復(fù)變函數(shù)論課件：7-2 分式線性函數(shù)及其映射性質(zhì)

1、 復(fù)變函數(shù)論多媒體教學(xué)課件Department of Mathematics 第七章 共形映射第7.2節(jié) 分式線性函數(shù) 及其映射性質(zhì)分式線性函數(shù)的定義分式線性函數(shù)是指下列形狀的函數(shù)：其中 是復(fù)常數(shù)，而且 。在 時，我們也稱它為整線性函數(shù)。分式線性函數(shù)的反函數(shù)為它也是分式線性函數(shù)，其中 注解：注解1、當(dāng) 時，所定義的分式線性函數(shù)是把z平面雙射到w平面，即把C雙射到C的單葉解析函數(shù)；注解2、當(dāng) 時，所定義的分式線性函數(shù)是把 雙射到 的單葉解析函數(shù)；注解3、我們可以把分式線性函數(shù)的定義域推廣到擴(kuò)充復(fù)平面 。當(dāng) 時，規(guī)定它把映射成 ；當(dāng) 時，規(guī)定它把映射成 ；則把 雙射到 。分式線性函數(shù)的拓廣 現(xiàn)在把

2、保形映射的概念擴(kuò)充到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)及其鄰域，如果把 及其一個鄰域保形映射成t=0及其一個鄰域，那么我們說w=f(z)把 及其一個鄰域保形映射成 及其一個鄰域。 如果把 及其一個鄰域保形映射成t=0及其一個鄰域，那么我們說w=f(z)把 及其一個鄰域分式線性函數(shù)的拓廣保形映射成 及其一個鄰域。注解4、分式線性函數(shù)把擴(kuò)充z平面保形映射成擴(kuò)充w平面。注解5、區(qū)域、連通性等概念可以推廣到擴(kuò)充復(fù)平面。 （ 為一個復(fù)數(shù)）；分式線性函數(shù)的分解 一般分式線性函數(shù)是由下列四種簡單函數(shù)疊合而得的：（1）、（2）、 （ 為一個實(shí)數(shù)）；（3）、 （r為一個正數(shù)）；（4）、 。分式線性函數(shù)的分解事實(shí)上，我們有：把z及w看作同

3、一個復(fù)平面上的點(diǎn)，則有：（1）、 確定一個平移；分式線性函數(shù)的分解（2）、確定一個旋轉(zhuǎn)；（3）、確定一個以原點(diǎn)為相似中心的相似映射；（4）、是由 映射及關(guān)于實(shí)軸的對稱映射 疊合而得。定理4.1保圓性：規(guī)定：在擴(kuò)充復(fù)平面上，任一直線看成半徑是無窮大的圓。定理4.1 在擴(kuò)充復(fù)平面上，分式線性函數(shù)把圓映射成圓。證明：由于分式線性函數(shù)所確定的映射是平移、旋轉(zhuǎn)、相似映射及 型的函數(shù)所確定的映射復(fù)合而得，但前三個映射顯然把圓映射成圓，所以只用證明映射也把圓映射為圓即可。保圓性：在圓的方程（如果a=0，這表示一條直線）中，代入則得圓的復(fù)數(shù)表示：其中a,b,c,d是實(shí)常數(shù)， 是復(fù)常數(shù)。保圓性：函數(shù) 把圓映射成

4、為即w平面的圓（如果d=0，它表示一條直線，即擴(kuò)充w平面上半徑為無窮大的圓）。注解：注解1、設(shè)分式線性函數(shù)把擴(kuò)充z平面上的圓C映射成擴(kuò)充w平面上的圓C。于是，C及C把這兩個擴(kuò)充復(fù)平面分別分成兩個沒有公共點(diǎn)的區(qū)域， 及 ，其邊界分別是C及C。注解2、此分式線性函數(shù)把 映射成之中的一個區(qū)域；注解3、映射后的區(qū)域的象究竟是 還是 ，我們必須通過檢驗其中某一個點(diǎn)的象來決定。定理 4.2定理4.2 對于擴(kuò)充 z平面上任意三個不同的點(diǎn)以及擴(kuò)充 w平面上任意三個不同的點(diǎn)，存在唯一的分式線性函數(shù)，把依次分別映射成證明：先考慮已給各點(diǎn)都是有限點(diǎn)的情形。設(shè)所求分式線性函數(shù)是定理 4.2的證明：那么，由得同理，有：

5、定理 4.2的證明：因此，有由此，我們可以解出分式線性函數(shù)。由此也顯然得這樣的分式線性函數(shù)也是唯一的。其次，如果已給各點(diǎn)除 外都是有限點(diǎn)。則所求分式線性函數(shù)有下列的形式：定理 4.2的證明：那么，由同理有由此，我們可以解出分式線性函數(shù)。由此也顯然得這樣的分式線性函數(shù)也是唯一的。注解與推論：注解： 和 分別稱為 及 的交比，分別記為系4.1 在分式線性函數(shù)所確定的映射下，交比不變。即設(shè)一個分式線性函數(shù)把擴(kuò)充 z平面上任意不同四點(diǎn) 映射成擴(kuò)充 w平面上四點(diǎn) ，那么定理4.3定理4.3 擴(kuò)充 z平面上任何圓，可以用一個分式線性函數(shù)映射成擴(kuò)充 w平面上任何圓。證明：設(shè)C是z平面上的一個圓，C是w平面上

