(zhì) 1 都成立.性質(zhì) 1: 設 l1, l2 是二階矩陣 2. 設矩陣 P = , 其中 p, q 均為常數(shù), 且滿足 0p, q1, 試證明: (1) 矩陣 P 的特征值為 l1=1, l2=1-p-q; (2) 向量 x1= , x2= 分別為矩陣 P 的屬于特征值 l1, l2 的

3、一個特征向量。1-p q p 1-qqp 1-1證明:(1)P 的特征多項式為f(l) =l-(1-p) -q-p l-(1-q)=l2-(2-p-q)l+1-p-q,解特征方程 f(l)=0 得l1=1, l2=1-p-q. 2. 設矩陣 P = 2. 設矩陣 P = , 其中 p, q 均為常數(shù), 且滿足 0p, q1, 試證明: (1) 矩陣 P 的特征值為 l1=1, l2=1-p-q; (2) 向量 x1= , x2= 分別為矩陣 P 的屬于特征值 l1, l2 的一個特征向量。1-p q p 1-qqp 1-1證明:(2)將 l1=1 代入方程組得同一個方程 px=qy.令 x=q

4、, 則 y=p.屬于特征值 l1 的特征向量為 x1= .qp將 l1=1-p-q 代入方程組 2. 設矩陣 P = 3. 特征向量在實際問題中的應用下面我們用 Ana 解決一類實際問題。 某國家連續(xù)幾年對城鎮(zhèn)與農(nóng)村之間的人口流動情況作調(diào)查, 發(fā)現(xiàn)有如下穩(wěn)定的流動趨勢: (1) 每年, 約有 5%的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn); (2) 每年, 約有 1%的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村。 現(xiàn)在全國總?cè)丝?(城鎮(zhèn)與農(nóng)村人口的總和) 中 70%住在城鎮(zhèn)。 假定全國總?cè)丝谝恢北３植蛔? 并且這種人口流動的趨勢繼續(xù)下去。 那么, 1 年以后住在城鎮(zhèn)的人口占總?cè)丝诘谋壤嵌嗌? 2 年以后呢? 10 年以后呢? 最終的情況如何

5、?3. 特征向量在實際問題中的應用下面我們用 Ana 解決農(nóng)村城鎮(zhèn) 5%, 城鎮(zhèn)農(nóng)村 1%，現(xiàn)城鎮(zhèn)占70%。 解：設 t0, c0 分別表示城鎮(zhèn)、農(nóng)村居民占總?cè)丝诘谋壤龜?shù), tn, cn 分別表示 n 年后城鎮(zhèn)、農(nóng)村居民占總?cè)丝诘谋壤龜?shù)。N為總?cè)丝跀?shù)。t2c2t1c1= Pt0=0.7, c0=0.3.t1c1t0c0= P0.99 0.050.01 0.95=0.70.30.7080.292= .0.99 0.050.01 0.95=0.7080.2920.7160.284 .如此, 10年后的運算量就太大了。t10c10t0c0= P10形如 Ana 的形式,則可用 P 的特征值與特征向量

6、表示。農(nóng)村城鎮(zhèn) 5%, 城鎮(zhèn)農(nóng)村 1%，現(xiàn)城鎮(zhèn)占70%0.99 0.050.01 0.95P= ,P 的特征多項式為f(l) =l-0.99 -0.05-0.01 l-0.95=l2-1.94l+0.94,解特征方程 f(l)=0 得l1=1, l2=0.94.于是求得對應的特征向量為x1= ,0.050.01x2= . 1-11-p q p 1-q若 P = , 0p, q1,則 l1=1, l2=1-p-q;qpx1= , 1-1x2= .0.99 0.05P= 0.99 0.050.01 0.95P= ,P 的特征多項式為f(l) =l-0.99 -0.05-0.01 l-0.95=l2

