07 三角函數(shù)與解三角形 - （解析版）

第第頁(yè)專(zhuān)題7解三角形1.（2022泰安二模）17.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，A的角平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D．（1）求B；（2）若，，求b．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由降冪公式得，再由正弦定理及輔助角公式得，即可求解；（2）先由正弦定理求得，進(jìn)而得到，再求即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，由正弦定理得整理得，所以因?yàn)?，所以，所以，所以；【小?wèn)2詳解】在△ABD中，，所以，所以，所以，所以，所以△ABC是等腰三角形，且a＝c，所以．2.（2022濱州二模）17.銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，D為AB的中點(diǎn)，求CD的取值范圍．【17題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，由正弦定理可得，進(jìn)而可得，又為銳角三角形，從而即可求解；（2）在中，由余弦定理可得，又為銳角三角形，進(jìn)而有，又，可得，從而由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：因，由正弦定理可得，所以，所以，因?yàn)?，即，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)闉殇J角三角形，所以；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，又，在中，由余弦定理可得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，由余弦定理可得，又，所以，解得，所以由二次函數(shù)性質(zhì)可得CD的取值范圍是.3.（2022德州二模）19.在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答．問(wèn)題：已知中，D為AB邊上的一點(diǎn)，且BD=2AD，___________．（1）若，求∠BCD大??；（2）若CD=CB，求cos∠ACB．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①②③均可結(jié)合正弦定理與兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到△ABC為等腰三角形，設(shè)腰長(zhǎng)AC=BC=x，結(jié)合余弦定理證明即可（2）取BD的中點(diǎn)E，連接CE，根據(jù)直角三角形中的各邊關(guān)系可得的各邊比例，再根據(jù)余弦定理求解即可【小問(wèn)1詳解】若選①：由正弦定理，，因?yàn)?，故，所以，即．．又因?yàn)?，所以，即若選②：因?yàn)?，，所以，顯然，故．又因?yàn)樗裕暨x③：由正弦定理，，即，又，所以，即.又因?yàn)椋裕á佗冖劬傻茫┤簦鰽BC為等腰三角形，且．設(shè)腰長(zhǎng)AC=BC=x，則所以由余弦定理．所以所以所以．【小問(wèn)2詳解】取BD的中點(diǎn)E，連接CE，由CB=CD得CE⊥AB設(shè)AC=2t，在Rt△ACE中，，，．．由余弦定理得4.（2022濟(jì)南二模）18.已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，的面積.（1）求邊c；（2）若為銳角三角形，求a的取值范圍.【答案】（1）1（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以；因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】在中，由正弦定理，由（1）知，，代入上式得：，因?yàn)闉殇J角三角形，則,所以，所以，所以.5.（2022青島二模）17從①；②條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫線(xiàn)處，并解答：在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，.（1）求角A；（2）若外接圓的圓心為O，，求BC的長(zhǎng).注：如果選擇多個(gè)條件分別解答；按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】解：選擇條件①：因?yàn)?，由正弦定理，可得，即，所?因?yàn)?，所?選擇條件②：因?yàn)樗?，?因?yàn)樗运裕?【小問(wèn)2詳解】由題意，O是外接圓的圓心，所以，所以故此.在中，由正弦定理，，即，解得.6.（2022煙臺(tái)二模）18.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若，角A的平分線(xiàn)交于M，求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以，由正弦定理得，因?yàn)椋?，所以，因，，所以，即，因?yàn)椋?，所以，即，所?【小問(wèn)2詳解】解：在中，由余弦定理得，即，所以，所以，記邊上的高為，因?yàn)榻堑钠椒志€(xiàn)交于，所以，所以，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，所以7.（2022菏澤二模）17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，．（1）若，求A；（2）若的面積，求c．【答案】（1）（2）或【解析】【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋瑒t，由正弦定理，得，即，即，因?yàn)?，所以，因此；【小?wèn)2詳解】由，得，．當(dāng)時(shí)，由余弦定理，得；當(dāng)時(shí)，由余弦定理，得．所以，或．8.（2022日照二模）18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若的面積為，求.【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】由已知及正弦定理得即由，可得，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】根據(jù)余弦定理可得由已知，，可得，因?yàn)?，所?9.（2022泰安三模）17.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若．（1）求B；（2）若D為AC的中點(diǎn)，且，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，即，所以，又，．【小?wèn)2詳解】由題知，AB＝4，BD＝2，，因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以，所以，整理得，所以a＝4，所以的面積為．10.（2022聊城三模）17.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求角B；（2）若b=4，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）；（2）12.【解析】【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，則，在中，由正弦定理得，，而，即，整理得，即，又，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】在中，由余弦定理得：，即，而，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)取“=”，因此，當(dāng)a=c=4時(shí)，a+c取最大值8，從而a+b+c取最大值12，所以周長(zhǎng)的最大值為12.11.（2022濟(jì)寧三模）17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在銳角中，若，，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?所以，函數(shù)的最小正周期為.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，則，，可得，由余弦定理可得，即，因?yàn)?，解得，此時(shí)，為最長(zhǎng)邊，角為最大角，此時(shí)，則角為銳角，所以，.12.（2022臨沂三模）17.解:(1)因?yàn)閎+bcosA=3asinB,由正弦定理得,sinB+sinBcosA=3sinAsinB,??2分因?yàn)锽∈0,13.（2022濟(jì)南三模）17.已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足．（1）求的值；（2）若△ABC的面積為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以．【小?wèn)2詳解】由（1）及余弦定理知，整理得：①由面積公式：，整理得：②，②相加得：，所以．14.（2022德州三模）17.如圖，在中，，，，點(diǎn)M?N是邊AB上的兩點(diǎn)，.（1）求的面積；（2）當(dāng)，求MN的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】在中，，則由正弦定理得：，，則因?yàn)?，則或（不合題意，舍去），則的面積為【小問(wèn)2詳解】在中，，，由余弦定理可得則有，所以在直角中，，，則15.（2022煙臺(tái)三模）17.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理得，即，即，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】解：由正弦定理得，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以，所?16.（2022青島三模）18．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，ccosA＝（b﹣a）cosC．（1）若A＝，點(diǎn)D在邊AB上，AD＝BC＝1，求△BCD的外接圓的面積；（2）若c＝2，求△ABC面積的最大值．解：（1）根據(jù)正弦定理ccosA＝（b﹣a）cosC可化為sinCcosA＝（sinB﹣sinA）cosC，即sinAcosC+sinCcosA＝sinBcosC，則sin（A+C）＝sinBsinC．由于A+B+C＝π，故sin（A+C）＝sinB，所以sinB＝sinBsinC，又sinB≠0，所以cosC＝．因?yàn)镃∈（0，π），所以C＝．又A＝，所以B＝π﹣（A+C）＝．由正弦定理有＝，得AB＝?BC＝××1＝+1．則BD＝AB﹣AD＝，在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2+BD2﹣2BC?BD?cosB＝12+（）2﹣2×1××（﹣）＝4+．所以CD＝，則2R＝＝，所以R＝．故△BCD的外接圓的面積為S＝πR2＝π×＝+．（2）由（1）可知c＝2、C＝；根據(jù)余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC；得4＝a2+b2﹣2ab×（）＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立），所以ab≤＝4+2，故S△ABC＝absinC＝×（4+2）＝+1（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立）．17.（2022濰坊三模）18.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，，的平分線(xiàn)交邊于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】，，由正弦定理得：，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，，解得?【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，所以，即，解得：，由余弦定理得：，所以，解得：，解得：或當(dāng)?shù)茫?，則，所以，在三角形ABT中，由正弦定理得：，，即，解得：；當(dāng)時(shí)，同理可得：；綜上：18.（2022淄博三模）17.已知函數(shù)，其圖像上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間的距離為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，．若角的平分線(xiàn)交于，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）.【解析】【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，設(shè)函數(shù)的周期為，由題意，即，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由得：，即，解得，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈钠椒志€(xiàn)交于，所以，即，可得，由余弦定理得：，，而，得，因此.19.（2022日照三模）15.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且成等比數(shù)列，則________．【答案】##【解析】【詳解】解：由成等比數(shù)列，得，又所以，所以.故答案為：20.（2022日照三模）17.已知平面四邊形ABCD中，ABDC，，，，.（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求△BCD的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】（1）在中，，則，由正弦定理得，所以（2）因?yàn)?，所以，在中，有余弦定理得，即即，則，所以.21.（2022威海三模）19.如圖所示，在平面四邊形中，，，，設(shè)．

