高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 13.4 直接證明與間接證明課件_第1頁
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文檔簡介

1、 13.4 直接證明與間接證明要點(diǎn)梳理1.直接證明 (1)綜合法 定義:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、 定理等,經(jīng)過一系列的 ,最后推導(dǎo)出 所要證明的結(jié)論 ,這種證明方法叫綜合法. 框圖表示: (其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定 理等,Q表示要證的結(jié)論).推理論證成立基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí) (2)分析法 定義:從 出發(fā),逐步尋求使它成 立的 ,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié) 為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、 定義、公理等)為止.這種證明方法叫做分析法. 框圖表示: 2.間接證明 反證法:假設(shè)原命題 ,經(jīng)過正確的推理, 最后得出 ,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明 了原命題成立,這樣的

2、證明方法叫反證法.要證明的結(jié)論充分條件得到一個明顯成立的條件.不成立矛盾基礎(chǔ)自測1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā),尋求使它成立 的( ) A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 解析 由分析法的特點(diǎn)可知.A2.否定“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”時,正 確的反設(shè)為( ) A.a,b,c都是奇數(shù) B.a,b,c都是偶數(shù) C.a,b,c中至少有兩個偶數(shù) D.a,b,c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) 解析 a,b,c恰有一個偶數(shù),即a,b,c中只有 一個偶數(shù),其反面是有兩個或兩個以上偶數(shù)或沒 有一個偶數(shù)即全都是奇數(shù),故只有D正確.D3.若ab0,則 的 值 ( ) A.一定是正

3、數(shù) B.一定是負(fù)數(shù) C.可能是0 D.正、負(fù)不能確定 解析 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0 且a2+b2+c20(由abc0知a,b,c均不為零), ab+bc+acB,只需C0,證明: 本題因?yàn)橛腥?xiàng)分式,不主張用分 析法.綜合法證明不等式,要特別注意基本不等 式的運(yùn)用和對題設(shè)條件的運(yùn)用.這里可從去分母 的角度去運(yùn)用基本不等式. 證明 a,b,c0,根據(jù)基本不等式,題型分類 深度剖析 綜合法往往以分析法為基礎(chǔ),是分析法的逆過程,但更要注意從有關(guān)不等式的定理、結(jié)論或題設(shè)條件出發(fā),根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)證明.知能遷移1 已知x+y+z=1,求證: 證明 x2+y22

4、xy,x2+z22xz, y2+z22yz, 2x2+2y2+2z22xy+2xz+2yz. 3x2+3y2+3z2x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz. 3(x2+y2+z2)(x+y+z)2=1.題型二 分析法 (12分)已知函數(shù)f(x)=tan x, 本題若使用綜合法進(jìn)行推演,三角 函數(shù)式的化簡較難處理,因此,可考慮分析法. 證明2分cos x1cos x20,sin(x1+x2)0,1+cos(x1+x2)0, 6分故只需證明1+cos(x1+x2)2cos x1cos x2, 8分即證1+cos x1cos x2-sin x1sin x22cos x1cos x2,即證:cos(

5、x1-x2)0,求證: 證明 題型三 反證法 若x,y都是正實(shí)數(shù),且x+y2, 求證: 中至少有一個成立. 本題結(jié)論以“至少”形式出現(xiàn),從正面 思考有多種形式,不易入手,故可用反證法加以 證明. 證明因?yàn)閤0且y0,所以1+x2y,且1+y2x,兩式相加,得2+x+y2x+2y,所以x+y2,這與已知條件x+y2相矛盾, (1)當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出現(xiàn)時,宜用反證法來證,反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是:與已知條件矛盾,與假設(shè)矛盾,與定義、公理、定理矛盾,與事實(shí)矛盾等方面,反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具,是數(shù)學(xué)證明中的一件有力

6、武器.(2)利用反證法證明問題時,要注意與之矛盾的定理不能是用本題的結(jié)論證明的定理,否則,將出現(xiàn)循環(huán)論證的錯誤.知能遷移3 已知a、b、c(0,1),求證: (1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時大于 . “不能同時大于 ”包含多種情形, 不易直接證明,可用反證法證明. 證明 方法一 假設(shè)三式同時大于 , a、b、c(0,1), 三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a .方法二 假設(shè)三式同時大于0a0,題型四 分析法與綜合法的綜合應(yīng)用 若a、b、c是不全相等的正數(shù), 求證: 用分析法得到 再用綜合法證明.證明 方法一(*)又a、b、c是不全相等的正數(shù),(*)式等號不成立,

7、原不等式成立.方法二 a、b、cR+,又a、b、c是不全相等的正數(shù), 分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法,分析法的證明過程,恰好是綜合法的分析、思考過程,綜合法是分析法的逆過程.知能遷移4 設(shè)a,b均為正數(shù),且ab,求證:a3+b3 a2b+ab2. 證明 方法一 (分析法) 要證a3+b3a2b+ab2成立, 只需證(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立. 又因?yàn)閍+b0, 只需證a2-ab+b2ab成立. 又需證a2-2ab+b20成立, 即需證(a-b)20成立. 而依題設(shè)ab,則(a-b)20顯然成立,由此命題 得證.方法二 (綜合法)aba-b0(a-b)20a2-2ab+

