貝葉斯估計課件

1、1第三章 貝葉斯估計3.1貝葉斯推斷方法一 、統(tǒng)計推斷中可用的三種信息 美籍波蘭統(tǒng)計學家耐(E.L.Lehmann18941981)高度概括了在統(tǒng)計推斷中可用的三種信息： 1總體信息，即總體分布或所屬分布族給我們的信息。譬如“總體是指數(shù)分布”或“總體是正態(tài)分布”在統(tǒng)計推斷中都發(fā)揮重要作用，只要有總體信息，就要想方設法在統(tǒng)計推斷中使用。2樣本信息，即樣本提供我們的信息，這是任一種統(tǒng)計推斷中都需要。1第三章 貝葉斯估計3.1貝葉斯推斷方法美籍波蘭統(tǒng)計學23先驗信息，即在抽樣之前有關統(tǒng)計推斷的一些信息。譬如，在估計某產(chǎn)品的不合格率時，假如工廠保存了過去抽檢這種產(chǎn)品質(zhì)量的資料，這些資料（包括歷史數(shù)據(jù)）

2、有時估計該產(chǎn)品的不合格率是有好處的。這些資料所提供的信息就是一種先驗信息。又如某工程師根據(jù)自己多年積累的經(jīng)驗對正在設計的某種彩電的平均壽命所提供的估計也是一種先驗信息。由于這種信息是在“試驗之前”就已有的，故稱為先驗信息。以前所討論的點估計只使用前兩種信息，沒有使用先驗信息。假如能把收集到的先驗信息也利用起來，那對我們進行統(tǒng)計推斷是有好處的。只用前兩種信息的統(tǒng)計學稱為經(jīng)典統(tǒng)計學，三種信息都用的統(tǒng)計學稱為貝葉斯統(tǒng)計學。本節(jié)將簡要介紹貝葉斯統(tǒng)計學中的點估計方法。23先驗信息，即在抽樣之前有關統(tǒng)計推斷的一些信息。譬如，在3四、貝葉斯推斷（估計）條件方法由于未知參數(shù)的后驗分布是集三種信息（總體、樣本和

3、先驗）于一身，它包含了所有可供利用的信息。故有關的參數(shù)估計和假設檢驗等統(tǒng)計推斷都按一定方式從后驗分布提取信息，其提取方法與經(jīng)典統(tǒng)計推斷相比要簡單明確得多?；诤篁灧植嫉慕y(tǒng)計推斷就意味著只考慮已出現(xiàn)的數(shù)據(jù)（樣本觀察值）而認為未出現(xiàn)的數(shù)據(jù)與推斷無關，這一重要的觀點被稱為“條件觀點”，基于這種觀點提出的統(tǒng)計方法被稱為條件方法。3四、貝葉斯推斷（估計）條件方法由于未知參數(shù)的后驗分布4例如經(jīng)典統(tǒng)計學認為參數(shù)的無偏估計應滿足：其中平均是對樣本空間中所有可能出現(xiàn)的樣本而求的，可實際中樣本空間中絕大多數(shù)樣本尚未出現(xiàn)過，而多數(shù)從未出現(xiàn)的樣本也要參與平均是實際工作者難以理解的。故在貝葉斯推斷中不用無偏性，而條件方

4、法是容易被實際工作者理解和接受的。4例如經(jīng)典統(tǒng)計學認為參數(shù)的無偏估計應滿足：5估計1.貝葉斯估計 定義3.2 使后驗密度 達到最大的值 稱為最大后驗估計；后驗分布的中位數(shù) 稱為后驗中位數(shù)估計；后驗分布的期望值 稱為 的后驗期望值估計，這三個估計都稱為貝葉斯估計，記為 。例1 為估計不合格率 ，今從一批產(chǎn)品中隨機抽取n件，其中不合格品數(shù)X服從 ，一般選取 為 的先驗分布，設 已知，由共軛先驗分布可知， 的后驗分布為可計算得： 5估計1.貝葉斯估計 定義3.2 使后驗密度 6選用貝葉斯假設 ，則 第一、在二項分布時， 的最大后驗估計就是經(jīng)典統(tǒng)計中的極大似然估計，即 的極大似然估計就是取特定的先驗分

