2020年山東省聊城市中考數(shù)學試卷（解析版）

第21頁（共21頁）2020年山東省聊城市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共12個小題，每小題3分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1．（3分）在實數(shù)﹣1，﹣，0，中，最小的實數(shù)是（）A．﹣1 B． C．0 D．﹣【分析】直接利用實數(shù)比較大小的方法得出答案．【解答】解：∵|﹣|＞|﹣1|，∴﹣1＞﹣，∴實數(shù)﹣1，﹣，0，中，﹣＜﹣1＜0＜．故4個實數(shù)中最小的實數(shù)是：﹣．故選：D．【點評】此題主要考查了實數(shù)比較大小，正確掌握實數(shù)大小比較方法是解題關鍵．2．（3分）如圖所示的幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在俯視圖中．【解答】解：從上面看，是一個矩形，矩形的靠右邊有一條縱向的實線，故選：C．【點評】本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．3．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，點D是BC邊上任意一點，過點D作DF∥AB交AC于點E，則∠FEC的度數(shù)是（）A．120° B．130° C．145° D．150°【分析】由等腰三角形的性質得出∠B＝∠C＝65°，由平行線的性質得出∠CDE＝∠B＝65°，再由三角形的外角性質即可得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝65°，∴∠B＝∠C＝65°，∵DF∥AB，∴∠CDE＝∠B＝65°，∴∠FEC＝∠CDE+∠C＝65°+65°＝130°；故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質、平行線的性質以及三角形的外角性質；熟練掌握等腰三角形的性質和平行線的性質是解題的關鍵．4．（3分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．a(chǎn)6÷a﹣2＝a﹣3 C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 D．（2a+b）2＝4a2+b2【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法法則，積的乘方法則以及完全平方公式逐一計算判斷即可．【解答】解：A、a2?a3＝a5，原計算錯誤，故此選項不合題意；B、a6÷a﹣2＝a8，原計算錯誤，故此選項不合題意；C、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，原計算正確，故此選項合題意；D、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，原計算錯誤，故此選項不合題意．故選：C．【點評】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法和除法，冪的乘方與積的乘方的法則以及完全平方公式，熟記運算法則和公式是解答本題的關鍵．5．（3分）為了增強學生預防新冠肺炎的安全意識，某校開展疫情防控知識競賽．來自不同年級的30名參賽同學的得分情況如下表所示，這些成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）成績/分84889296100人數(shù)/人249105A．92分，96分 B．94分，96分 C．96分，96分 D．96分，100分【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進行解答即可．【解答】解：把這些數(shù)據(jù)從小到大排列，最中間的兩個數(shù)是第15、16個數(shù)的平均數(shù)，所以全班30名同學的成績的中位數(shù)是：＝94；96出現(xiàn)了10次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是96，所以這些成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是94分，96分．故選：B．【點評】此題考查了中位數(shù)和眾數(shù)眾數(shù)．解題的關鍵是掌握求中位數(shù)和眾數(shù)的方法，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會出錯；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．6．（3分）計算÷3×的結果正確的是（）A．1 B． C．5 D．9【分析】根據(jù)二次根式的性質化簡二次根式后，再根據(jù)二次根式的乘除法法則計算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝＝1．故選：A．【點評】本題主要考查了二次根式的乘除，熟記二次根式的性質是解答本題的關鍵．7．（3分）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么sin∠ACB的值為（）A． B． C． D．【分析】如圖，過點A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解決問題．【解答】解：如圖，過點A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin∠ACH＝＝，故選：D．【點評】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．8．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正確的是（）A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝ C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝【分析】化二次項系數(shù)為1后，把常數(shù)項﹣移項，應該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)﹣的一半的平方．