第11講 思想方法性問題-2022中考數(shù)學(xué)巔峰沖刺（解析版）

1、PAGE252022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)巔峰沖刺專題11思想方法性問題【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥,疑難突破；數(shù)學(xué)思想方法是指對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)，是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略數(shù)學(xué)思想方法是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法是提高解題能力的根本所在因此，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意總結(jié)體會(huì)教材例題、習(xí)題以及中考試題中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識(shí)和能力類型一分類討論思想分類討論思想是指當(dāng)被研究的問題存在一些不確定的因素，無法用統(tǒng)一的方法或結(jié)論給出統(tǒng)一的表述時(shí)，按可能出現(xiàn)的所有情況來分別討論，得出各情況下相應(yīng)的結(jié)論分類的原則：1分類中的每一部分是相互獨(dú)立的；

2、2一次分類必須是同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；3分類討論要逐級(jí)進(jìn)行；4分類必須包含所有情況，既不能重復(fù)，也不能有遺漏類型二數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是把抽象思維和形象思維結(jié)合起來分析問題，將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形語言結(jié)合起來表示問題，從而解決問題的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，關(guān)鍵是要找到數(shù)與形的契合點(diǎn)數(shù)形結(jié)合在不等式組、函數(shù)等知識(shí)中有著廣泛的應(yīng)用，綜合題中始終滲透著對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查類型三轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想，用于解決問題時(shí)的基本思想是化未知為已知，把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，把生疏的問題熟悉化，把非常規(guī)的問題化為常規(guī)問題，把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，實(shí)現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)問題間的相互轉(zhuǎn)化，這也體

3、現(xiàn)了把不易解決的問題化為有章可循、容易解決問題的思想類型四數(shù)學(xué)建模思想數(shù)學(xué)建模思想就是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的思想，即用數(shù)學(xué)的語言公式、符號(hào)、圖表等刻畫一個(gè)實(shí)際問題，然后經(jīng)過數(shù)學(xué)的處理計(jì)算解決問題利用模型思想解決問題的關(guān)鍵：1抓住關(guān)鍵的字、詞、句，把生活中的語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，結(jié)合生活中的經(jīng)驗(yàn)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決；2充分利用各種數(shù)學(xué)思想把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后解答【名師原創(chuàng)】原創(chuàng)檢測(cè)，關(guān)注素養(yǎng)，提煉主題；【原創(chuàng)1】若關(guān)于的一元二次方程m243=0的一個(gè)根是3，以此方程的兩根為邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A5B7C5或7D9【解析】：把3代入m243=0中，得m=1，解方程243=0得另一根為

4、1，若等腰三角形的腰長(zhǎng)為1，則三邊分別是1,1,3，不能構(gòu)成三角形，若腰長(zhǎng)為3，三邊分別是1,3,3，能構(gòu)成三角形，則周長(zhǎng)為7故選B【原創(chuàng)2】如圖，將矩形ABCD（紙片）折疊，使點(diǎn)B與AD邊上的點(diǎn)K重合，EG為折痕；點(diǎn)C與AD邊上的點(diǎn)K重合，F(xiàn)H為折痕已知1=，2=75，EF=1，求BC的長(zhǎng)是【分析】由題意知3=18021=45、4=18022=30、BE=KE、KF=FC，作KMBC，設(shè)KM=，知EM=、MF=，根據(jù)EF的長(zhǎng)求得=1，再進(jìn)一步求解可得【解答】由題意，得：3=18021=45，4=18022=30，BE=KE、KF=FC，如圖，過點(diǎn)K作KMBC于點(diǎn)M，設(shè)KM=，則EM=、MF=

5、，=1，解得：=1，EK=、KF=2，BC=BEEFFC=EKEFKF=3，BC的長(zhǎng)為3【原創(chuàng)3】如圖所示，以正方形ABCD平行于邊的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，若正方形的邊長(zhǎng)為4（1）求過B、E、F三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；（2）求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（先轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，再求函數(shù)解析式）【分析】（1）根據(jù)B、E、F三點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)函數(shù)解析式為y=a2bc，即可求解；（2）把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式后即可得出答案【解答】解：（1）由題意知：點(diǎn)B（2，2），點(diǎn)E（0，2），點(diǎn)F（2，0），分別代入y=a2bc，解得：a=，b=，c=2，故函數(shù)解析式為：；（2）y=22=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）【原創(chuàng)4】為了調(diào)

