2023全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽填空題訓(xùn)練三

2023全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽填空題訓(xùn)練三注：每題5分，共200分。1、表示n的個(gè)位數(shù)，，那么數(shù)列的前項(xiàng)之和＝．答案：10．解析：∵，∴an是一個(gè)以10為周期的數(shù)列，而0，故＝S6＝10．2、，，那么＝．答案：．解析：令A(yù)，B，那么知A，B在圓上，AB中點(diǎn)C〔m，n〕，，，且koc＝，kAB＝－，AB⊥OC，由射影定理及C〔m，n〕，知AB：，并代入圓的方程，得0．，為此方程兩根，∴有，以y為主元，同理有，∴．3、非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，那么的最小值是．答案：．解析：不妨設(shè)a≥b≥c，那么a≥，c≤∴＝≥≥≥〔當(dāng)a＝b＝，c＝0時(shí)取等號(hào)〕．4、設(shè)x、y、zR+，滿足xyz＋x＋z＝y(tǒng)，P＝，那么Pmax＝．答案：．解析：由令，，γ那么，γ∈[0，〕且γ＝π那么P＝2cos2－2cos2＋3cos2γ＝－2sin()sin()＋3cos2γ∵－1≤sin()≤1故P≤2sin()＋3cos2γ＝2sinγ＋3－3sin2γ＝－3(sinγ－)2＋≤∴Pmax＝5、經(jīng)過(guò)一個(gè)直平行六面體內(nèi)的一點(diǎn)作出3個(gè)平面分別平行于它的各面，這時(shí)它被分成8個(gè)較小的體積不等的平行六面體，那么在這些小平行六面體中至少有a個(gè)體積小于原平行六面體體積的，那么a最大值是．答案：4．解析：8個(gè)較小的平行六面體可分為4對(duì)，其中每一對(duì)平行六面體中含有原六面體中相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)．設(shè)d、b、c和x、y、z、是一對(duì)六面體的棱長(zhǎng)，那么原六面體的棱長(zhǎng)為d＋x，b＋y，c＋z．所以有(d＋x)(b＋y)(c＋z)≥2＝8，從而V2＝64V1V2，V，V1，V2為原來(lái)及2個(gè)小的六面體的體積，因?yàn)閂1≠V2，假設(shè)V1＜，那么V2＞，所以amax＝4．6、假設(shè)數(shù)列{an}使得，那么．答案：0．解析：由題設(shè)知：令那么有∴{an}是以12為周期的周期函數(shù)．而2023≡7〔mod12〕∴即0．7、如圖4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，從網(wǎng)格上任一點(diǎn)出發(fā)，沿著網(wǎng)格線行走．要求不能走重復(fù)的線段，那么一次行走能走過(guò)的最長(zhǎng)路程為．答案：34．解析：對(duì)于每一個(gè)頂點(diǎn)引出2或4條邊的稱為“偶結(jié)點(diǎn)〞，引出3條邊的稱為“奇結(jié)點(diǎn)〞．顯然，一次行走最多穿過(guò)兩個(gè)奇結(jié)點(diǎn)上所有線段〔一首一尾〕．圖中奇結(jié)點(diǎn)共3×4＝12個(gè)，有10個(gè)奇結(jié)點(diǎn)上有一條線段走不到．而每條邊上，有且只有一對(duì)相鄰奇結(jié)點(diǎn)，可以共同省去一條公共邊．假設(shè)出發(fā)與結(jié)尾所走完的奇結(jié)點(diǎn)〔稱走過(guò)結(jié)點(diǎn)上所有邊為“走完〞〕在一條邊上，那么至少有2×3＋1條線段走不到．假設(shè)不在一邊上，那么至少有2×2＋2＝6條走不到．故最長(zhǎng)路程為4×5×2－6＝34，如圖給出一種走法：8、整數(shù)的末兩位數(shù)字是．答案：00解析：＝由于〔0、1〕故＝≡320－1〔mod100〕由歐拉定理3(100)≡1〔mod100〕，即310≡1〔mod100〕∴≡(310)2－1≡0〔mod100〕故末兩位數(shù)字為009、將8本不同的書(shū)分別給3名學(xué)生，要求每個(gè)學(xué)生至少分得1本，有種分法〔用數(shù)字作答〕。答案：5796．解析：學(xué)生分得的書(shū)的本數(shù)有以下5種情形：{6，1，1}、{5，2，1}、{4，3，1}、{4，2，2}、{3，3，2}，故分法種數(shù)為：+＝579610、在20名把戲滑冰運(yùn)發(fā)動(dòng)表演完以后，9名裁判員分別給他們判定從1～20的名次，每一個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)得到的名次中，各名次之差不超過(guò)3，假設(shè)每個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)所得到的名次的和排成遞增序列：≤c2≤…≤c20，那么c1的最大值為．答案：24解析：如果9名裁判都給某運(yùn)發(fā)動(dòng)判第一名，那么c1＝9；如果有兩名運(yùn)發(fā)動(dòng)都被判為第一名，那么其中1人得到不少于5個(gè)第一名，而其余4個(gè)名次不高于第四名，故c1＝5×1＋4×4＝21．