(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪考點復(fù)習(xí)7.2《空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系》教案 (含詳解)

PAGEPAGE17第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，提升空間想象能力，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．2．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理，培養(yǎng)閱讀理解能力，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．3．能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．公理1～3文字語言圖形語言符號語言公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A∈l,B∈l,A∈α,B∈α))?l?α公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?有且只有一個平面α，使A∈α，B∈α，C∈α公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l[提醒]公理1是判斷一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù)，公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù)，公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù)．2．公理2的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面．3．空間中兩條直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系分類：位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；,平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.))(2)平行公理(公理4)和等角定理：①平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．②等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．4．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).5．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．[澄清盲點誤點]一、關(guān)鍵點練明1．(直線與直線的位置關(guān)系)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線解析：選C假設(shè)c∥b，又因為c∥a，所以a∥b，這與a，b是異面直線矛盾，故c與b不可能平行．2．(確定平面的依據(jù))下列命題正確的是()A．經(jīng)過三點確定一個平面B．經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面C．四邊形確定一個平面D．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面解析：選DA選項考查公理2，即三點必須不在同一條直線上，才能確定一個平面；B選項如果點在直線上，則該直線和這個點不能確定一個平面；C選項中的四邊形有可能是空間四邊形，只有D是正確的．3．(異面直線所成角)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EFA．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角，又B1D1＝B1C＝∴∠D1B1C4．(平面的基本性質(zhì)及推論)已知空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點的四邊形一定是()A．梯形 B．矩形C．菱形 D．正方形解析：選B如圖所示，易證四邊形EFGH為平行四邊形，因為E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC，又FG∥BD，所以∠EFG或其補(bǔ)角為AC與BD所成的角，而AC與BD所成的角為90°，所以∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形．二、易錯點練清1．(誤解異面直線的概念)下列關(guān)于異面直線的說法正確的是()A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C．若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面D．若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面解析：選DA、B、C中的兩條直線還有可能平行或相交，由異面直線的定義可知D說法正確．2．(忽視直線在平面內(nèi))若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是()A．b?α B．b∥αC．b?α或b∥α D．b與α相交或b?α或b∥α解析：選D將直線與平面放在正方體中，易知b與α相交或b?α或b∥α都可以．3．(忽視異面直線所成角的范圍)如圖所示，已知在長方體ABCD-EFGH中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2eq\r(3)，AE＝2，則BC和EG所成角的大小是________；AE和BG所成角的大小是________．解析：∵BC與EG所成的角等于EG與FG所成的角，即∠EGF，tan∠EGF＝eq\f(EF,FG)＝1，∴∠EGF＝45°.∵AE與BG所成的角等于BF與BG所成的角，即∠GBF，tan∠GBF＝eq\f(GF,BF)＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，∴∠GBF＝60°.