哥尼斯堡七橋猜想

1、PAGE4世界數(shù)學(xué)難題哥尼斯堡七橋猜想請一筆畫出如圖1的圖形來。規(guī)則：筆不離開紙面，每根線都只能畫一次。這就是古老的民間游戲一筆畫。你能畫出來嗎如果你畫出來了，那么請你再看圖2能不能一筆畫出來雖然你動了腦筋，但我相信你肯定不能一筆畫出來！為什么我的語氣這么肯定我們來分析一下圖2。我們把圖2看成是由點和線組成的一種集合。圖里直線的交點叫做頂點，連結(jié)頂點的線叫做邊。這個圖是聯(lián)通的，即任何二個頂點之間都有邊。很顯然，圖中的頂點有兩類：一類是有偶數(shù)條邊聯(lián)它的，另一類是有奇數(shù)條邊聯(lián)它的。一個頂點如果有偶數(shù)條邊聯(lián)它的，這點就稱為偶點；如果有奇數(shù)條邊聯(lián)它的，就稱它為奇點。我們知道，能一筆畫的圖形只有兩類：一

2、類是所有的點都是偶點。另一類是只有二個奇點的圖形。圖2有六個奇點，四個偶點，當(dāng)然不能一筆畫出來了。為什么能一筆畫的圖形只有上述兩類呢有關(guān)這個問題的討論，要追溯到二百年前的一個著名問題：哥尼斯堡七橋問題。十八世紀(jì)東普魯士哥尼斯堡城（今俄羅斯加里寧格勒）的普萊格爾河，它有兩個支流，在城市中心匯成大河，中間是島區(qū)，河上有7座橋，將河中的兩個島和河岸連結(jié)，如圖3所示。由于島上有古老的哥尼斯堡大學(xué)，有教堂，還有哲學(xué)家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大學(xué)生們經(jīng)常沿河過橋散步。漸漸地，愛動腦筋的人們提出了一個問題：一個散步者能否一次走遍7座橋，而且每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點。這就是七橋問

3、題，一個著名的圖論問題。圖3這個問題看起來似乎很簡單，然而許多人作過嘗試始終沒有能找到答案。因此，一群大學(xué)生就寫信給當(dāng)時年僅20歲的大數(shù)學(xué)家歐拉。歐拉從千百人次的失敗，以深邃的洞察力猜想，也許根本不可能不重復(fù)地一次走遍這七座橋，并很快證明了這樣的猜想是正確的。歐拉是這樣解決問題的：既然陸地是橋梁的連接地點，不妨把圖中被河隔開的陸地看成4個點，7座橋表示成7條連接這4個點的線，如圖4所示。圖4圖5于是“七橋問題”就等價于圖5中所畫圖形的一筆畫問題了。歐拉注意到，如果一個圖能一筆畫成，那么一定有一個起點開始畫，也有一個終點。圖上其它的點是“過路點”畫的時候要經(jīng)過它?，F(xiàn)在看“過路點”具有什么性質(zhì)。它

4、應(yīng)該是“有進(jìn)有出”的點，有一條邊進(jìn)這點，那么就要有一條邊出這點，不可能是有進(jìn)無出，如果有進(jìn)無出，它就是終點，也不可能有出無進(jìn)，如果有出無進(jìn)，它就是起點。因此，在“過路點”進(jìn)出的邊總數(shù)應(yīng)該是偶數(shù)，即“過路點”是偶點。如果起點和終點是同一點，那么它也是屬于“有進(jìn)有出”的點，因此必須是偶點，這樣圖上全體點都是偶點。如果起點和終點不是同一點，那么它們必須是奇點，因此這個圖最多只能有二個奇點?，F(xiàn)在對照七橋問題的圖，所有的頂點都是奇點，共有四個，所以這個圖肯定不能一筆畫成。歐拉對“七橋問題”的研究是圖論研究的開始，同時也為拓?fù)鋵W(xué)的研究提供了一個初等的例子。事實上，中國民間很早就流傳著這種一筆畫的游戲，從長期實踐的經(jīng)驗，人們知道如果圖的點全部是偶點，可以任意選擇一個點做起點，一筆畫成。如果是有二個奇點的圖形，那么就選一個奇點做起點以順利的一筆畫完?？上У氖牵艜r候沒有人對它重視，沒有數(shù)學(xué)家對它進(jìn)行經(jīng)驗總結(jié)，以及加以研究。今天學(xué)習(xí)歐拉的成果不應(yīng)是單純把它作為數(shù)學(xué)游戲，重要的是應(yīng)該知道他怎樣把一個實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題