中考數(shù)學平行四邊形-經(jīng)典壓軸題附答案

1、一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.如圖1,正方形ABCD的一邊AB在直尺一邊所在直線MN上，點0是對角線AC、BD的交點，過點0作0E丄MN于點E.（1）如圖1線段AB與0E之間的數(shù)量關(guān)系為.（請直接填結(jié)論）（2）保證點A始終在直線MN上，正方形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)0（0090）,過點B作BF丄MN于點F.如圖2,當點0、B兩點均在直線MN右側(cè)時，試猜想線段AF、BF與0E之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.如圖3當點0、B兩點分別在直線MN兩側(cè)時，此時中結(jié)論是否依然成立呢？若成立，請直接寫出結(jié)論；若不成立，請寫出變化后的結(jié)論并證明.當正方形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖4的位置時，

2、線段AF、BF與0E之間的數(shù)量關(guān)系為（請直接填結(jié)論）【答案】（1）AB=2OE；（2）AF+BF=20E，證明見解析;AF-BF=20E證明見解析;BF-AF=20E，【解析】試題分析：（1）利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)論；（2）過點B作BH丄0E于H,可得四邊形BHEF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BH，BF=HE，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得0A=0B，ZAOB=90,再根據(jù)同角的余角相等求出/A0E=Z0BH,然后利用角角邊”證明厶A0E和厶0BH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得0H=AE,0E=BH，再根據(jù)AF-EF=AE，整理即可得證；過點B作

3、BH丄0E交0E的延長線于H,可得四邊形BHEF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BH,BF=HE，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得0A=0B,ZAOB=90,再根據(jù)同角的余角相等求出ZA0E=Z0BH,然后利用角角邊”證明厶AOE和厶OBH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OH=AE,OE=BH，再根據(jù)AF-EF=AE，整理即可得證；同的方法可證.試題解析：（1）TAC,BD是正方形的對角線，OA=OC=OB,ZBAD=ZABC=90,T0E丄AB,二OE=AB,2AB=20E,AF+BF=20E證明：如圖2,過點B作BH丄OE于點H曲圖2ZBHE=ZBHO=90T0E丄MN,BF

4、丄MNZBFE=ZOEF=90.四邊形EFBH為矩形BF=EH,EF=BHT四邊形ABCD為正方形OA=OB,ZAOB=90ZAOE+ZHOB=ZOBH+ZHOB=90ZAOE=ZOBH.AEO竺OHB(AAS)AE=OH,OE=BHAF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE.AF-BF=2OE證明：如圖3延長OE,過點B作BH丄OE于點HZEHB=90TOE丄MN,BF丄MNZAEO=ZHEF=ZBFE=90四邊形HBFE為矩形BF=HE,EF=BH四邊形ABCD是正方形OA=OB,ZAOB=90ZAOE+ZBOH=ZOBH+ZBOHZAOE=ZOBHAOE竺OBH(

5、AAS)AE=OH,OE=BH,AF-BF=AE+EF-HE=OH-HE+OE=OE+OE=2OEBF-AF=2OE,如圖4,作OG丄BF于G,則四邊形EFGO是矩形,EF=GO,GF=EO,ZGOE=90,ZAOE+ZAOG=90.在正方形ABCD中，OA=OB,ZAOB=90,ZAOG+ZBOG=90,ZAOE=ZBOG.TOG丄BF,OE丄AE,ZAEO=ZBGO=90.AOE竺BOG(AAS),OE=OG,AE=BG,TAE-EF=AF,EF=OG=OE,AE=BG=AF+EF=OE+AF,BF-AF=BG+GF-(AE-EF)=AE+OE-AE+EF=OE+OE=2OE,BF-AF=

6、2OE.2.如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動點(不與點B、C重合)，連接DE、點C關(guān)于直線DE的對稱點為U,連接AC并延長交直線DE于點P,F是AC的中點，連接DF.求ZFDP的度數(shù)；連接BP,請用等式表示AP、BP、DP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；連接AC,若正方形的邊長為2，請直接寫出AACC的面積最大值.亠1二D徉P【答案】(1)45；(2)BP+DP=邁AP,證明詳見解析；(3)J2-1.【解析】【分析】1證明上CDE=ACDE和上ADF=ZCDF,可得上FDP=-厶ADC=45；作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明BAPDAP(SAS)，得BP=DP,從而得PAP是等腰直角

