2020年湖南省郴州市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第26頁（共26頁）2020年湖南省郴州市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）如圖表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)是A．點(diǎn)與點(diǎn) B．點(diǎn)與點(diǎn) C．點(diǎn)與點(diǎn) D．點(diǎn)與點(diǎn)【分析】根據(jù)一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“”號，求解即可．【解答】解：3和互為相反數(shù)，則點(diǎn)與點(diǎn)表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了相反數(shù)的意義，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“”號：一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．不要把相反數(shù)的意義與倒數(shù)的意義混淆．2．（3分）2020年6月23日，北斗三號最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火升空．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)可提供高精度的授時(shí)服務(wù)，授時(shí)精度可達(dá)10納秒秒納秒）．用科學(xué)記數(shù)法表示10納秒為A．秒 B．秒 C．秒 D．秒【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【解答】解：秒納秒，納秒秒00001秒秒．故選：．【點(diǎn)評】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．3．（3分）下列圖形是中心對稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念和各圖的性質(zhì)求解．【解答】解：、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；、是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意．故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了中心對稱圖形的概念．要注意，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．4．（3分）下列運(yùn)算正確的是A． B． C． D．【分析】直接利用合并同類項(xiàng)法則以及二次根式的加減運(yùn)算法則、同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算分別化簡得出答案．【解答】解：、，正確；、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，不是同類項(xiàng)，無法合并，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了合并同類項(xiàng)以及二次根式的加減運(yùn)算、同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．5．（3分）如圖，直線，被直線，所截．下列條件能判定的是A． B． C． D．【分析】直接利用平行線的判定方法進(jìn)而分析得出答案．【解答】解：、當(dāng)時(shí)，，故此選項(xiàng)不合題意；、當(dāng)時(shí)，，故此選項(xiàng)不合題意；、當(dāng)時(shí)，，故此選項(xiàng)不合題意；、當(dāng)時(shí)，，故此選項(xiàng)符合題意；故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線的判定，正確掌握判定方法是解題關(guān)鍵．6．（3分）某鞋店試銷一種新款男鞋，試銷期間銷售情況如下表：鞋的尺碼2424.52525.52626.5銷售數(shù)量（雙27181083則該組數(shù)據(jù)的下列統(tǒng)計(jì)量中，對鞋店下次進(jìn)貨最具有參考意義的是A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．方差【分析】眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，可能不止一個(gè)，對鞋店下次進(jìn)貨最具有參考意義的是眾數(shù)．【解答】解：對鞋店下次進(jìn)貨來說，他最關(guān)注的是哪一型號的賣得最多，即是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．故選：．【點(diǎn)評】此題考查了眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)和方差意義，屬于基礎(chǔ)題，難度不大，只要了解各個(gè)統(tǒng)計(jì)量的意義就可以輕松確定本題的正確答案．7．（3分）如圖1，將邊長為的大正方形剪去一個(gè)邊長為1的小正方形（陰影部分），并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個(gè)長方形，再將這兩個(gè)長方形拼成圖2所示長方形．這兩個(gè)圖能解釋下列哪個(gè)等式A． B． C． D．【分析】根據(jù)圖形可以用代數(shù)式表示出圖1和圖2的面積，由此得出等量關(guān)系即可．【解答】解：由圖可知，圖1的面積為：，圖2的面積為：，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查列代數(shù)式平方差公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的代數(shù)式．8．