8、b20a2-ab+b2ab.(*)而a,b均為正數(shù),a+b0,由(*)式即得(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b),a3+b3a2b+ab2.思想方法 感悟提高方法與技巧1.分析法的特點(diǎn)是:從未知看需知,逐步靠攏已知.2.綜合法的特點(diǎn)是:從已知看可知,逐步推出未知.3.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法思考起來比較 自然,容易尋找到解題的思路和方法,缺點(diǎn)是思 路逆行,敘述較繁;綜合法從條件推出結(jié)論,較 簡捷地解決問題,但不便于思考.實(shí)際證題時常常 兩法兼用,先用分析法探索證明途徑,然后再用 綜合法敘述出來.4.應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題,一般分下面幾個步驟: 第一步:分清命題“pq”的條件和結(jié)

9、論; 第二步:作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定 q; 第三步:由p和 q出發(fā),應(yīng)用正確的推理方法, 推出矛盾結(jié)果; 第四步:斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因,在于開始所 作的假定 q不真,于是原結(jié)論q成立,從而間接 地證明了命題pq為真. 第三步所說的矛盾結(jié)果,通常是指推出的結(jié)果 與已知公理矛盾、與已知定義矛盾、與已知定 理矛盾、與已知條件矛盾、與臨時假定矛盾以 及自相矛盾等各種情況.失誤與防范1.利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時,要假設(shè)結(jié)論錯誤, 并用假設(shè)命題進(jìn)行推理,沒有用假設(shè)命題推理 而推出矛盾結(jié)果,其推理過程是錯誤的.2.用分析法證明數(shù)學(xué)問題時,要注意書寫格式的 規(guī)范性,常常用“要證(欲證)”“即要 證”“

10、就要證”等分析到一個明顯成立的結(jié) 論P(yáng),再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立.一、選擇題1.已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P1(x1,y1)、 P2(x2,y2)、P3(x3,y3)在拋物線上,且 2x2=x1+x3,則有 ( ) A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2|2=|FP1|FP3| 解析 如圖所示,y2=2px的準(zhǔn)線為 P1Al,P2Bl,P3Cl.定時檢測由拋物線定義知:P1F=P1A=P2F=P2B=P3F=P3C=2|FP2|=又2x2=x1+x3,2|FP2|=|FP

11、1|+|FP3|.答案 C2.用反證法證明“如果ab,那么 ”假設(shè)內(nèi)容 應(yīng)是 ( ) A. B. C. D. 解析D3.a,b,c為互不相等的正數(shù),且a2+c2=2bc,則下列 關(guān)系中可能成立的是 ( ) A.abc B.bca C.bac D.acb 解析 由a2+c22ac2bc2acba,可排除A、D, 令a=2, 可得c=1或4,可知C可能成立.C4.設(shè)x、y、zR+, 則a、b、c三數(shù) ( ) A.至少有一個不大于2 B.都小于2 C.至少有一個不小于2 D.都大于2 解析 假設(shè)a、b、c都小于2,則a+b+cb,則下列不等式中成 立的是 ( ) A. B.a2b2 C.|a+b|a

12、-b| D. 解析 ab,a-b0.而a可能大于0,也可能小于0, 因此a(a-b)0不一定成立,即A不一定成立; a2b2(a-b)(a+b)0,a-b0,只有當(dāng)a+b0時,a2b2成立,故B不一定成立;|a+b|a-b|(a+b)2(a-b)2ab0,而abb,上式一定成立,因此只有D正確.答案 D6.設(shè)a,b是兩個實(shí)數(shù),給出下列條件: (1)a+b1;(2)a+b=2;(3)a+b2; (4)a2+b22;(5)ab1. 其中能推出:“a,b中至少有一個大于1”的條 件是( ) A.(2)(3) B.(1)(2)(3) C.(3) D.(3)(4)(5) 解析 但a1,b2,故(4)推不

13、出;若a=-2,b=-3,則ab1,故(5)推不出;對于(3),即a+b2,則a,b中至少有一個大于1,反證法:假設(shè)a1且b1,則a+b2與a+b2矛盾,因此假設(shè)不成立,故a,b中至少有一個大于1.答案 C二、填空題7.某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個問題:函數(shù)f(x) 在0,1上有意義,且f(0)=f(1),如果對于 不同的x1,x20,1,都有|f(x1)-f(x2) |x1-x2|,求證:|f(x1)-f(x2)| .那么它的 反設(shè)應(yīng)該是 .“ x1,x20,1,使得|f(x1)-f(x2)|0時,不等式成立;當(dāng)x0時,8x30,而(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1

14、)(x2-x+1)此時不等式仍然成立.11.已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若am,am+2, am+1(mN*)成等差數(shù)列,試判斷Sm,Sm+2,Sm+1是否 成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論. 解 設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為 q(a10,q0), 若am,am+2,am+1成等差數(shù)列, 則2am+2=am+am+1. 2a1qm+1=a1qm-1+a1qm. a10,q0,2q2-q-1=0. 解得q=1或當(dāng)q=1時,Sm=ma1,Sm+1=(m+1)a1,Sm+2=(m+2)a1,2Sm+2Sm+Sm+1.當(dāng)q=1時,Sm,Sm+2,Sm+1不成等差數(shù)列.當(dāng) 時,Sm,Sm+2,Sm+1成等差數(shù)列.下面給出證明:方法一 (Sm+Sm+1)-2Sm+2=(Sm+Sm+am+1)-2(Sm+am+1+am+2)=-am+1-2am+2=-am+1-2am+1q2Sm+2=Sm+Sm+1.當(dāng) 時,Sm,Sm+2,Sm+1成等差數(shù)列.方法二12.已知a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù). 求證:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b 確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的 交點(diǎn). 證明 假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不 與x軸有兩個不同

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