答案：45°60°考點一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用[典例]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA[證明](1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B，因為E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，所以EF∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B.又因為A1D1綊BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF與CD1確定一個平面α.所以E，F(xiàn)，C，D1∈α，即E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(2)由(1)知EF∥CD1且EF＝eq\f(1,2)CD1，所以四邊形CD1FE是梯形，所以CE與D1F必相交，設(shè)交點為P則P∈CE?平面ABCD，且P∈D1F?平面A1ADD1所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又因為平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA[方法技巧]1．證明點或線共面問題的2種方法(1)首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．2．證明點共線問題的2種方法(1)先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；(2)直接證明這些點都在同一條特定直線(如某兩個平面的交線)上．3．證明線共點問題的常用方法先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．[針對訓(xùn)練]1.如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點MA．A，M，O三點共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：選A連接A1C1，AC，則A1C1∥∴A1，C1，A，C四點共面，∴A1C?平面ACC1A∵M(jìn)∈A1C，∴M∈平面ACC1A又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1∴A，M，O三點共線．2.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．證明：(1)∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，∴EF∥BD.∵在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三點共線．考點二空間兩條直線的位置關(guān)系[典例](1)(多選)下列結(jié)論正確的是()A．在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行B．平行于同一條直線的兩條直線平行C．一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交D．空間中四條直線a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c(2)已知α是一個平面，m，n是兩條不同的直線，A是一個點，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系不可能是()A．垂直 B．相交C．異面 D．平行[解析](1)若兩條直線不相交，則它們可能平行，也可能異面，A錯誤；由公理4可知B正確；若一條直線和兩條平行直線中的一條相交，則它和另一條直線可能相交，也可能異面，C錯誤；由平行直線的傳遞性可知D正確．故選B、D.(2)∵α是一個平面，m，n是兩條不同的直線，A是一個點，m?α，n?α，且A∈m，A∈α，∴A在平面α內(nèi)，m與平面α相交．∵A∈m，A∈α，∴A是m和平面α的交點，∴m和n異面或相交(特殊情況可垂直)，但一定不平行．[答案](1)BD(2)D[方法技巧]空間兩直線位置關(guān)系的判定方法[針對訓(xùn)練]1．(多選)(2021年1月新高考八省聯(lián)考卷)如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中()A．AE∥CDB．CH∥BEC．DG⊥BHD．BG⊥DE解析：選BCD還原正方體直觀圖如圖，可知AE與CD為異面直線，故選項A不正確；由EH綊BC，可得CH∥BE，故選項B正確；正方體中易得DG⊥平面BCH，所以有DG⊥BH，故選項C正確；因為BG∥AH且DE⊥AH，所以BG⊥DE，故選項D正確．2．(多選)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，則在這個正四面體中()A．GH與EF平行B．BD與MN為異面直線C．GH與MN成60°角D．DE與MN垂直解析：選BCD還原成正四面體A-DEF如圖所示，其中H與N重合，A，B，C三點重合，易知GH與EF異面，BD與MN異面．連接GM，∵△GMH為等邊三角形，∴GH與MN成60°角．由圖易得DE⊥AF，又MN∥AF，∴MN⊥DE，因此正確的選項是B、C、D.考點三異面直線所成的角[典例](1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AA1＝2AB，D是AA1的中點，則BD與A1CA.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(2\r(2),3)(2)(2021·岳陽聯(lián)考)在四面體ABCD中，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥BC，BD＝AD＝1，BC＝2，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(10),5) B.eq\f(3\r(10),10)C.eq\f(\r(15),5) D.eq\f(\r(10),10)[解析](1)如圖，取CC1的中點M，連接DM，BM.由于D為AA1的中點，所以DM∥A1C1，所以∠BDM或其補(bǔ)角為異面直線BD與A1C1所成的角．設(shè)AA1＝2AB＝2，則AD＝AB＝1.因為三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱，所以BD＝eq\r(2)，DM＝1，BM＝eq\r(2).在△BDM中，cos∠BDM＝eq\f(BD2＋DM2－BM2,2BD·DM)＝eq\f(\r(2)2＋12－\r(2)2,2×\r(2)×1)＝eq\f(\r(2),4)，故選B.