貝塞爾函數(shù)課件

1、數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)貝塞爾函數(shù)3本節(jié)內(nèi)容貝塞爾函數(shù)第二次課內(nèi)容總結(jié)貝塞爾函數(shù)的遞推公式函數(shù)展成貝塞爾函數(shù)的級數(shù)貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例上面兩式左邊的導數(shù)求出來, 并經(jīng)過化簡貝塞爾函數(shù)的遞推公式兩式相加減分別消去 和這里微分算子 表示算子 連續(xù)作用 m 次的縮寫. 半奇數(shù)級貝塞爾函數(shù)的表達式可見，半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)都是初等函數(shù)。方程的通解為令 方程轉(zhuǎn)化為從而由于 , 由條件 知 , 由 可得: 求特征問題因此，必須判明 的零點是否存在；如果存在，則需要研究其分布情形。貝塞爾函數(shù)的零點關(guān)于貝塞爾函數(shù)零點的結(jié)論： 有無窮多個單重實零點, 這些零點在 x軸上關(guān)于原點對稱分布, 因而 有無窮多個正的零點；

2、 24681012o1.00.5-0.5 的零點和 的零點是彼此相間分布，即 的任意兩個相鄰零點之間有且僅有一個 的零點，反之亦然； 24681012o1.00.5-0.524681012o1.00.5-0.5以 表示 的非負零點, 則 函數(shù)以p為周期振蕩與這些特征值相應(yīng)的特征函數(shù)為 方程 的解為：即貝塞爾方程相應(yīng)定解問題的特征值為貝塞爾函數(shù)的正交性結(jié)論：n 階貝塞爾特征函數(shù)系 在區(qū)間 (0, R) 上帶權(quán) r 正交，模值的平方即結(jié)論2：在區(qū)間0, R上具有一階連續(xù)導數(shù)以及分段連續(xù)的二階導數(shù)的函數(shù) f (r) 如果在 r=0 處有界, 在 r =R 處等于零, 則它必可以展開為如下形式的絕對且

3、一致收斂的級數(shù)：其中模的平方權(quán)函數(shù)貝塞爾函數(shù)5.6 貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例例 設(shè)有半徑為 1 的薄均勻圓盤，其側(cè)面絕緣，邊界上的溫度始終保持為零度，初始圓盤內(nèi)溫度分布為 其中 r 為圓盤內(nèi)任一點的極半徑，求圓盤的溫度分布規(guī)律。分析: 由于是在圓域內(nèi)求解問題, 故采用極坐標. 考慮到定解條件和 無關(guān), 所以溫度 u 只能是 t 和 r 的函數(shù). 解 根據(jù)問題的要求, 即可歸結(jié)為求下列方程的定解問題：由于 u 和 無關(guān), 可以化簡為問題此外, 由問題的物理意義, 還有條件 且 時， 令代入到上述方程, 有由此得解(1)得： 時，(2) 為零階非標準的貝塞爾方程,由 u(r, t) 的有界性, 可以知道

4、再由條件知： 即 是 的零點.用 (n =1,2) 表示 的正零點, 綜合以上結(jié)果可得:方程 (1) 的解為令 則它的通解為： 方程 的特征值為： 相應(yīng)的特征函數(shù)為：這時方程 的解為：從而由疊加原理, 可得原問題的解為 由初始條件得其中因為令 所以從而 所求定解問題的解為：其中 是 的正零點。 例解一、建立方程“翻譯”邊界條件一、建立方程U為常數(shù)，為上底的電勢。一、建立方程我們知道一、建立方程一、建立方程二、求本征值、本征函數(shù)二、求本征值、本征函數(shù)三、由疊加原理 寫出解。四、確定常數(shù)四、確定常數(shù)四、確定常數(shù)總結(jié)：貝塞爾函數(shù)重點：貝塞爾方程的標準形式貝塞爾方程的通解第一類貝塞爾函數(shù)的形式貝塞爾函數(shù)的奇偶性及有