6、查平昌冬奧會(huì)某項(xiàng)目參賽運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，奧組委做了一次年齡抽樣調(diào)查，根據(jù)運(yùn)動(dòng)員的年齡繪制出如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖請(qǐng)你根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：（1）請(qǐng)結(jié)合計(jì)算結(jié)果補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（2）請(qǐng)用樣本思想求這組運(yùn)動(dòng)員年齡數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)（3）請(qǐng)計(jì)算20歲運(yùn)動(dòng)員所對(duì)的圓心角的度數(shù)，若參參賽運(yùn)動(dòng)員有1920人，據(jù)此猜測(cè)20歲的運(yùn)動(dòng)員有多少名分析：（1）條形統(tǒng)計(jì)圖中19歲的人數(shù)為10人，結(jié)合扇形統(tǒng)計(jì)圖可知占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的，因此得總?cè)藬?shù)為60人，求差可以得到21歲的運(yùn)動(dòng)員有12名；結(jié)合計(jì)算結(jié)果補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖。（2）根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可（3）解：（1），所以19歲的人數(shù)占被調(diào)查總?cè)?/p>

7、數(shù)的，所以調(diào)查的總?cè)藬?shù)為10=60（人），所以21歲的運(yùn)動(dòng)員有60-4-10-16-18=12（人）；補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（2）平均數(shù)=（1841910201621122218）60=，22出現(xiàn)18次，次數(shù)最多，眾數(shù)為22；60個(gè)數(shù)據(jù)順序排列，第30，31兩數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即，所以參賽運(yùn)動(dòng)員的年齡情況的平均數(shù)為，眾數(shù)為22，中位數(shù)為。3計(jì)算可得，故20歲所對(duì)的圓心角為96樣本中20歲的運(yùn)動(dòng)員約占樣本容量的，所以在所有參賽運(yùn)動(dòng)員中20歲的運(yùn)動(dòng)員約占了人【原創(chuàng)5】如圖，已知拋物線與軸交于A（-2,0），B（4,0）兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，2），直線過C、B兩點(diǎn)，點(diǎn)，），則F（m，），當(dāng)，），則

8、F（m，），），由題知,解得，,因此可得D坐標(biāo)為，【典題精練】典例精講，運(yùn)籌帷幄，舉一反三；【例題1】分類討論思想2022臨沂中考將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0360，得到矩形AEFG1如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，求證：FDCD；2當(dāng)為何值時(shí)，GCGB畫出圖形，并說明理由【分析】1先判定四邊形BDFA是平行四邊形，可得FDAB，再根據(jù)ABCD，即可得出FDCD；2當(dāng)GCGB時(shí)，點(diǎn)G在BC的垂直平分線上，分情況討論，即可得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)【解答】1如圖1，連接AF由四邊形ABCD是矩形，結(jié)合旋轉(zhuǎn)可得BDAF，EAFABDABAE，ABDAEB，EAFAEB，BDAF，四邊形BDFA是平行四邊形，F(xiàn)D

9、ABABCD，F(xiàn)DCD2如圖2，當(dāng)點(diǎn)G位于BC的垂直平分線上，且在BC的右邊時(shí)，連接DG，CG，BG，易知點(diǎn)G也是AD的垂直平分線上的點(diǎn)，DGAG又AGAD，ADG是等邊三角形，DAG60，60如圖3，當(dāng)點(diǎn)G位于BC的垂直平分線上，且在BC的左邊時(shí)，連接CG，BG，DG，同理，ADG是等邊三角形，DAG60，此時(shí)300綜上所述，當(dāng)為60或300時(shí)，GCGB【歸納】在數(shù)學(xué)中，如果一個(gè)命題的條件或結(jié)論有多種可能的情況，難以統(tǒng)一解答，那么就需要按可能出現(xiàn)的各種情況分類討論，最后綜合歸納問題的正確答案【例題2】數(shù)形結(jié)合思想如圖，在在四邊形ABCD中，ADBC，B=90，且AD=12cm，AB=8cm，

10、DC=10cm，若動(dòng)點(diǎn)的速度沿線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)以每秒3cm的速度沿CB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)；（2）當(dāng)t=秒時(shí)，四邊形，AD=BE=12cm，在RtCDE中，CED=90，DC=10cm，DE=8cm，EC=6cm，BC=BEEC=18cm故答案為18；（2）ADBC，B=90當(dāng)20 cm100 cm30 cm請(qǐng)判斷此時(shí)是否符合科學(xué)要求的100參考數(shù)據(jù)：sin69eqf14,15，cos21eqf14,15，tan20eqf4,11，tan43eqf14,15，所有結(jié)果精確到個(gè)位【分析】1在RtABC中利用三角函數(shù)即可直接求解；2延長(zhǎng)FE交DG于點(diǎn)I，利用三角函數(shù)求得DEI即可求得

