《向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算》參考教案

1、PAGE10向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：1掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示;2會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算3會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件，進(jìn)而解決一些相關(guān)問(wèn)題4了解平面向量的基本定理及其意義情感目標(biāo)：1通過(guò)探究學(xué)生體會(huì)正交分解定理的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察,類比聯(lián)想等發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般方法,培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力2使學(xué)生逐步養(yǎng)成獨(dú)立思考與互助學(xué)習(xí)的素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和鉆研精神（二）重點(diǎn)難點(diǎn)1重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握平面向量正交分解下的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用2難點(diǎn)是平面向量的基本定理及其意義（三）教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)引入前面對(duì)軸上

2、向量通過(guò)單位向量可以建立與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng),從而給出了軸上向量的坐標(biāo)表示從而對(duì)平面上的任一方向的向量，都可以用相應(yīng)的軸給出坐標(biāo)表示，那么能否僅僅使用兩條互相垂直的軸數(shù)量化表示平面上所有向量呢這種表示唯一嗎讓學(xué)生回憶軸上向量及其坐標(biāo)表示相關(guān)的概念及思想方法從一維向二維,從已知到未知，引入新課題新課探究借助已經(jīng)學(xué)過(guò)的平面直角坐標(biāo)系1分別確認(rèn)軸和y軸上的單位向量e1、e2那么這兩條軸上的向量都可以用相應(yīng)的坐標(biāo)表示,不同軸上的向量坐標(biāo)意義不同例如橫軸、縱軸上的向量坐標(biāo)3分別表示3e1、3e22與軸不平行的平面向量,可以分解為兩個(gè)軸上的向量之和從而表示成兩個(gè)基向量的線性組合。即：a=e1ye2）3取平面上

3、兩條互相垂直的單位向量e1、e2，那么對(duì)該平面內(nèi)的任意向量a，都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)、y，使a=e1ye2。4這里e1，e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組正交基底；e1ye2叫做a關(guān)于基底e1，e2的分解式；（,y）叫做a關(guān)于基底e1，e2下的坐標(biāo)，即a（,y）；y是向量a在橫縱軸上的正投影向量的在橫縱軸上的坐標(biāo)。顯然0=0,0,e1=1,0,e2=0,15平面直角坐標(biāo)系中有序?qū)崝?shù)對(duì)（,y）就有了雙重意義，既表示點(diǎn),y，又可以表示向量,y,敘述中應(yīng)在前面注明。6容易證明：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量坐標(biāo)的和與差；數(shù)乘向量的坐標(biāo)等于該數(shù)與向量相應(yīng)坐標(biāo)的乘積。即：如果a=1,y1,b=2,y2,那

4、么ab=12,y1y2,a=1,y1ab的充要條件是1y2=2y1需要證明7介紹：任意給定平面中兩個(gè)不平行的向量e1、e2，那么平面中所有向量a都可以用這兩個(gè)向量表示。即a=e1、y是唯一確定的一對(duì)有序?qū)崝?shù)。e1，e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；e1ye2叫做a關(guān)于基底e1，e2的分解式例如課本96頁(yè)圖234，證明同3。師生共同探究,對(duì)平面上向量的正交分解的存在唯一性,有所感受確認(rèn)坐標(biāo)表示向量的可行性,及其具體表示方法這里給出了課本的兩個(gè)概念，學(xué)生知道這些名詞就可以了向量的直角坐標(biāo)表示及其運(yùn)算性質(zhì)，學(xué)生應(yīng)該容易接受，甚至給出證明。一些學(xué)生可能不理解證明的必要性和合法性（不易深究）。一般學(xué)

5、生以了解為主，重在以具體問(wèn)題為載體，落實(shí)基本定理的思想方法（消點(diǎn)法）。感受正交分解產(chǎn)生的合理性使學(xué)生容易接受平面向量的坐標(biāo)表示,使部分學(xué)生感受數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性和必要性深化理解例11課本100頁(yè)例1。在直角坐標(biāo)系Oy中，向量a，b，c的方向和長(zhǎng)度如圖所示。分別求它們的坐標(biāo)。所有例題，以教師為主導(dǎo)，關(guān)注優(yōu)秀生是否能從想得通到寫得通再到講得通適當(dāng)?shù)慕o他們機(jī)會(huì)鍛煉展示；關(guān)注一般同學(xué)是否能從想不通到想得通再到寫得通給他們充分時(shí)間來(lái)思考學(xué)習(xí)教師協(xié)調(diào)全班討論復(fù)習(xí)鞏固初中特殊角三角函數(shù)，學(xué)會(huì)用坐標(biāo)表示向量，為數(shù)量積作準(zhǔn)備例12課本102頁(yè)例5，含101頁(yè)例2、4已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A2,1,B0,3,C3,

6、4，求1向量BA的坐標(biāo)、方向和長(zhǎng)度；2向量BD的坐標(biāo)、頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。總結(jié):一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去向量起點(diǎn)的坐標(biāo)。即ABAOOBOBOA12,y1y2可以進(jìn)行多種解法，以達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固向量的坐標(biāo)表示，并用于向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算，使學(xué)生加深理解例13課本102頁(yè)例6，含101頁(yè)例3已知A2,1,B4,4，求線段AB的中點(diǎn)M和三等分點(diǎn)OAAMOAOAOB，這里的向量分解變形是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。注：例題到此，應(yīng)進(jìn)行學(xué)生獨(dú)立練習(xí)鞏固這里，初中學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)中點(diǎn)坐標(biāo)公式。學(xué)生基礎(chǔ)好，可以另用向量的方法給出證明例21課本104頁(yè)例1已知向量AB=2,5,向量a=1,y,若向量AB例22課本104頁(yè)例2直角坐標(biāo)系Oy內(nèi)，已知A2,3,B0,1,C2,5。求證A,B,C三點(diǎn)共線例31課本97頁(yè)例1已知ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M，試用基底AB,AD表示向量MA,MB,MC,MD已知直線AB上任意點(diǎn)P及直線AB外一點(diǎn)O。以O(shè)A，OB為基底，寫出向量OP的分解式熟悉鞏固向量平行或共線的坐標(biāo)條件，通過(guò)證明共線，感受向量法的優(yōu)勢(shì)這是基本定理的例子，滲透了消元法（消點(diǎn)法）思想，練習(xí)量依據(jù)學(xué)生具體情況而定課堂練習(xí)對(duì)于部分習(xí)題師生可以在充分獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，進(jìn)行小組討論對(duì)應(yīng)學(xué)生的差異性，同學(xué)們?cè)诤献鹘涣髦蝎@得不同的發(fā)展歸納