質(zhì)點的角動量和角動量定理課件

1、13-6 質(zhì)點的角動量和角動量定理 大小 M= F d = F r sin 力矩單位 牛頓米(Nm) 量綱 方向 右手定則yxzO d一、力矩的一般意義 右手定則 四指由矢徑 通過小于180 的角度轉(zhuǎn)向力 的方向，姆指指向就是力矩的方向。2代入力矩定義中, 得 可見,合力對某參考點O 的力矩等于各分力對同一點力矩的矢量和。 如果作用于質(zhì)點上的力是多個力的合力, 即 3二、力對軸的力矩 質(zhì)點P 的位置矢量 和作用力 可表示為 ，則 在以參考點O為原點的直角坐標(biāo)系中, 表示為 4分量式 力矩沿某坐標(biāo)軸的分量通常稱作力對該軸的力矩。 下面計算力對z軸的力矩 由圖可見代入 Mz式中可得 RoQzyx）

2、5）xyzo）式中R、f 為 在xy平面上的投影。 如果知道力矩矢量的大小和它與 z 軸之間的夾角 , 那么力對z軸的力矩也可按下式求得RoQzyx）lzlz力對z軸的力矩6二、角動量 (angular momentum)Om1v1Om1v1 實驗表明：在這種情況的碰撞，物體m2所傳遞的“運(yùn)動的量”，不但與m2v2有關(guān)，而且還與定點O倒m2v2的距離有關(guān)Om1V1m2m2m27xyzO）p大小 lrmvsin方向 右手螺旋定則判定 mo作圓周運(yùn)動的質(zhì)點的角動量l=m r voOm1v1m2v2角動量：8注意事項： (1) 因為質(zhì)點的位置矢量r與參考點O的選取有關(guān)，所以質(zhì)點相對于參考點的角動量也

3、與參考點的選取有關(guān)(2) 在直角坐標(biāo)系中質(zhì)點角動量可以表示為 如果質(zhì)點是在一個平面上運(yùn)動，可以將此平面取為xy平面，則：9 質(zhì)點的角動量只具有z分量，或者說質(zhì)點的角動量的方向垂直與該平面 假如質(zhì)點是在xy平面上運(yùn)動的，在某時刻到達(dá)點P, . 10 （3）質(zhì)點對通過參考點O 的任意軸線Oz 的角動量lz , 是質(zhì)點相對于同一參考點的角動量l 沿該軸線的分量。 xyzpo）lz(4) 對于質(zhì)點在xy平面上運(yùn)動的情況 對于l= lz來說，參考點必須取在z軸與xy平面的交點上 11 例1：一質(zhì)量為m的質(zhì)點沿著一條空間曲線運(yùn)動，該曲線在直角坐標(biāo)下的矢徑為： ，其中a、b、皆為常數(shù)，求該質(zhì)點對原點的角動量

4、。解：已知 角動量12二、角動量定理 (theorem of angular momentum) 角動量，兩邊求導(dǎo)其中令為合外力對同一固定點的力矩。13角動量定理的微分形式 作用于質(zhì)點的合力對某參考點的力矩，等于質(zhì)點對同一參考點的角動量隨時間的變化率 14積分得： 質(zhì)點所受的沖量矩等于質(zhì)點角動量的增量積分形式(1) 這個定理是從牛頓第二定律導(dǎo)出的，所以它也應(yīng)該與牛頓運(yùn)動定律一樣只適用于慣性系。 (2) 定理中涉及的兩個量力矩M和角動量l，都是對參考點的量，并且是對于同一個參考點的。 (3) 角動量定理的上述矢量方程式在直角坐標(biāo)系中的分量式，可以表示為注意事項：15若作用于質(zhì)點的合力對參考點的力

5、矩 ,由， 得 恒矢量即 若作用于質(zhì)點的合力對參考點的力矩始終為零, 則質(zhì)點對同一參考點的角動量將保持恒定。 三、質(zhì)點角動量守恒定律 16討論：(1) r = 0, 表示質(zhì)點處于參考點上靜止不動。 (2) F = 0，表示所討論的質(zhì)點是孤立質(zhì)點 設(shè)質(zhì)點沿直線L作勻速運(yùn)動, 在不同時刻先后到達(dá)點A、B和C, 相對于參考點O的位置矢量分別為r1 、r2和r3 , 對于孤立的質(zhì)點不僅動量守恒，而且角動量也守恒17（3）F與r總是平行或反平行, 有心力是符合這個條件的力 有心力：就是其方向始終指向(或背離)固定中心的力, 此固定中心稱為力心。 有心力存在的空間稱為有心力場（ 萬有引力場和靜電場都屬于有

6、心力場）有心力是保守力, 行星運(yùn)動的機(jī)械能也是守恒的18 如果作用于質(zhì)點的合力矩不為零, 而合力矩沿Oz軸的分量為零,則 恒量 ( 當(dāng)Mz = 0時 ) 當(dāng)質(zhì)點所受對Oz軸的力矩為零時,質(zhì)點對該軸的角動量保持不變。此結(jié)論稱為質(zhì)點對軸的角動量守恒定律。 例2：行星運(yùn)動的開普勒第二定律認(rèn)為, 對于任一行星, 由太陽到行星的徑矢在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。試用角動量守恒定律證明之。 19開普勒第二定律應(yīng)用質(zhì)點的角動量守恒定律可以證明開普勒第二定律行星與太陽的連線在相同時間內(nèi)掃過相等的面積例題220解:將行星看為質(zhì)點,在dt 時間內(nèi)以速度 完成的位移為 ,矢徑 在d t 時間內(nèi)掃過的面積為dS（圖中

7、陰影）。 根據(jù)質(zhì)點角動量的定義 則om21矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積（稱為掠面速度） 萬有引力屬于有心力, 行星相對于太陽所在處的點O的角動量是守恒的, 即 = 恒矢量,故有 恒量 行星對太陽所在點O 的角動量守恒,不僅角動量的大小不隨時間變化, 即掠面速度恒定, 而且角動量的方向也是不隨時間變化的, 即行星的軌道平面在空間的取向是恒定的。22 例3：質(zhì)量為m的小球系于細(xì)繩的一端 ,繩的另一端縛在一根豎直放置的細(xì)棒上, 小球被約束在水平面內(nèi)繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn), 某時刻角速度為1，細(xì)繩的長度為r1。當(dāng)旋轉(zhuǎn)了若干圈后, 由于細(xì)繩纏繞在細(xì)棒上, 繩長變?yōu)閞2, 求此時小球繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn)的角速度2 。解：小球受力 繩子的張力 ,指向細(xì)棒；重力 ，豎直向下；支撐力 ,豎直向上。 與繩子平行, 不產(chǎn)生力矩； 與平衡，力矩始終為零。所以, 作用于小球的力對細(xì)棒的力矩始終等于零, 故小球?qū)?xì)棒的角動量必定是守恒的。 23根據(jù)質(zhì)點對軸的角動量守恒定律 式中v1是半徑為r1時小球的線速度, v2是半徑為r2時小球的線速度。 代入上式得解得 可見, 由于細(xì)繩越轉(zhuǎn)越短, , 小球的角速度必定越轉(zhuǎn)越大, 即 。而第3章動量與角動量24當(dāng)飛船