11、的度數(shù)，從而作出判斷【解答】1RtABC中，tanAeqfBC,AB，ABeqfBC,tanAeqfBC,tan20eqf20,f4,1155cm2如圖，延長(zhǎng)FE交DG于點(diǎn)I，則四邊形GHFI為矩形，IGFH，DIDGFH1007228cm在RtDEI中，sinDEIeqfDI,DEeqf28,30eqf14,15，DEI69此時(shí)不符合科學(xué)要求的100【歸納】把一種數(shù)學(xué)問題合理地轉(zhuǎn)化成另一種數(shù)學(xué)問題可以有效地解決問題在解三角形中，將非直角三角形問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問。【例題4】方程思想2022婁底中考如圖，C，D是以AB為直徑的O上的點(diǎn)，eqoAC,su4ac4ac

12、，甲，乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行已知甲車速度為120m/h，乙車速度為80m/h，過th后兩車相距50m，則t的值是【解析】分相遇前和相遇后兩種情況討論當(dāng)甲，乙兩車未相遇時(shí)，根據(jù)題意，得120t80t45050，解得t2；當(dāng)兩車相遇后，兩車又相距50m時(shí)，根據(jù)題意，得120t80t45050，解得t7（2022山東濱州5分）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE=，EAF=45，則AF的長(zhǎng)為【分析】取AB的中點(diǎn)M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設(shè)DF=DN=，則NF=，再利用矩形的性質(zhì)和已知條件證明AMEFNA，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)

13、應(yīng)邊的比值相等可求出的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長(zhǎng)【解答】解：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設(shè)DF=DN=，四邊形ABCD是矩形，D=BAD=B=90，AD=BC=4，NF=，AN=4，AB=2，AM=BM=1，AE=，AB=2，BE=1，ME=，EAF=45，MAENAF=45，MAEAEM=45，MEA=NAF，AMEFNA，解得：=，AF=故答案為：8如果等腰三角形中的一個(gè)角是另一個(gè)角度數(shù)的一半，則該等腰三角形各內(nèi)角的度數(shù)是【解析】設(shè)A，B，C是該等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角，且Aeqf1,2B設(shè)A，則B2若B是頂角，則A，C是底角，于是有CAABC1

14、80，245，故AC45，B90若B是底角，因?yàn)锳B，所以A是頂角，CB2ABC180，2236，故A36，BC72綜上所述，等腰三角形的各內(nèi)角為45、45、90或36、72、729如圖所示，在ABC中，B=90，AB=6厘米，BC=3厘米，點(diǎn)6cm3cm，8m，現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形，擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng)【解答】解：在RtABC中，ACB=90，AC=8，BC=6，由勾股定理有：AB=10，應(yīng)分以下三種情況：如圖1，當(dāng)AB=AD=10時(shí)，ACBD，CD=CB=6m，ABD的周長(zhǎng)=101026=32m如圖2，當(dāng)AB=BD=10時(shí)，BC=6m，

15、CD=106=4m，AD=4m，ABD的周長(zhǎng)=10104=（204）m如圖3，當(dāng)AB為底時(shí)，設(shè)AD=BD=，則CD=6，由勾股定理得：AD=解得，=，ABD的周長(zhǎng)為：ADBDAB=m故答案為：32m或（204）m或m三、解答題：11已知ABC中，AB=20，AC=15，BC邊上的高為12，求ABC的面積【解答】解：作ADBC于D，則AD為BC邊上的高，AD=12分兩種情況：高AD在三角形內(nèi)，如圖所示：在RtADC中，由勾股定理得：AC2=AD2DC2，DC=9，在RtADB中，由勾股定理得：AB2=AD2BD2，BD=16，BC=BDDC=169=25，SABC=2512=150；高AD在三角

16、形外，如圖所示：在RtADC中，由勾股定理得：AC2=AD2DC2DC=9，在RtADB中，由勾股定理得：AB2=AD2BD2，BD=16，BC=BDDC=169=7，SABC=712=42故答案為：150或42122022齊齊哈爾中考某班級(jí)同學(xué)從學(xué)校出發(fā)去扎龍自然保護(hù)區(qū)研學(xué)旅行，一部分乘坐大客車先出發(fā)，余下的幾人20min后乘坐小轎車沿同一路線出行，大客車中途停車等候，小轎車趕上來之后，大客車以出發(fā)時(shí)速度的eqf10,7繼續(xù)行駛，小轎車保持原速度不變小轎車司機(jī)因路線不熟錯(cuò)過了景點(diǎn)入口，在駛過景點(diǎn)入口6 km時(shí)，原路提速返回，恰好與大客車同時(shí)到達(dá)景點(diǎn)入口兩車距學(xué)校的路程sm和行駛時(shí)間tmin之