（1）若，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)為何值時(shí)，的面積取得最大值，并求出該最大值．【答案】（1）；（2），最大值為．【解析】【小問(wèn)1詳解】在中，由余弦定理可得，，∴，在中，由正弦定理可得，，∴；【小問(wèn)2詳解】由第(1)問(wèn)知，在中，，∴，∴，在中，由正弦定理可得，，∴，∵，∴，∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)面積的最大值為．2.（2022臨沂二模）8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積．根據(jù)此公式，若，且，則△ABC的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由正弦定理邊角互化可知化簡(jiǎn)為，即，,，解得：，根據(jù)面積公式可知.故選：A22.（2022濱州二模）15.在中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，，成等差數(shù)列，則的面積的最大值為_(kāi)_________．【15題答案】【答案】【解析】【詳解】解：因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，由正弦定理可得，又，所以，即，所以由余弦定理可得，即，又，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以的面積的最大值為.故答案為：.23.（2022青島二模）16.如圖所示，A，B，C為三個(gè)村莊，，，，則___________；若村莊D在線(xiàn)段BC中點(diǎn)處，要在線(xiàn)段AC.上選取一點(diǎn)E建一個(gè)加油站，使得該加油站到村莊A，B，C，D的距離之和最小，則該最小值為_(kāi)__________.

【答案】①.60°##②.##【解析】【詳解】在中，由余弦定理有：又，所以.

如圖，作D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，則DE=FE，DC=FC=4，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，BE+EF最小..所以，所以AE+CE+BE+DE=AC+BE+EF，當(dāng)且僅當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：，.24.（2022濟(jì)南三模）15.2022年3月，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于構(gòu)建更高水平的全民健身公共服務(wù)體系的意見(jiàn)》，再次強(qiáng)調(diào)持續(xù)推進(jìn)體育公園建設(shè)．如圖，某市擬建造一個(gè)扇形體育公園，其中，千米．現(xiàn)需要在，OB，上分別取一點(diǎn)