7、-1.94l+0.94,解特征方程 f(l)=0 得l1=1, l2=0.94.于是求得對應的特征向量為x1= ,0.050.01x2= . 1-1設 =t1x1+t2x2，t0c0=t1 + t2 ,0.050.01 1-1即0.70.3解得0.99 0.05P= 則tncnt0c0= Pn= t1l1nx1+t2l2nx2于是可求 n 等于任意正整數(shù)時的 .tncn如果 n 趨向無窮大時tncn這就是人口最終比例。則tnt0= Pn= t1l1nx1+t2l2nx2于是可求 例1. 在擴散理論中的應用設某物質(zhì)能以液態(tài)和氣態(tài)的混合狀態(tài)存在, 又假定在任意一段很短的時間內(nèi) (1) 液體的 5%

8、蒸發(fā)成氣態(tài); (2) 氣體的 1%凝結(jié)成液態(tài)。求經(jīng)過 n 次這樣的變化后, 這物質(zhì)的混合狀態(tài)中, 氣態(tài)和液態(tài)各占的比例是多少? 最終結(jié)果怎樣?(此例與前面的問題類似, 請同學們先做做) 例1. 在擴散理論中的應用(此例與前面的問 例1. 在擴散理論中的應用設某物質(zhì)能以液態(tài)和氣態(tài)的混合狀態(tài)存在, 又假定在任意一段很短的時間內(nèi) (1) 液體的 5%蒸發(fā)成氣態(tài); (2) 氣體的 1%凝結(jié)成液態(tài)。求經(jīng)過 n 次這樣的變化后, 這物質(zhì)的混合狀態(tài)中, 氣態(tài)和液態(tài)各占的比例是多少? 最終結(jié)果怎樣? 設 t0, c0 分別表示混合狀態(tài)最初的氣體、液體的比例數(shù), tn, cn 分別表示 n 次變化后氣體、液體在

9、混合狀態(tài)中的比例數(shù)。1 次變化后,0.99 0.050.01 0.95設 P= ,解: 例1. 在擴散理論中的應用 用矩陣表示 1 次變化后和 n 次變化后的表達式t1c1t0c0= P ,tncnt0c0= Pn .由 “習題4.2” 中第 2 題的結(jié)果:則 l1=1, l2=1-p-q;1-p q p 1-q若 P = , 0p, q1,qpx1= , 1-1x2= .得此題矩陣 P 的特征值 l1=1, l2=0.94;0.99 0.050.01 0.95P= .x1= ,0.050.01x2= . 1-1對應的特征向量用矩陣表示 1 次變化后和 n 次變化后的表達式t1t0= 則tnc

10、nt0c0= Pn= t1l1nx1+t2l2nx20.05t1+0.94nt20.01t1-0.94nt2= .當 n 趨向無窮大時取極限得,tn=0.05t1,cn=0.01t1,tn:cn=5:1,即氣態(tài)占該物質(zhì)的 , 液態(tài)占該物質(zhì)的則tnt0= Pn= t1l1nx1+t2l2nx20.05令 則上述關系的矩陣形式為 此式反映了該地區(qū)當前和若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平之間的關系。 令 則上述關系的矩陣形式為 此式反映了該地區(qū)當前和如則由上式得 由此可預測該地區(qū)若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平。 如則由上式得 由此可預測該地區(qū)若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟令 則上述關系的矩陣形

11、式為 由此，有令 則上述關系的矩陣形式為 由此，有應 用 由此可預測該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平。下面作進一步地討論： 由矩陣A 的特征多項式 得A 的特征值為應 用 由此可預測該地區(qū)t年后的 應 用下面分三種情況分析： Case 1 由(*)及特征值與特征向量的性質(zhì)知， 應 用下面分三種情況分析： 即 或 此式表明：在當前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平 的前提下，t 年后，當經(jīng)濟發(fā)展水平達到較高程度時，環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢. 即 或 此式表明：在當前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平 由（*）及特征值與特征向量的性質(zhì)由（*）及特征值與特征向量的性質(zhì)即 由此可預測該地區(qū)年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平。 即 由此可預測該地區(qū)年后的環(huán)境污染