6、的一個圓，在C和C上分別取三個不同的點(diǎn)由定理4.2，存在一個分式線性函數(shù)，把映射成 ，從而把圓C映射成圓C。關(guān)于圓的對稱點(diǎn)：注解1、圓C上的點(diǎn)是它本身關(guān)于圓C的對稱點(diǎn)；注解2、規(guī)定 及 是關(guān)于圓C的對稱點(diǎn)；注解3、利用此定理也可以解釋關(guān)于直線的對稱點(diǎn)。 設(shè)已給圓如果兩個有限點(diǎn) 及 在過 的同一射線上，并且那么我們說它們是關(guān)于圓C的對稱點(diǎn)。而 及 都是有限的情形。引理4.1:引理4.1 不同兩點(diǎn) 及 是關(guān)于圓C的對稱點(diǎn)的必要與充分條件是：通過 及 的任何圓與圓C直交。證明：如果C是直線（半徑為無窮大的圓）；或者C是半徑為有限的圓， 及 之中有一個是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則結(jié)論顯然?，F(xiàn)在考慮圓C為（必要性）設(shè)

7、 及 關(guān)于圓C的對稱，那么通過 及 的直線（半徑為無窮大的圓）顯然和圓C直交。引理4.1的證明:作過 及 的任何圓（半徑為有限）C。過作圓C的切線，設(shè)其切點(diǎn)是z。于是從而這說明 ，從而上述C的切線恰好是圓C的半徑，因此C與C直交。（充分性）過 及 作一個圓（半徑為有限）C，與C交于一點(diǎn)z。由于圓C與C直交，C在z的切線通過圓C的心 。顯然， 及 在這切線的同一側(cè)。又過 及 作一直線L，由于L與C直交，它通過圓心 。引理4.1的證明:于是 及 在通過 的一條射線上。我們有因此， 及 是關(guān)于圓C的對稱點(diǎn)。定理4.4(保圓的對城性）：定理4.4 如果分式線性函數(shù)把 z平面上圓C映射成 w平面上的圓C

8、，那么它把關(guān)于圓C的對稱點(diǎn) 及 映射成關(guān)于圓C的對稱點(diǎn) 及 。證明：過 及 的任何圓是由過 及 的圓映射得來的。由引理4.1，過 及 的任何圓與圓C直交，從而由分式線性函數(shù)的保形性，過 及 的任何圓與圓C直交。再利用引理4.1， 及 是關(guān)于圓C的對稱點(diǎn)。例子：例：考慮擴(kuò)充w平面上的一個圓|w|=R。分式線性函數(shù)把 及 映射成關(guān)于圓w|=R的對稱點(diǎn)0及 ，把擴(kuò)充z平面上的曲線映射成為圓w|=R。由定理4.1、4.4知，上式表示的一個圓， 及 是關(guān)于它對稱點(diǎn)。兩個特殊的分式線性函數(shù)：(1)、試求把上半平面Imz0保形映射成單位圓盤|w|0內(nèi)某一點(diǎn) 映射成w=0，一方面把Imz=0映射成|w|=1。

9、由于線性函數(shù)把關(guān)于實(shí)軸Imz=0的對稱點(diǎn)映射成為關(guān)于圓|w|=1的對稱點(diǎn)，所求函數(shù)不僅把 映射成w=0，而且把 映射成 。因此這種函數(shù)的形狀是：其中 是一個復(fù)常數(shù)。把上半平面映射成單位圓內(nèi)部的映射：其次，如果z是實(shí)數(shù)，那么于是 ，其中 是一個實(shí)常數(shù)。因此所求的函數(shù)應(yīng)是由于z是實(shí)數(shù)時，|w|=1，因此它把直線Imz=0映射成圓|w|=1，從而把上半平面Imz0映射成|w|1，又因為當(dāng) 時，|w|=01，因此這個函數(shù)正是我們所要求的。注解：注解1、圓盤|w|1的直徑是由通過 及 的圓在上半平面的弧映射成的；注解2、以w=0為心的圓由以 及 為對稱點(diǎn)的圓映射成的；注解3、w=0是由 映射成的。注解4

10、、求解的方法具有一般性。注解5、映射的具體性質(zhì)如圖。單位圓到單位圓內(nèi)部的映射：(2)、試求把單位圓|z|1保形映射成單位圓盤|w|1的分式線性函數(shù)。解：首先，這種函數(shù)應(yīng)當(dāng)把|z|1內(nèi)某一點(diǎn) 映射成w=0，并且把|z|=1映射成|w|=1。不難看出，與 關(guān)于圓|z|=1的對稱點(diǎn)是 ，和上面一樣，這種函數(shù)還應(yīng)當(dāng)把 映射成 因此這種函數(shù)的形狀是：其中 是一個復(fù)常數(shù)。兩個特殊的分式線性函數(shù)：其次，如果|z|=1時，那么于是因此 ，其中 是一個實(shí)常數(shù)。所求的函數(shù)應(yīng)是由于當(dāng)|z|=1時，|w|=1，因此它把圓|z|=1映射成圓|w|=1，從而把|z|1映射成|w|1，又因為當(dāng) 時，|w|=01，因此這個函數(shù)正是我們所要求的。注解：注解1、圓盤|w|1的直徑是由通過 及