5、布下的貝葉斯估計。第二、 的后驗期望值估計 要比最大后驗估計 更合適一些。 第三、 的后驗期望值估計要比最大后驗估計更合適一些。 表2.1列出四個實驗結(jié)果,在試驗1與試驗2中,“抽檢3個產(chǎn)品沒有一件不合格”與抽檢10個產(chǎn)品沒有一件是不合格”這兩件事在人們心目中留下的印象是不同的。后者的質(zhì)量要比前者的質(zhì)量更信得過。6選用貝葉斯假設 ，則 第一、在二項7試驗號樣本量n不合格數(shù)x13000.200210000.08333310.8004101010.917表3.1 不合格率 的二種貝葉斯估計的比較7試驗號樣本量n不合格數(shù)x13000.200210000.08在試驗3和試驗4中，“抽檢3個產(chǎn)品全部不合

6、格”與抽檢“10個產(chǎn)品全部不合格”也是有差別的。在實際中，人們經(jīng)常選用后驗期望估計作為貝葉斯估計。2.貝葉斯估計的誤差 設 是 的一個貝葉斯估計，在樣本給定后， 是一個數(shù)，在綜合各種信息后， 是按 取值，所以評價一個貝葉斯估計的誤差的最好而又簡單的方式是用對 的后驗均方差或平方根來度量，定義如下：稱為 的后驗均方差,而其平方根稱為后驗標準差.定義3.2 設參數(shù)的后驗分布為 ,貝葉斯估計為 ,則 的后驗期望 8在試驗3和試驗4中，“抽檢3個產(chǎn)品全部不合格”與抽檢“109當 時,則,稱為后驗均方差.后驗均方差與后驗方差有如下關系: 這表明,當 時,可使后驗均方差達到最小,實際中常取后驗均值作為 的

7、貝葉斯估計值.9當 時,則這10例2 設一批產(chǎn)品的不合格率為 ,檢查是一個一個進行,直到發(fā)現(xiàn)第一個不合格品為止,若X為發(fā)現(xiàn)第一個不合格品時已檢查的產(chǎn)品數(shù),則X服從幾何分布,其分布列為設 的先驗分布為 , 如今只獲得一個樣本觀察值x=3,求 的最大后驗估計,后驗期望估計,并計算它的誤差.故聯(lián)合分布為 X=3的無條件概率為(利用全概率公式)10例2 設一批產(chǎn)品的不合格率為 ,檢查是一個一個進11故或 可看出, 的最大后驗估計 的后驗方差為11故或 可看出, 的最大后驗估計 的后驗方差為123.區(qū)間估計(可信區(qū)間) 對于區(qū)間估計問題,貝葉斯方法具有處理方便和含義清晰的優(yōu)點,而經(jīng)典方法求置信區(qū)間常受到

8、批評.定義3.3 參數(shù) 的后驗分布為 ,對給定的樣本 和概率 ,若存在這樣的二個統(tǒng)計量 與 ,使得則稱區(qū)間 為參數(shù)的可信水平為 貝葉斯可信區(qū)間,或簡稱為 的 可信區(qū)間.而滿足123.區(qū)間估計(可信區(qū)間) 對于區(qū)間估計問題,貝葉斯方法具13的 稱為 的 (單側(cè))可信下限. 滿足 的 稱 為 的 (單側(cè))可信上限.這里的可信水平和可信區(qū)間與經(jīng)典統(tǒng)計中的置信水平與置信區(qū)間雖是同類的概念,但兩者還是有本質(zhì)的差別,主要表現(xiàn)在下面二點:1.在條件方法下,對給定的樣本 和可信水平 ,通過后驗分布可求得具體的可信區(qū)間,譬如, 的可信水平為0.9的可信區(qū)間是 ,這時我們可以寫出13的 稱為 的 (單側(cè))可信下限