(2)如圖，在平面BCD內(nèi)，過點D作BC的平行線與過點B所作CD的平行線相交于E，連接AE，則四邊形BCDE為平行四邊形，所以DE＝BC＝2，且∠ABE或其補(bǔ)角為異面直線AB與CD所成的角．因為AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，所以AD⊥平面BCD，則AD⊥DE，所以AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝eq\r(5)，易知AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\r(2).因為BD⊥BC，所以DC＝eq\r(BD2＋BC2)＝eq\r(5)，則BE＝CD＝eq\r(5)，于是在△ABE中，由余弦定理，得cos∠ABE＝eq\f(AB2＋BE2－AE2,2AB·BE)＝eq\f(2＋5－5,2\r(2)×\r(5))＝eq\f(\r(10),10)，故選D.[答案](1)B(2)D[方法技巧]平移法求異面直線所成角的步驟平移平移的方法一般有三種類型：(1)利用圖中已有的平行線平移；(2)利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；(3)補(bǔ)形平移證明證明所作的角是異面直線所成的角或其補(bǔ)角尋找在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之取舍因為異面直線所成角θ的取值范圍是0°＜θ≤90°，所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角[針對訓(xùn)練]1．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，則異面直線A1B1與AC1A.eq\f(\r(14),14) B.eq\f(8\r(3),14)C.eq\f(\r(13),13) D.eq\f(1,3)解析：選A∵C1D1∥A1B1，∴異面直線A1B1與AC1所成的角即為C1D1與AC1所成的角，即∠AC1D1或其補(bǔ)角．連接AD1，易知AD1⊥C1D1.∵在Rt△AC1D1中，C1D1＝1，AD1＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13)，AC1＝eq\r(12＋22＋32)＝eq\r(14)，∴cos∠AC1D1＝eq\f(C1D1,AC1)＝eq\f(1,\r(14))＝eq\f(\r(14),14).2．已知A，B兩點都在以PC為直徑的球O的表面上，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4.若球O的體積為8eq\r(6)π，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為________．解析：由題意得三棱錐P-ABC，如圖所示，其中PA⊥AC，PB⊥BC，AB⊥BC.過點A作BC的平行線，過點B作AC的平行線，兩線交于點D，則異面直線PB與AC所成角為∠PBD(或其補(bǔ)角)．由PB⊥BC，AB⊥BC，PB∩AB＝B，得BC⊥平面PAB，即BC⊥PA，又PA⊥AC，BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ACBD，∴PA⊥AD.計算可得AC＝2eq\r(5)＝BD，設(shè)球O的半徑為R，則eq\f(4,3)πR3＝8eq\r(6)π，∴R＝eq\r(6)，PC＝2eq\r(6)，∴PA＝2，∴PB＝2eq\r(2)，PD＝2eq\r(5).取PB的中點E，連接DE，∵PD＝BD，∴DE⊥PB，∴cos∠PBD＝eq\f(BE,BD)＝eq\f(\r(2),2\r(5))＝eq\f(\r(10),10)，即異面直線PB與AC所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).答案：eq\f(\r(10),10)創(chuàng)新思維角度——融會貫通學(xué)妙法異面直線所成角的解法探究[典例]正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為BC1的中點，Q為A1D的中點，則異面直線DP與C1Q[思路點撥]在正方體中求異面直線所成角的余弦值，考慮到正方體的特征，可以用平移直線法求解；或建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解；或利用基向量法求解；或利用三余弦定理法求解．[解析]法一：平移直線法如圖所示，連接CB1，QB1，因為四邊形BCC1B1為正方形，P為BC1的中點，所以B1P＝eq\f(1,2)B1C.因為A1B1∥CD且A1B1＝CD，所以四邊形CDA1B1為平行四邊形，所以B1C∥A1D且B1C＝A1又Q為A1D的中點，所以B1P∥QD且B1P＝QD，所以四邊形DPB1Q為平行四邊形，所以B1Q∥DP，所以∠B1QC1或其補(bǔ)角為異面直線DP與C1Q所成的角．設(shè)正方體的棱長為2，在Rt△B1A1QB1Q＝eq\r(A1Q2＋A1B\o\al(2,1))＝eq\r(2＋4)＝eq\r(6)；同理可得C1Q＝eq\r(6).在△B1C1Q中，cos∠B1QC1＝eq\f(B1Q2＋C1Q2－B1C\o\al(2,1),2×B1Q×C1Q)＝eq\f(6＋6－4,2×\r(6)×\r(6))＝eq\f(2,3)，故異面直線DP與C1Q所成角的余弦值為eq\f(2,3).法二：坐標(biāo)法以D為坐標(biāo)原點，分別以eq\o(DA,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(DD1,\s\up7(→))的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.設(shè)正方體的棱長為2，則各點的坐標(biāo)為D(0,0,0)，P(1,2,1)，Q(1,0,1)，C1(0,2,2)，所以eq\o(DP,\s\up7(→))＝(1,2,1)，eq\o(C1Q,\s\up7(→))＝(1，－2，－1)，所以cos〈eq\o(DP,\s\up7(→))，eq\o(C1Q,\s\up7(→))〉＝eq\f(eq\o(DP,\s\up7(→))·eq\o(C1Q,\s\up7(→)),|eq\o(DP,\s\up7(→))||eq\o(C1Q,\s\up7(→))|)＝eq\f(1－4－1,\r(6)×\r(6))＝－eq\f(2,3).所以異面直線DP與C1Q所成角的余弦值為eq\f(2,3).