【解答】解：由原方程，得x2﹣x＝，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，故選：A．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．9．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點M，連接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2，那么圖中陰影部分的面積是（）A．π B．2π C．3π D．4π【分析】連接OD，BC，根據(jù)垂徑定理和等腰三角形的性質得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等邊三角形，得到∠BOC＝60°，根據(jù)扇形的面積公式即可得到結論．【解答】解：連接OD，BC，∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝60°，∵DM＝CM，∴S△OBC＝S△OBD，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴S△OBC＝S△DBC，∴圖中陰影部分的面積＝＝2π，故選：B．【點評】本題考查了垂徑定理、扇形面積的計算，圓周角定理，通過解直角三角形得到相關線段的長度是解答本題的關鍵．10．（3分）如圖，有一塊半徑為1m，圓心角為90°的扇形鐵皮，要把它做成一個圓錐形容器（接縫忽略不計），那么這個圓錐形容器的高為（）A．m B．m C．m D．m【分析】根據(jù)已知條件求得圓錐的底面半徑，然后利用勾股定理求得其高即可．【解答】解：設底面半徑為rm，則2πr＝，解得：r＝，所以其高為：＝m，故選：C．【點評】考查了圓錐的計算，解題的關鍵是首先求得圓錐的底面的半徑，難度不大．11．（3分）人行道用同樣大小的灰、白兩種不同顏色的小正方形地磚鋪設而成，如圖中的每一個小正方形表示一塊地磚．如果按圖①②③…的次序鋪設地磚，把第n個圖形用圖?表示，那么圖?中的白色小正方形地磚的塊數(shù)是（）A．150 B．200 C．355 D．505【分析】由圖形可知圖?的地磚有（7n+5）塊，依此代入數(shù)據(jù)計算可求圖?中的白色小正方形地磚的塊數(shù)．【解答】解：由圖形可知圖?的地磚有（7n+5）塊，當n＝50時，7n+5＝350+5＝355．故選：C．【點評】考查了規(guī)律型：圖形的變化，解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“層數(shù)”增加時，后一個圖形與前一個圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結論．12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，將Rt△ABC繞點A旋轉得到Rt△AB′C′，使點B的對應點B′落在AC上，在B′C′上取點D，使B′D＝2，那么點D到BC的距離等于（）A．2（+1） B．+1 C．﹣1 D．+1【分析】根據(jù)直角三角形的性質得到BC＝2，AC＝4，根據(jù)旋轉的性質得到AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2，求得B′C＝2，延長C′B′交BC于F，解直角三角形即可得到結論．【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，∴BC＝2，AC＝4，∵將Rt△ABC繞點A旋轉得到Rt△AB′C′，使點B的對應點B′落在AC上，∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2，∴B′C＝2，延長C′B′交BC于F，∴∠CB′F＝∠AB′C′＝90°，∵∠C＝30°，∴∠CFB′＝60°，B′F＝B′C＝，∵B′D＝2，∴DF＝2+，過D作DE⊥BC于E，∴DE＝DF＝×（2+）＝+1，故選：D．【點評】本題考查了旋轉的性質，直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．二、填空題（本題共5個小題，每小題3分，共15分．只要求填寫最后結果）13．（3分）因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝（x﹣2）（x﹣1）．【分析】利用提取公因式法因式分解即可．【解答】解：原式＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）．故答案為：（x﹣2）（x﹣1）．【點評】此題考查了提公因式法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．14．（3分）如圖，在⊙O中，四邊形OABC為菱形，點D在上，則∠ADC的度數(shù)是60°．【分析】根據(jù)菱形的性質得出∠B＝∠AOC，根據(jù)圓內接四邊形的性質得出∠B+∠D＝180°，即可得出∠D+∠AOC＝180°，根據(jù)圓周角定理得出3∠D＝180°，即可求得∠ADC＝60°．【解答】解：∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵四邊形OABC為菱形，∴∠B＝∠AOC，∴∠D+∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠D，∴3∠D＝180°，∴∠ADC＝60°，故答案為60°．【點評】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，菱形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．15．（3分）計算：（1+）÷＝﹣a．【分析】直接將括號里面通分運算進而結合分式的混合運算法則計算得出答案．【解答】解：原式＝?a（a﹣1）＝?a（a﹣1）＝﹣a．故答案為：﹣a．【點評】此題主要考查了分式的混合運算，正確化簡分式是解題關鍵．16．（3分）某校開展讀書日活動，小亮和小瑩分別從校圖書館的“科技”、“文學”、“藝術”三類書籍中隨機地抽取一本，抽到同一類書籍的概率是．【分析】畫樹狀圖展示所有9種等可能的結果數(shù)，找出他們抽到同一類書籍的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，共有9種等可能結果，其中抽到同一類書籍的有3種結果，所以抽到同一類書籍的概率為＝，故答案為：．