17、間的函數(shù)關(guān)系如圖所示請(qǐng)結(jié)合圖象解決下面問題：1學(xué)校到景點(diǎn)的路程為m，大客車途中停留了min，a；2在小轎車司機(jī)駛過景點(diǎn)入口時(shí)，大客車離景點(diǎn)入口還有多遠(yuǎn)3小轎車司機(jī)到達(dá)景點(diǎn)入口時(shí)發(fā)現(xiàn)本路段限速80 km/h，請(qǐng)你幫助小轎車司機(jī)計(jì)算折返時(shí)是否超速4若大客車一直以出發(fā)時(shí)的速度行駛，中途不再停車，那么小轎車折返后到達(dá)景點(diǎn)入口，需等待分鐘，大客車才能到達(dá)景點(diǎn)入口【分析】1根據(jù)圖形可得總路程和大客車途中停留的時(shí)間，先計(jì)算小轎車的速度，再根據(jù)時(shí)間計(jì)算a的值；2計(jì)算大客車的速度，可得大客車后來行駛的速度，計(jì)算小轎車趕上來之后大客車行駛的路程，從而可得結(jié)論；3先計(jì)算直線CD的表達(dá)式，計(jì)算小轎車駛過景點(diǎn)入口6 k

18、m時(shí)的時(shí)間，再計(jì)算大客車到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間，根據(jù)路程與時(shí)間的關(guān)系可得小轎車行駛6 km的速度與80 km/h作比較可得結(jié)論4利用路程速度時(shí)間計(jì)算出大客車所用時(shí)間，計(jì)算與小轎車的時(shí)間差即可【解答】1由圖形可得學(xué)校到景點(diǎn)的路程為40 km，大客車途中停留了5min，小轎車的速度為eqf40,60201m/min，a3520115故答案為40，5，152由1得a15，大客車的速度為eqf15,30eqf1,2m/min小轎車趕上來之后，大客車又行駛了6035eqf10,7eqf1,2eqf125,7m，40eqf125,715eqf50,7m答：在小轎車司機(jī)駛過景點(diǎn)入口時(shí)，大客車離景點(diǎn)入口還有eqf50

19、,7m3設(shè)直線CD的表達(dá)式為stb，將20，0和60，40代入得eqblcavs4alco120b0，,60b40，解得eqblcavs4alco11，,b20，直線CD的表達(dá)式為st20當(dāng)s46時(shí)，46t20，解得t66小轎車趕上來之后，大客車又行駛的時(shí)間為eqf4015,f1,2f10,735min，小轎車司機(jī)折返時(shí)的速度為6353566eqf3,2m/min90 km/h80 km/h答：小轎車折返時(shí)已經(jīng)超速4大客車的時(shí)間：eqf40,f1,280min，807010min故答案為1013如圖，一次函數(shù)y=b與反比例函數(shù)y=（0）的圖象交于A（m，6），B（3，n）兩點(diǎn)（1）直接寫出m=

20、，n=；（2）根據(jù)圖象直接寫出使b成立的的取值范圍；（3）在軸上找一點(diǎn)，6），B（3，n）分別代入y=（0）得：m=1，n=2，故答案為：1、2；（2）由函數(shù)圖象可知，使b成立的的取值范圍是01或3，故答案為：01或3；（3）由（1）知A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），則點(diǎn)A關(guān)于的軸對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)（1，6），設(shè)直線BC的解析式為y=b，將點(diǎn)B、C坐標(biāo)代入，得：，解得：，則直線BC的解析式為y=410，當(dāng)y=0時(shí)，由410=0得：=，點(diǎn)，則設(shè)BD=，故DC=AD=DC，200=，解得：=100（1）73，答：小明還需沿綠道繼續(xù)直走73米才能到達(dá)橋頭D處152022桂林中考如圖，已知拋物線ya2b6a0與軸交于點(diǎn)A3，0和點(diǎn)B1，0，與y軸交于點(diǎn)C1求拋物線y的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；2點(diǎn)M為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若MAMBMC，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；3在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使4tanABE11tanACB若存在，求出滿足條件的所有點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：1將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得eqblcavs4alco19a3b60，,ab60，解得eqblcavs4alco1a2，,b4，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y22