法三：基向量法設(shè)正方體的棱長為2，eq\o(DA,\s\up7(→))＝a，eq\o(DC,\s\up7(→))＝b，eq\o(DD1,\s\up7(→))＝c，則eq\o(DP,\s\up7(→))＝b＋eq\f(1,2)(a＋c)＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c，eq\o(C1Q,\s\up7(→))＝－b＋eq\f(1,2)(a－c)＝eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)c.由直線DA，DC，DD1兩兩垂直得a·b＝b·c＝a·c＝0，所以eq\o(DP,\s\up7(→))·eq\o(C1Q,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)c))2＝eq\f(1,4)a2－b2－eq\f(1,4)c2＝eq\f(1,4)×22－22－eq\f(1,4)×22＝－4，|eq\o(DP,\s\up7(→))|＝eq\r(\f(1,4)a2＋b2＋\f(1,4)c2)＝eq\r(6)，|eq\o(C1Q,\s\up7(→))|＝eq\r(\f(1,4)a2＋b2＋\f(1,4)c2)＝eq\r(6)，所以cos〈eq\o(DP,\s\up7(→))，eq\o(C1Q,\s\up7(→))〉＝eq\f(eq\o(DP,\s\up7(→))·eq\o(C1Q,\s\up7(→)),|eq\o(DP,\s\up7(→))||eq\o(C1Q,\s\up7(→))|)＝eq\f(－4,\r(6)×\r(6))＝－eq\f(2,3).所以異面直線DP與C1Q所成角的余弦值為eq\f(2,3).法四：三余弦定理法如圖所示，連接AD1，PQ，AP，B1C，易知四邊形ABC1D1為平行四邊形，且DQ⊥平面ABC1D1，即PQ為DP在平面ABC1D1上的射影，易知AP∥C1Q，所以∠APD或其補(bǔ)角為異面直線DP與C1Q所成的角．設(shè)正方體的棱長為1，易知cos∠APQ＝eq\f(\r(6),3)，cos∠DPQ＝eq\f(\r(6),3)，由三余弦定理得cos∠APD＝cos∠APQ×cos∠DPQ＝eq\f(\r(6),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(2,3)，即異面直線DP與C1Q所成角的余弦值為eq\f(2,3).[答案]eq\f(2,3)eq\a\vs4\al([名師微點])法一可通過平行四邊形找平行線達(dá)到平移的目的，將兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角求解，這時往往將平移后的角置于一個三角形中，通過解三角形獲得角的三角函數(shù)值；法二可考慮到當(dāng)載體是正方體或長方體時，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)去求角，這種方法往往比較簡單；法三也可以利用空間向量基本定理，選取一組基向量，然后利用基向量解決其他向量的夾角問題．[方法提煉]兩條異面直線所成角的求法(1)利用平移直線法求解的實質(zhì)就是將空間兩直線所成角轉(zhuǎn)化為平面三角形的內(nèi)角去求解．(2)向量法有兩種，一是建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)求解，二是利用基向量結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)求解．(3)三余弦定理法的關(guān)鍵是找到兩條異面直線中的一條在包含另一條直線的平面內(nèi)的射影．如圖所示，OA是與平面α相交的一條斜線，OA在平面α內(nèi)的射影為AB，AC是平面α內(nèi)的一條直線，∠OAC＝θ，∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，則cosθ＝cosθ1cosθ2.eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．(多選)下列推斷中，正確的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合解析：選ABD直線不在平面內(nèi)時，直線上可能有一個點在平面內(nèi)，即直線與平面相交，所以C錯，根據(jù)點、線、面的關(guān)系可知其余都對，故選A、B、D.2．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面解析：選D依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面，選D.3．下列命題中，錯誤命題的個數(shù)為()①直線a與平面α不平行，則直線a與平面α內(nèi)的所有直線都不平行；②直線a與平面α不垂直，則直線a與平面α內(nèi)的所有直線都不垂直；③異面直線a，b不垂直，則過直線a的任何平面與直線b都不垂直；④若直線a和b共面，直線b和c共面，則直線a和c共面．A．1 B．2C．3 D．4解析：選C對于①，若直線a在平面α內(nèi)，這時直線a和平面α不平行，但是平面內(nèi)存在直線和a是平行的，故①錯誤；對于②，若直線a在平面α內(nèi)，這時直線a和平面α不垂直，但是平面內(nèi)存在直線和直線a是垂直的，故②錯誤；對于③，根據(jù)線面垂直的定義可知，③是正確的；對于④，直線a，c有可能是異面直線，故④錯誤．綜上所述，有3個命題是錯誤命題，故選C.4．如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線()A．12對 B．24對C．36對 D．48對解析：選B如圖所示，與AB異面的直線有B1C1，CC1，A1D1，DD1四條，因為各棱具有相同的位置且正方體共有12條棱，排除兩棱的重復(fù)計算，共有異面直線eq\f(12×4,2)＝24(對)．5．已知A，B，C，D是空間四點，命題甲：A，B，C，D四點不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A若A，B，C，D四點不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，當(dāng)直線AC和BD平行時，A，B，C，D四點共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件．6.(2021·臨沂模擬)如圖，四邊形ABCD和四邊形ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為________．解析：如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCD-QGHP，連接GP，則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)二、綜合練——練思維敏銳度1．