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是雙曲線上任意一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線與雙曲線交于點(diǎn)，連接，已知，則A．4 B． C．2 D．【分析】作軸于，軸于，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義得出，，然后通過證得，即可證得結(jié)論．【解答】解：作軸于，軸于，點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)，，，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，三角形相似的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共8小題，每小題3分，共24分）9．（3分）若分式的值不存在，則．【分析】直接利用分式不存在的條件得出的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：若分式的值不存在，則，解得：，故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查了分式不存在的條件，正確把握分式有意義的條件：分式存在的條件是分母不等于零是解題關(guān)鍵．10．（3分）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則．【分析】利用判別式的意義得到△，然后解關(guān)于的方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得△，解得．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．11．（3分）質(zhì)檢部門從1000件電子元件中隨機(jī)抽取100件進(jìn)行檢測，其中有2件是次品．試據(jù)此估計(jì)這批電子元件中大約有20件次品．【分析】根據(jù)隨機(jī)抽取100件進(jìn)行檢測，其中有2件是次品，可以計(jì)算出這批電子元件中大約有多少件次品．【解答】解：（件，即這批電子元件中大約有20件次品，故答案為：20．【點(diǎn)評】本題考查用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用樣本中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出總體中次品數(shù)．12．（3分）某5人學(xué)習(xí)小組在寒假期間進(jìn)行線上測試，其成績（分分別為：86，88，90，92，94，方差為，后來老師發(fā)現(xiàn)每人都少加了2分，每人補(bǔ)加2分后，這5人新成績的方差8.0．【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)非零常數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的波動情況不變，即方差不變，即可得出答案．【解答】解：一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上（或都減去）同一個(gè)常數(shù)后，它的平均數(shù)都加上（或都減去）這一個(gè)常數(shù)，方差不變，所得到的一組新數(shù)據(jù)的方差為；故答案為：8.0．【點(diǎn)評】本題考查方差的意義，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立，關(guān)鍵是掌握一組數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)非零常數(shù)，方差不變．13．（3分）小紅在練習(xí)仰臥起坐，本月1日至4日的成績與日期具有如下關(guān)系：日期（日1234成績（個(gè)40434649小紅的仰臥起坐成績與日期之間近似為一次函數(shù)關(guān)系，則該函數(shù)表達(dá)式為．【分析】利用待定系數(shù)法即可求出該函數(shù)表達(dá)式．【解答】解：設(shè)該函數(shù)表達(dá)式為，根據(jù)題意得：，解得，該函數(shù)表達(dá)式為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，會利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．14．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，將以點(diǎn)為位似中心，為位似比作位似變換，得到△，已知，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，．【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)進(jìn)而得出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：將以點(diǎn)為位似中心，為位似比作位似變換，得到△，，點(diǎn)的坐標(biāo)是：，，即，．故答案為：，．【點(diǎn)評】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（3分）如圖，圓錐的母線長為10，側(cè)面展開圖的面積為，則圓錐主視圖的面積為48．【分析】主視圖是從正面看所得到的圖形即可，可根據(jù)圓錐的特點(diǎn)作答．【解答】解：根據(jù)圓錐側(cè)面積公式：，圓錐的母線長為10，側(cè)面展開圖的面積為，故，解得：．由勾股定理可得圓錐的高，圓錐的主視圖是一個(gè)底邊為12，高為8的等腰三角形，它的面積，故答案為：48．【點(diǎn)評】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．16．（3分）如圖，在矩形中，，．分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)和．作直線分別與，，交于點(diǎn)，，，則．