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計算事件A或事件B的概率．17．（3分）如圖，在直角坐標系中，點A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分線上的兩點，點C的縱坐標為1，且CA＝CB，在y軸上取一點D，連接AC，BC，AD，BD，使得四邊形ACBD的周長最小，這個最小周長的值為4+2．【分析】根據(jù)平行線的性質得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得AC＝BC＝2，作B關于y軸的對稱點E，連接AE交y軸于D，則此時，四邊形ACBD的周長最小，這個最小周長的值＝AC+BC+AE，過E作EF⊥AC交CA的延長線于F，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【解答】解：∵點A（1，1），點C的縱坐標為1，∴AC∥x軸，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠C＝90°，∵B（3，3）∴C（3，1），∴AC＝BC＝2，作B關于y軸的對稱點E，連接AE交y軸于D，則此時，四邊形ACBD的周長最小，這個最小周長的值＝AC+BC+AE，過E作EF⊥AC交CA的延長線于F，則EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，∴AE＝＝＝2，∴最小周長的值＝AC+BC+AE＝4+2，故答案為：4+2．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，坐標與圖形的性質，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．三、解答題（本題共8個小題，共69分．解答題應寫出文字說明、證明過程或推演步驟）18．（7分）解不等式組并寫出它的所有整數(shù)解．【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得．【解答】解：，解不等式①，x＜3，解不等式②，得x≥﹣，∴原不等式組的解集為﹣≤x＜3，它的所有整數(shù)解為0，1，2．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．19．（8分）為了提高學生的綜合素養(yǎng)，某校開設了五門手工活動課，按照類別分為：A“剪紙”、B“沙畫”、C“葫蘆雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．為了了解學生對每種活動課的喜愛情況，隨機抽取了部分同學進行調查，將調查結果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）本次調查的樣本容量為120；統(tǒng)計圖中的a＝12，b＝36；（2）通過計算補全條形統(tǒng)計圖；（3）該校共有2500名學生，請你估計全校喜愛“葫蘆雕刻”的學生人數(shù)．【分析】（1）從兩個統(tǒng)計圖可知a組的有18人，占調查人數(shù)的15%，可求出調查人數(shù)，即樣本容量；進而求出a、b的值；（2）求出E組的頻數(shù)即可補全條形統(tǒng)計圖；（3）樣本估計總體，樣本中喜歡“葫蘆雕刻”的占，即，因此估計總體2500人的是喜歡“葫蘆雕刻”的人數(shù)．【解答】解：（1）18÷15%＝120（人），因此樣本容量為120；a＝120×10%＝12（人），b＝120×30%＝36（人），故答案為：120，12，36；（2）E組頻數(shù)：120﹣18﹣12﹣30﹣36＝24（人），補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：（3）2500×＝625（人），答：該校2500名學生中喜愛“葫蘆雕刻”的有625人．【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖的意義和制作方法，從兩個統(tǒng)計圖中獲取數(shù)量和數(shù)量關系是正確解答的關鍵．20．（8分）今年植樹節(jié)期間，某景觀園林公司購進一批成捆的A，B兩種樹苗，每捆A種樹苗比每捆B種樹苗多10棵，每捆A種樹苗和每捆B種樹苗的價格分別是630元和600元，而每棵A種樹苗和每棵B種樹苗的價格分別是這一批樹苗平均每棵價格的0.9倍和1.2倍．（1）求這一批樹苗平均每棵的價格是多少元？（2）如果購進的這批樹苗共5500棵，A種樹苗至多購進3500棵，為了使購進的這批樹苗的費用最低，應購進A種樹苗和B種樹苗各多少棵？并求出最低費用．【分析】（1）設這一批樹苗平均每棵的價格是x元，根據(jù)題意列方程解答即可；（2）分別求出A種樹苗每棵的價格與B種樹苗每棵的價格，設購進A種樹苗t棵，這批樹苗的費用為w元，根據(jù)題意求出w與t的函數(shù)關系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質解答即可．【解答】解：（1）設這一批樹苗平均每棵的價格是x元，根據(jù)題意列，得：，解這個方程，得x＝20，經(jīng)檢驗，x＝20是原分式方程的解，并符合題意，答：這一批樹苗平均每棵的價格是20元；（2）由（1）可知A種樹苗每棵的價格為：20×0.9＝18（元），B種樹苗每棵的價格為：20×1.2＝24（元），設購進A種樹苗t棵，這批樹苗的費用為w元，則：w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000，∵w是t的一次函數(shù)，k＝﹣6＜0，∴w隨t的增大而減小，又∵t≤3500，∴當t＝3500棵時，w最小，此時，B種樹苗每棵有：5500﹣3500＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000，答：購進A種樹苗3500棵，BA種樹苗2000棵時，能使得購進這批樹苗的費用最低，最低費用為111000元．【點評】本題考查了分式方程的應用，一次函數(shù)的應用以及一元一次不等式組的應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關系和不等關系．21．（8分）如圖，在?ABCD中，E為BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F，連接BF，AC，若AD＝AF，求證：四邊形ABFC是矩形．