如果有3個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)都得第一名，那么他們所得的其余名次不高于第四名，他們的名次之和不大于1×9＋3×9＋4×9＝72，故c1≤24．如果有4名運(yùn)發(fā)動(dòng)都得第一名，那么他們的名次之和不大于1×9＋2×9＋3×9＋4×9＝90，所以他們中之一的名次不大于24；而有5個(gè)或更多個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)都得第一情況是不可能的，所以c1≤24．給出一個(gè)c1＝24的例子，前三名名次都是1，1，1、3，3，3、4，4，4．后三名名次是2，2，2、5，5，5、6，6，6．11、假設(shè)為銳角，且那么的最大值為。答案：解析：由故同理：故故12、以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)成的棱錐個(gè)數(shù)為。解答：106個(gè)此題中并未指明是幾棱錐，由于棱錐底面頂點(diǎn)共面，故只可能是三棱錐或四棱錐?！?〕當(dāng)構(gòu)成三棱錐時(shí)，即從8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè)，其中四點(diǎn)共面的有12組〔從外表或?qū)敲婵紤]〕，故有個(gè)三棱錐；〔2〕當(dāng)構(gòu)成四棱錐時(shí)，底面頂點(diǎn)只能從12組四點(diǎn)共面的情形中選取，再?gòu)钠溆嗨捻旤c(diǎn)中取一個(gè)，共可構(gòu)成個(gè)四棱錐，綜上，共可構(gòu)成58+48=106個(gè)棱錐。13、雙曲線以兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為，又雙曲線上任一點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為，那么該雙曲線的離心率的取值范圍是答案：解析：設(shè)雙曲線方程為那么因，故又因從而解不等式得又因令那么因在上是遞增函數(shù)，故14、數(shù)列由全體正奇數(shù)自小到大排列而成，并且每個(gè)奇數(shù)連續(xù)出現(xiàn)次，，如果這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為那么答案：3解析：由，即當(dāng)時(shí)，，所以，于是，。15、假設(shè)集合中的每個(gè)元素都可表為中兩個(gè)不同的數(shù)之積，那么集中元素個(gè)數(shù)的最大值為.答案：31解析：從中每次取一對(duì)作乘積，共得個(gè)值，但其中有重復(fù)，重復(fù)的情況為，共種，因此集合中至多有個(gè)數(shù).16、．用五種不同的顏色給圖中的“五角星〞的五個(gè)頂點(diǎn)染色，〔每點(diǎn)染一色，有的顏色也可以不用〕使每條線段上的兩個(gè)頂點(diǎn)皆不同色，那么不同的染色方法有種.答案：種解析：將其轉(zhuǎn)化為具有五個(gè)扇形格的圓盤染五色，使鄰格不同色的染色問(wèn)題．設(shè)有個(gè)扇形格的圓盤染五色的方法數(shù)為，那么有，于是。17、以為六條棱長(zhǎng)的四面體個(gè)數(shù)為。答案：3解析：以這些邊為三角形僅有四種：，，，。固定四面體的一面作為底面：當(dāng)?shù)酌娴娜厼闀r(shí)，另外三邊的取法只有一種情況，即；當(dāng)?shù)酌娴娜厼闀r(shí)，另外三邊的取法有兩種情形，即。18、正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，在棱上，當(dāng)點(diǎn)使得最小時(shí)，異面直線所成角的大小為。答案：解析：如圖可知為中點(diǎn)時(shí)，滿足題意.又，又19、，是的一個(gè)子集，假設(shè)，且同時(shí)滿足和，那么稱為的一個(gè)“孤立點(diǎn)〞，那么的無(wú)孤立點(diǎn)的所有5元子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)___________.答案：10000解析：由于的五元子集無(wú)孤立點(diǎn)，那么S只有如下3種情況：〔1〕〔2〕〔3〕綜上可得共10000個(gè)20、設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，直線的方程為，且點(diǎn)F的坐標(biāo)為，作于點(diǎn)Q，假設(shè)點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，那么該橢圓的離心率。答案：解析：設(shè)T為直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，作軸于點(diǎn)R，由題意，∠PFQ=，PF=QF，PQ//RT，那么TF=QT=PR=FR，從而，有，其中，故，代入橢圓方程得即即整理得：，因?yàn)?