【分析】連接，在矩形中，，，根據(jù)勾股定理可得的長，根據(jù)作圖過程可得，是的垂直平分線，所以，在中，根據(jù)勾股定理得的長，在中，根據(jù)勾股定理得的長，進(jìn)而可得的長．【解答】解：如圖，連接，在矩形中，，，，根據(jù)作圖過程可知：是的垂直平分線，，，，在中，根據(jù)勾股定理，得，，解得，在中，根據(jù)勾股定理，得，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了作圖基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．三、解答題（17～19題每小題6分，20～23題每小題6分，24～25題每小題6分，26題12分，共82分）17．（6分）計(jì)算：．【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：原式．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．18．（6分）解方程：．【分析】方程兩邊都乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．【解答】解：，方程兩邊都乘，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．故是原方程的解．【點(diǎn)評】考查了解分式方程，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．最后注意需驗(yàn)根．19．（6分）如圖，在菱形中，將對角線分別向兩端延長到點(diǎn)和，使得．連接，，，．求證：四邊形是菱形．【分析】可以用兩種方法證明：根據(jù)四邊形是菱形，可得，，，可以證明，，，進(jìn)而證明平行四邊形是菱形；或者通過證明四條邊相等可得四邊形是菱形．【解答】證明：方法一：四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，同理可證：，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形．方法二：為菱形，，，所以就能得到四個(gè)三角形全等，所以四條邊相等，所以四邊形為菱形．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定與性質(zhì)．20．（8分）疫情期間，我市積極開展“停課不停學(xué)”線上教學(xué)活動，并通過電視、手機(jī)等平臺進(jìn)行教學(xué)視頻推送．某校隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行線上學(xué)習(xí)效果自我評價(jià)的調(diào)查（學(xué)習(xí)效果分為：．效果很好；．效果較好；．效果一般；．效果不理想），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（1）此次調(diào)查中，共抽查了200名學(xué)生；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中的度數(shù)；（3）某班4人學(xué)習(xí)小組，甲、乙2人認(rèn)為效果很好，丙認(rèn)為效果較好，丁認(rèn)為效果一般．從學(xué)習(xí)小組中隨機(jī)抽取2人，則“1人認(rèn)為效果很好，1人認(rèn)為效果較好”的概率是多少？（要求畫樹狀圖或列表求概率）【分析】（1）從統(tǒng)計(jì)圖可知，“效果很好”的有80人，占調(diào)查人數(shù)的，可求出調(diào)查人數(shù)；（2）求出“效果一般”的人數(shù)即所占的百分比，即可求出相應(yīng)的圓心角的度數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）用列表法列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，從中找出“”的結(jié)果數(shù)，進(jìn)而求出概率．【解答】解：（1）（名，故答案為：200；（2）（名，，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：（3）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中“1人認(rèn)為效果很好，1人認(rèn)為效果較好”即：1人為，1人為的有2種，．【點(diǎn)評】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義和制作方法，列表法或樹狀圖求隨機(jī)事件的概率，理解統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)量關(guān)系，列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況是解決問題的關(guān)鍵．21．（8分）2020年5月5日，為我國載人空間站工程研制的長征五號運(yùn)載火箭在海南文昌首飛成功．運(yùn)載火箭從地面處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)時(shí)，地面處的雷達(dá)站測得米，仰角為．3秒后，火箭直線上升到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)地面處的雷達(dá)站測得處的仰角為．已知，兩處相距460米，求火箭從到處的平均速度（結(jié)果精確到1米秒，參考數(shù)據(jù)：，．【分析】設(shè)火箭從到處的平均速度為米秒，根據(jù)題意可得，在中，，，可得，，在中，，可得，即可得，進(jìn)而解得的值．【解答】解：設(shè)火箭從到處的平均速度為米秒，根據(jù)題意可知：，在中，，，，，，，在中，，，，，解得（米秒）．答：火箭從到處的平均速度為335米秒．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義．22．（8分）為支援抗疫前線，某省紅十字會采購甲、乙兩種抗疫物資共540噸，甲物資單價(jià)為3萬元噸，乙物資單價(jià)為2萬元噸，采購兩種物資共花費(fèi)1380萬元．