7、三角形，可得結(jié)論；先作高線CG,確定ACC的面積中底邊AC為定值2,根據(jù)高的大小確定面積的大小，當C在BD上時，CG最大，其AACC的面積最大，并求此時的面積.【詳解】(1)由對稱得：CD=CD,ZCDE=ZCDE,在正方形ABCD中,AD=CD,ZADC=90,AD=CD,TF是AC的中點，DFAC,ZADF=ZCDF,.ZFDP.ZFDP=ZFDC+ZEDC=1ZADC=45；2(2)結(jié)論：BP+DP=-ap,理由是：如圖，作AP1AP交PD的延長線于P,.ZPAP=90,在正方形ABCD中，DA=BA,ZBAD=90,ZDAP=ZBAP,由(1)可知：ZFDP=45TZDFP=90ZAP

8、D=45,ZP=45,AP=AP,在厶BAP和厶DAP中，BA=DAt:A0X圖(2)如圖，過點C作x軸垂線MN,交x軸于點M,過點B作MN的垂線，垂足為N,TZOCB=90,ZOCM=90-ZBCN=ZCBN,TOC=BC,Z0MC=ZCNB=90,OMC仝CNB(AAS),當a=60時，TZAZOC=90,OC=6,ZCOM=30,CZN=OM=3*3，BN=CM=3點B的坐標為、込-3,3+3朽丿；(3)如圖，連接OB,AC相交于點K,則K是OB的中點，TP為線段BC的中點,二PK=20C=3,2P在以K為圓心，3為半徑的圓上運動，AK=3J2,AP最大值為3邁+3,AP的最小值為3邁-

9、3,AP長的取值范圍為3晨-3wAPw3、律+3.【點睛】本題考查正方形性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，三角形中位線定理.（3）問解題的關(guān)鍵是利用中位線定理得出點P的軌跡.8.如圖，在正方形ABCD中，點E在CD上,AF丄AE交CB的延長線于F.求證：AE=AF.【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)同角的余角相等證得ZBAF=ZDAE，再利用正方形的性質(zhì)可得AB=AD,厶ABF=ZADE=90,根據(jù)ASA判定ABFADE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得AF=AE.【詳解】AF丄AE,ZBAF+ZBAE=90,又ZDAE+ZBAE=90,ZBAF=ZDAE,四邊形ABCD是正方形，AB=AD,ZABF=

10、ZADE=90,在厶ABF和厶ADE中,|FZaBF=ZADE彳址二犧,ZBAF=ZDAEABF竺ADE(ASA),AF=AE.【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點，證明ABFADE是解決本題的關(guān)鍵.9.正方形ABCD的邊長為1,對角線AC與BD相交于點0,點E是AB邊上的一個動點如圖1,當AD=20F時，求出x的值；如圖2,把線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90,使點C落在點P處，連接AP，設APE的面積為S,試求S與x的函數(shù)關(guān)系式并求出S的最大值.【答案】(1)x=i-1；111(2)S=-上(x-上)2+：(OVxVl),11當乂=時，S的值最大，最大值為，-【解析

11、】試題分析：(1)過0作OMIIAB交CE于點M,如圖1,由平行線等分線段定理得到CM=ME,根據(jù)三角形的中位線定理得到AE=2OM=2OF,得到OM=OF,于是得到BF=BE=x,171-X血X十=求得OF=OM=二解方程匚2，即可得到結(jié)果；(2)過P作PG丄AB交AB的延長線于G,如圖2,根據(jù)已知條件得到/ECB=ZPEG，根據(jù)1全等三角形的性質(zhì)得到EB=PG=x，由三角形的面積公式得到S=：(1-x)x,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.試題解析：(1)過0作OMIIAB交CE于點M,如圖1,OA=OC,CM=ME,11AE=2OM=2OF,OM=OF,OMOFBF=BE=x,1-xOF=

12、OM=TAB=1,0B=二,二-22xj-1；(2)過P作PG(2)過P作PG丄AB交AB的延長線于G,如圖2,TZCEP=ZEBC=90,.ZECB=ZPEG,TPE=EC,ZEGP=ZCBE=90,在厶EPG與厶CEB中，lBELPGECEB-L.PECIPE-EC.EPG竺CEB,EB=PG=x,AE=1-x,111.S=J(1-x).X=-上2+=111(x-(0 x1),3St時t的取值范圍.C1J*P.VB、pHX圖圖1414914【答案】PQ=7-t.(2)t=.當0t5時,sM1當5t4，41354914928562856一_2丄一嚴5宀、15f-27-kF2154【解析】試題分析：（1）分兩種情況討論：當點Q在線段AC上時，當點Q在線段BC上時.（2）根據(jù)AP+PN+NB=AB，列出關(guān)于t的方程即可解答；1414T叮（3）當0VtW時，當t4，當4VtV7時