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質得到兩角一邊對應相等，利用AAS判定△ABE≌△FCE，從而得到AB＝CF；由已知可得四邊形ABFC是平行四邊形，BC＝AF，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，可得到四邊形ABFC是矩形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E為BC的中點，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四邊形ABFC是平行四邊形，∵BC＝AF，∴四邊形ABFC是矩形．【點評】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．22．（8分）如圖，小瑩在數(shù)學綜合實踐活動中，利用所學的數(shù)學知識對某小區(qū)居民樓AB的高度進行測量，先測得居民樓AB與CD之間的距離AC為35m，后站在M點處測得居民樓CD的頂端D的仰角為45°，居民樓AB的頂端B的仰角為55°，已知居民樓CD的高度為16.6m，小瑩的觀測點N距地面1.6m．求居民樓AB的高度（精確到lm）．（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．【分析】過點N作EF∥AC交AB于點E，交CD于點F，可得AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可得BE的長，進而可得AB的高度．【解答】解：過點N作EF∥AC交AB于點E，交CD于點F，則AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，則DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15，∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝，∴BE＝EN?tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43≈28.6，∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．答：居民樓AB的高度約為30米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解決本題的關鍵是掌握仰角俯角定義．23．（8分）如圖，已知反比例函數(shù)y＝的圖象與直線y＝ax+b相交于點A（﹣2，3），B（1，m）．（1）求出直線y＝ax+b的表達式；（2）在x軸上有一點P使得△PAB的面積為18，求出點P的坐標．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）S△PAB＝PE?CA+PE?BD＝PEPE＝PE＝18，即可求解．【解答】解：（1）將點A的坐標代入反比例函數(shù)表達式并解得：k＝﹣2×3＝﹣6，故反比例函數(shù)表達式為：y＝﹣，將點B的坐標代入上式并解得：m＝﹣6，故點B（1，﹣6），將點A、B的坐標代入一次函數(shù)表達式得，解得，故直線的表達式為：y＝﹣3x﹣3；（2）設直線與x軸的交點為E，當y＝0時，x＝﹣1，故點E（﹣1，0），分別過點A、B作x軸的垂線AC、BD，垂足分別為C、D，則S△PAB＝PE?CA+PE?BD＝PEPE＝PE＝18，解得：PE＝4，故點P的坐標為（3，0）或（﹣5，0）．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，當有兩個函數(shù)的時候，著重使用一次函數(shù)，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強．24．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交AC于點D，過點D作DE⊥BC，垂足為點E．（1）試證明DE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，AC＝6，求此時DE的長．【分析】（1）連接OD、BD，求出BD⊥AC，瑞成AD＝DC，根據(jù)三角形的中位線得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）根據(jù)題意求得AD，根據(jù)勾股定理求得BD，然后證得△CDE∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質即可求得DE．【解答】（1）證明：連接OD、BD，∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵AB＝BC，∴D為AC中點，∵OA＝OB，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD為半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）由（1）知BD是AC的中線，∴AD＝CD＝＝3，∵O的半徑為5，∴AB＝6，∴BD＝＝＝，∵AB＝AC，∴∠A＝∠C，∵∠ADB＝∠CED＝90°，∴△CDE∽△ABD，∴，即＝，∴DE＝3．【點評】本題考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形相似的判定和性質，勾股定理等知識點的綜合運用．25．（12分）如圖，二次函數(shù)y═ax2+bx+4的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，其對稱軸與線段BC交于點E，垂直于x軸的動直線l分別交拋物線和線段BC于點P和點F，動直線l在拋物線的對稱軸的右側（不含對稱軸）沿x軸正方向移動到B點．（1）求出二次函數(shù)y＝ax2+bx+4和BC所在直線的表達式；（2）在動直線l移動的過程中，試求使四邊形DEFP為平行四邊形的點P的坐標；（3）連接CP，CD，在動直線l移動的過程中，拋物線上是否存在點P，使得以點P，C，F(xiàn)為頂點的三角形與△DCE相似？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）由題意得出方程組，求出二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+3x+4，則C（0，4），由待定系數(shù)法求出BC所在直線的表達式即可（2）證DE∥PF，只