9、. 滿足14 2.在經(jīng)典統(tǒng)計中尋求置信區(qū)間有時是困難的,因為它要設法構(gòu)造一個樞軸量,使它的分布不含未知參數(shù),這是一項技術性很強的工作.相比之下可信區(qū)間只要利用后驗分布,不需要再去尋求另外的分布, 可信區(qū)間的尋求要簡單得多.例3 設 是來自正態(tài)總體 的一個樣本觀察值,其中 已知,若正態(tài)均值的先驗分布取為 ,其中 與 已知,則可求得 的后驗分布為 ,由此獲得 的 可信區(qū)間14 2.在經(jīng)典統(tǒng)計中尋求置信區(qū)間有時是困難的,因為它要設法15EX1 設隨機變量X的密度函數(shù)為(1)假如的先驗分布為U(0,1),求的后驗分布.(2)假如的先驗分布為求的后驗分布及后驗期望估計15EX1 設隨機變量X的密度函數(shù)為

10、163、2貝葉斯決策方法決策就是對一件事作決定。它與推斷的差別在于是否涉及后果。統(tǒng)計學家在作推斷時是按統(tǒng)計理論進行的，但很少考慮結(jié)論在使用后的損失。可決策者在使用推斷時必需與得失聯(lián)系在一起，能帶來利潤的就會使用，使他遭受損失的就不會采用，度量得失的尺度就是損失函數(shù)。它是著名的統(tǒng)計學家A.Wald（19021950）在40年代引入的一個概念。從實際歸納出損失函數(shù)是決策的關鍵。貝葉斯決策：把損失函數(shù)加入貝葉斯推斷就形成貝葉斯決策論，損失函數(shù)被稱為貝葉斯統(tǒng)計中的第四種信息。163、2貝葉斯決策方法決策就是對一件事作決定。它與推斷的差17一、決策的基本概念 32 0 1 4341 2例1 設甲乙二人進

11、行一種游戲，甲手中有三張牌，分別標以 。乙手中也有三張牌，分別標以 。游戲的規(guī)則是雙方各自獨立的出牌，按下表計算甲的得分與乙的得分。17一、決策的基本概念 32 0 1 43418這是一個典型的雙人博弈（賭博）問題。不少實際問題可歸納為雙人博弈問題。把上例中的乙方改為自然或社會，就形成人與自然（或社會）的博弈問題。例2 農(nóng)作物有兩個品種：產(chǎn)量高但抗旱能力弱的品種 和抗旱能力強但產(chǎn)量低的品種 。在明年雨量不知的情況下，農(nóng)民應該選播哪個品種可使每畝平均收益最大？這是人與自然界的博弈。以明年60mm雨量為界來區(qū)分雨量充足 和雨量不充足 。寫出收益矩陣（單位：元）100020010040018這是一個

12、典型的雙人博弈（賭博）問題。不少實際問題可歸納為19例3 一位投資者有一筆資金要投資，有以下幾個投資供他選擇：購買股票，根據(jù)市場情況，可凈賺5000元，但可 能使他虧損10000元存入銀行，不管市場情況如何總可凈賺1000元這位投資者在金融市場博弈。未來的金融市場也有兩種情況：看漲 與看跌 可寫出投資者的收益矩陣50001000-100001000投資者將依據(jù)收益矩陣決定他的資金投向何方這種人與自然（或社會）的博弈問題稱為決策問題19例3 一位投資者有一筆資金要投資，有以下幾個投資供他20二、決策的三要素1 狀態(tài)集 ，其中每個元素 表示自然界（或社會）可能出現(xiàn)的一種狀態(tài)，所有可能狀態(tài)的全體組成