(2021·威海一中月考)設(shè)α，β為不重合的兩個平面，m，n為不重合的兩條直線，則下列命題正確的是()A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥αB．若m?α，n?β，m∥n，則α∥βC．若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥βD．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，則m⊥α解析：選D對于A，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m與α有可能相交，也有可能m?α，故A錯誤；對于B，若m?α，n?β，m∥n，則α與β有可能相交，也有可能平行，故B錯誤；對于C，若m∥α，n∥β，m⊥n，則α與β有可能平行，也有可能相交，故C錯誤；對于D，由于m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又知n⊥α，所以m⊥α，故D正確．故選D.2．若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列說法中正確的是()A．α∥β，m?α，n?β?m∥nB．α⊥γ，β⊥γ?α∥βC．α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥βD．α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n?α∥γ解析：選C對于A，由α∥β，m?α，n?β，可知m，n無公共點，則m與n平行或異面，故A錯誤；對于B，由α⊥γ，β⊥γ，可知α與β可能平行，也可能相交，故B錯誤；對于C，由于m∥n，m⊥α，所以n⊥α，又知α∥β，所以n⊥β，故C正確；對于D，如圖所示，α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n，但α與γ相交，故D錯誤．故選C.3.如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：選D連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1(或其補(bǔ)角)即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，則A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).4．若平面α，β的公共點多于兩個，則①α，β平行；②α，β至少有三個公共點；③α，β至少有一條公共直線；④α，β至多有一條公共直線．以上四個判斷中不成立的個數(shù)為()A．0B．1C解析：選C由條件知，當(dāng)平面α，β的公共點多于兩個時，若所有公共點共線，則α，β相交；若公共點不共線，則α，β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立．5．(2021·沈陽模擬)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是A．CC1與B1E是異面直線B．AC⊥平面ABB1AC．AE，B1C1為異面直線且AE⊥B1D．A1C1∥平面AB1解析：選CCC1與B1E在同一個側(cè)面中，故不是異面直線，所以A錯誤；由題意知，上底面是一個正三角形，故AC不可能垂直于平面ABB1A1，所以B錯誤；因為AE，B1C1為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線，且因為△ABC為正三角形，點E為BC中點，所以AE⊥BC，又因為BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1，所以C正確；因為A1C1所在的平面A1B1C1與平面AB1E相交，且A1C1與交線有公共點，故A16．(多選)(2021·日照模擬)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點，則()A．A，M，N，B四點共面B．平面ADM⊥平面CDD1CC．直線BN與B1MD．BN∥平面ADM解析：選BC如圖所示，對于A，直線AM，BN是異面直線，故A，M，N，B四點不共面，故A錯誤；對于B，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正確；對于C，取CD的中點O，連接BO，ON，可知三角形BON為等邊三角形，故C正確；對于D，因為BN∥平面AA1D1D，顯然BN與平面7.如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________．解析：如圖，取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD，∵C是圓柱下底面弧AB的中點，∴AD∥BC，∴直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角．∵C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，∴C1D⊥圓柱下底面，∴C1D⊥AD.∵圓柱的軸截面ABB1A1∴C1D＝AB＝eq\r(2)AD，∴直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2)，∴異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).答案：eq\r(2)8.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________(填序號)．解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯誤．答案：③④9．(2021·洛陽模擬)如圖，在三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別為AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成角的余弦值是________．解析：如圖所示，連接DN，取線段DN的中點K，連接MK，CK.∵M(jìn)為AD的中點，∴MK∥AN，∴∠KMC(或其補(bǔ)角)為異面直線AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點，由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2eq\r(2