（1）求甲、乙兩種物資各采購了多少噸？（2）現(xiàn)在計(jì)劃安排，兩種不同規(guī)格的卡車共50輛來運(yùn)輸這批物資．甲物資7噸和乙物資3噸可裝滿一輛型卡車；甲物資5噸和乙物資7噸可裝滿一輛型卡車．按此要求安排，兩型卡車的數(shù)量，請問有哪幾種運(yùn)輸方案？【分析】（1）設(shè)甲物資采購了噸，乙物質(zhì)采購了噸，根據(jù)“某省紅十字會采購甲、乙兩種抗疫物資共540噸，且采購兩種物資共花費(fèi)1380萬元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)安排型卡車輛，則安排型卡車輛，根據(jù)安排的這50輛車一次可運(yùn)輸300噸甲物質(zhì)及240噸乙物質(zhì)，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，再結(jié)合為正整數(shù)即可得出各運(yùn)輸方案．【解答】解：（1）設(shè)甲物資采購了噸，乙物質(zhì)采購了噸，依題意，得：，解得：．答：甲物資采購了300噸，乙物質(zhì)采購了240噸．（2）設(shè)安排型卡車輛，則安排型卡車輛，依題意，得：，解得：．為正整數(shù)，可以為25，26，27，共有3種運(yùn)輸方案，方案1：安排25輛型卡車，25輛型卡車；方案2：安排26輛型卡車，24輛型卡車；方案3：安排27輛型卡車，23輛型卡車．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．23．（8分）如圖，內(nèi)接于，是的直徑．直線與相切于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)使得，線段，的延長線交于點(diǎn)．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留．【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接，是的直徑．直線與相切于點(diǎn)，，，，，，，即，，直線是的切線；（2）解：，，，是等邊三角形，，，圖中陰影部分的面積．【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（10分）為了探索函數(shù)的圖象與性質(zhì)，我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法．列表：123452描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖1所示：（1）如圖1，觀察所描出點(diǎn)的分布，用一條光滑曲線將點(diǎn)順次連接起來，作出函數(shù)圖象；（2）已知點(diǎn)，，，在函數(shù)圖象上，結(jié)合表格和函數(shù)圖象，回答下列問題：若，則；若，則；若，則（填“”，“”或“”．（3）某農(nóng)戶要建造一個(gè)圖2所示的長方體形無蓋水池，其底面積為1平方米，深為1米．已知底面造價(jià)為1千元平方米，側(cè)面造價(jià)為0.5千元平方米．設(shè)水池底面一邊的長為米，水池總造價(jià)為千元．①請寫出與的函數(shù)關(guān)系式；②若該農(nóng)戶預(yù)算不超過3.5千元，則水池底面一邊的長應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？【分析】（1）用光滑曲線將點(diǎn)順次連接起來，作出函數(shù)圖象即可．（2）利用圖象法解決問題即可．（3）①總造價(jià)對面的造價(jià)側(cè)面的造價(jià)，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式即可．②轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解決問題即可．【解答】解：（1）函數(shù)圖象如圖所示：（2）若，則；若，則，若，則．故答案為，，．（3）①由題意，．②由題意，，可得，解得：，長應(yīng)控制在的范圍內(nèi)．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．25．（10分）如圖1，在等腰直角三角形中，，．點(diǎn)是的中點(diǎn)，以為邊作正方形，連接，．將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，①判斷與是否全等，并說明理由；②當(dāng)時(shí)，與交于點(diǎn)，求的長．（2）如圖3，延長交直線于點(diǎn)．①求證：；②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）①結(jié)論：．根據(jù)證明即可．②如圖2中，過點(diǎn)作于．解直角三角形求出，，再利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．（2）①如圖3中，設(shè)交于．利用全等三角形的性質(zhì)，解決問題即可．②因?yàn)?，是定值，推出?dāng)最小時(shí)，的值最大，推出當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)的值最大，此時(shí)點(diǎn)與重合（如圖4中）．【解答】解：（1）①如圖2中，結(jié)論：．理由：四邊形是正方形，，，，，，，．②如圖2中，過點(diǎn)作于．，，，，，，，，，，，，．（2）①如圖3中，設(shè)交于．，，，，，，．②，是定值，當(dāng)最小時(shí)，的值最大，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)的值最大，此時(shí)點(diǎn)與重合（如圖4中），，，，，，，的最大值為．【點(diǎn)評】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會尋找特殊位置解決最值問題，屬于中考壓軸題．26．（12分）如圖1，拋物線與軸交于，，與軸交于點(diǎn)．已知直線過，兩點(diǎn)．（1）求拋物線和直線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)