13、狀態(tài)集。2 行動集 ，其中a表示人對自然界可能采取的一個行動一般行動集有兩個以上的行動可供選擇。若有兩個行動無論對自然界的哪一個狀態(tài)出現(xiàn)， 總比 收益高，則 就沒有存在的必要，可把它從行動集中去掉，使留在行動集中的行動總有可取之處。20二、決策的三要素1 狀態(tài)集 213 收益函數(shù) ，函數(shù)值 表示當自然界處于狀態(tài) ，而人們選取行動 時所得到的收益大小。收益函數(shù)的值可正可負，若正表示盈利，負表示虧損，單位常用貨幣單位，收益函數(shù)的建立不是件容易的事，要對所研究的問題有全面的了解才能建立起來。收益矩陣213 收益函數(shù) ，函數(shù)值22三、損失函數(shù)1、從收益到損失為了統(tǒng)一處理，在決策中常用一個更為有效的概念

14、：損失函數(shù)。在狀態(tài)集和行動集都為有限時用損失矩陣。這里的損失函數(shù)不是負的收益，也不是虧損。例如，某商店一個月的經(jīng)營收益為1000元，即虧1000元。這是對成本而言。我們不能稱為損失，而稱其為虧損。我們講的損失是指“該賺而沒有賺到的錢”，例如該店本可以賺2000元，當由于某種原因虧了1000元，那我們說該店損失了3000元。用這種觀點認識損失對提高決策意識是有好處的。按上述觀點從收益函數(shù)可以很容易獲得損失函數(shù)。22三、損失函數(shù)1、從收益到損失為了統(tǒng)一處理，在決策中常用一23例4 某公司購進某種貨物可分大批、中批和小批三種行動，記為 ，未來市場需求量可分為高、中、低三種狀態(tài)，記為 ，三個行動在不同

15、的市場的利潤如下這是一個收益矩陣，我們把它改寫為損失矩陣如下：23例4 某公司購進某種貨物可分大批、中批和小批三種行動，242、損失函數(shù)構(gòu)成決策問題的三要素：由收益函數(shù)容易獲得損失函數(shù)例5 某公司購進一批貨物投放市場，若購進數(shù)量a低于市場需求量 ，每噸可賺15萬元。若購進數(shù)量超過市場需求量 ，超過部分每噸反要虧損35萬元。由此可寫出收益函數(shù)242、損失函數(shù)構(gòu)成決策問題的三要素：由收益函數(shù)容易獲得損失25顯然，當購進數(shù)量a等于市場需求量 時，收益達到最大25顯然，當購進數(shù)量a等于市場需求量 時，收益達到最263、損失函數(shù)下的悲觀準則第一步，對每個行動a選出最大損失值，記為第二步，在所有選出的最大

16、損失中再選出最小者 ，則 滿足則稱 為悲觀準則下的最優(yōu)行動，這是一種保守策略，不求零損失，但愿少損失例4幻燈片 41在悲觀準則下，第一步的最大損失值依次為3.7，4，8第二步，在上面三個最大損失值中最小值為3.7，對應的行動為263、損失函數(shù)下的悲觀準則第一步，對每個行動a選出最大損失274、常用損失函數(shù)（1）平方損失函數(shù)這是在統(tǒng)計決策中用得最多的損失函數(shù)（2）線性損失函數(shù)（3）01損失函數(shù)（4）多元二次損失函數(shù)274、常用損失函數(shù)（1）平方損失函數(shù)這是在統(tǒng)計決策中用得最28四、貝葉斯決策問題先驗信息和抽樣信息都用的決策問題稱為貝葉斯決策問題。若以下條件已知，則我們認為一個貝葉斯決策問題給定了。（4）定義在 的二元函數(shù) 稱為損失函數(shù)28四、貝葉斯決策問題先驗信息和抽樣信息都用的決策問題稱為貝291、后驗風險函數(shù)我們把損失函數(shù) 對后驗分布 的期望稱為后驗風險，記為 ，即后驗風險就是用后驗分布計算的平均損失 291、后驗風險函數(shù)我們把損失函數(shù) 302、決策函數(shù)定義 在給定的貝葉斯決策問題中，從樣本空間 到行動集A上的一個映照 稱為該決策問題的一個決策函數(shù)， 表示所有樣本空間從到A上的決策函數(shù)組成的類稱為決策函數(shù)類。在貝葉斯決策中我們面臨的是決策函數(shù)類D，要在D中選擇決策函數(shù) ，