，所以，?1、設(shè)向量，滿足，且與的夾角為，假設(shè)與的夾角為鈍角，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________答案：，且解析：由()()，得，此外必須與的夾角不是平角，因此.122、一個(gè)九宮格，每個(gè)小方格內(nèi)都是一個(gè)復(fù)數(shù)，它得每行、每列及對(duì)角線上三個(gè)格內(nèi)的復(fù)數(shù)和都相等，那么表示的復(fù)數(shù)為。答案：解析：設(shè)第一行令兩個(gè)格內(nèi)的數(shù)為，那么按題設(shè)每行、每列及對(duì)角線三個(gè)數(shù)的和都是，于是，中間格為，中間行左邊第一格為，第三行右邊第一格為，最后，由含的對(duì)角線三個(gè)數(shù)的和得，解得。23、在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O〔0，0〕，A〔100，0〕，B〔100，100〕，C〔0，100〕，假設(shè)正方形OABC內(nèi)部〔邊界和頂點(diǎn)除外〕一格點(diǎn)P滿足：，就稱格點(diǎn)P為“好點(diǎn)〞，那么正方形OABC內(nèi)部好點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)___________。答案：197解析：過(guò)點(diǎn)P分別作PD、PE、PF、PG垂直于邊OA、AB、BC、CO于點(diǎn)D、E、F、G，易知PF+PD=100，PE+PG=100由題意，可得PDPF=PEPGPD〔100PD〕=PG〔100PG〕化簡(jiǎn)得，所以PD=PG或PG=PF于是點(diǎn)P在對(duì)角線OB上或點(diǎn)P在對(duì)角線AC上；同理，當(dāng)P為對(duì)角線OB或?qū)蔷€AC上的點(diǎn)時(shí)，有因此當(dāng)P為對(duì)角線OB或?qū)蔷€AC上的格點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P為好點(diǎn)；所以共197個(gè)好點(diǎn)。24、函數(shù)在[1,2]上恒正,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是。答案：解析：當(dāng)時(shí),,由知;當(dāng)時(shí),,再由可得。25、過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)作兩條弦和,過(guò)作橢圓的兩切線交于,過(guò)作橢圓的兩切線交于,那么直線的方程是____________________。答案：解析：設(shè),那么的方程為,再由過(guò)點(diǎn)有,即點(diǎn)在直線上.同理可知點(diǎn)也在該直線上,由兩點(diǎn)確定一直線知所求直線即。26、由正邊形的個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的梯形的個(gè)數(shù)是________________.答案：解析：正邊形共有條直徑,而所有梯形可分為兩類:一類平行于某條直徑,這類梯形有個(gè);另一類垂直于某條直徑,這類梯形有個(gè),于是梯形的總個(gè)數(shù)為.27、假設(shè)、，其中，，并且，那么實(shí)數(shù)對(duì)表示平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為。答案：90解析：個(gè)位的情況只有一類：；十位和百位有進(jìn)位和不進(jìn)位兩類：①十位：；百位：②十位：；百位：所以點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)。28、正三角形在平面內(nèi)的射影是邊長(zhǎng)為、、的三角形，那么正三角形的邊長(zhǎng)等于。答案：解析：設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離為、、，那么．令，，，即，，得，解得，。29、定義區(qū)間，，，的長(zhǎng)度均為，其中．實(shí)數(shù)，那么滿足的構(gòu)成的區(qū)間的長(zhǎng)度之和為。答案：2解析：由，得，整理，得，令，那么，，設(shè)方程的兩根為、，又因?yàn)?，所以．不等式的解集為，?gòu)成的區(qū)間長(zhǎng)度之和為．30、除以的余數(shù)是。答案：16解析：，那么，所以，所求為中減掉后，除以．而，可以看作是的的系數(shù)，所以，而可被整除，除以的余數(shù)為．31、在平面直角坐標(biāo)系中，圓與圓相交于點(diǎn)、，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，兩圓半徑的乘積為．假設(shè)直線與軸均與圓和圓相切，那么______________．答案：解析：由題意設(shè)圓心，圓心．圓和圓的方程分別為和，將代入兩方程，得，，所以、是方程的兩根，所以，所以直線的傾斜角為，直線的傾斜角為．32、一個(gè)12小時(shí)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘．在12:00后的分鐘，時(shí)針與分針的夾角恰好是．設(shè)是整數(shù)，且．那么所有可能的的值為。答案：262或458．解析：分針每小時(shí)〔60分鐘〕轉(zhuǎn)動(dòng)一周，那么分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)了，即；時(shí)針每12小時(shí)〔720分鐘〕轉(zhuǎn)動(dòng)一周，分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)了，即．由題意，得，其中是某些整數(shù)．那么．因?yàn)?，所以，從而．而是整?shù)，故必須能被11整除．設(shè)，其中是整數(shù)，那么，于是．因?yàn)?，所以，從而．又是整?shù)，能被5整除，故或．于是或．從而或．因此所有滿足題意的可能的的值是262與458．33、甲、乙兩人輪流擲一枚均勻的硬幣，誰(shuí)先擲出正面，誰(shuí)獲勝．他們連玩了數(shù)局，并規(guī)定前一局的輸家下一局先擲．假設(shè)甲第一局先擲，那么第六局甲獲勝的概率值為。答案：解析：任一局先擲的人獲勝的概率是．后擲的人獲勝的概率是．令為甲第局獲勝的概率，那么有，．即．從而．即．故．即第六局甲獲勝的概率是．34、滿足對(duì)每個(gè)，且的8元非負(fù)整數(shù)組的個(gè)數(shù)是。答案：1540解析：．只要考慮只要考慮因此所求個(gè)數(shù)為．35、使得不等式〔，〕恒成立的最大正實(shí)數(shù)的值為。答案：解析：取，不等式化為，即，解得。當(dāng)時(shí)，。36、如果2023個(gè)數(shù)，，…，滿足：〔其中n＝2，3，4，…，2023〕，那么可能到達(dá)的最大值為．答案：解答：，故或，故，∴．37、在圓周上隨機(jī)取四點(diǎn)A、B、C、D，那么線段AB與CD相交的概率是。答案：解析：．圓周上任取四點(diǎn)，將其標(biāo)為A、B、C、D，共有24種標(biāo)法，其中有8種使得AB與CD相交，因此概率為．38、設(shè)集合，是S的子集，且滿足：，，那么滿足條件的子集的個(gè)數(shù)為答案：371．解析：當(dāng)時(shí)，有種選擇方法，有6種選擇方法，所以共有種選擇方法；當(dāng)時(shí)，一旦取定，有種選擇方法，有種選擇方法，所以選擇的方法有種．綜上，滿足條件的子集共有371個(gè)。39、對(duì)任意實(shí)數(shù)x，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)。當(dāng)0≤x≤100時(shí)，的值域中有個(gè)不同的整數(shù)。答案：1201解析：由于將分為區(qū)間和。注意到在分母為3，4，5或6的分?jǐn)?shù)處有一個(gè)“跳躍〞〔也可以認(rèn)為是分母為4，因?yàn)椤?，而?nèi)分母為3，4，5或6的不同分?jǐn)?shù)有11個(gè)，故被分為12個(gè)左閉右開(kāi)的小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間對(duì)應(yīng)的一個(gè)不同值，所以在上取得了12個(gè)不同的值，于是當(dāng)時(shí)，的值域中有1201個(gè)不同的整數(shù)。40、一次考試共30題,評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定每題答對(duì)得5分,答錯(cuò)得0分,不答得2分,一個(gè)參賽選手在每題所得分的和叫做該選手的總分.假設(shè)參賽選手足夠多,那么所有可能給出的不同總分的種數(shù)是____________.答案：145解析：用表示某選手答對(duì)和不答的題數(shù),那么要求的元素個(gè)數(shù).假設(shè),那么易知,故當(dāng)且時(shí)必.注意到對(duì)每個(gè),可取從0到共個(gè)值,故的元素個(gè)數(shù)為31+30+29+28+27=145個(gè)。一試填空題訓(xùn)練注：每題5分，共200分。1、表示n的個(gè)位數(shù)，，那么數(shù)列的前項(xiàng)之和＝．2、，，那么＝．3、非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，那么的最小值是．4、設(shè)x、y、zR+，滿足xyz＋x＋z＝y(tǒng)，P＝，那么Pmax＝．5、經(jīng)過(guò)一個(gè)直平行六面體內(nèi)的一點(diǎn)作出3個(gè)平面分別平行于它的各面，這時(shí)它被分成8個(gè)較小的體積不等的平行六面體，那么在這些小平行六面體中至少有a個(gè)體積小于原平行六面體體積的，那么a最大值是．6、假設(shè)數(shù)列{an}使得，那么．7、如圖4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，從網(wǎng)格上任一點(diǎn)出發(fā)，沿著網(wǎng)格線行走．要求不能走重復(fù)的線段，那么一次行走能走過(guò)的最長(zhǎng)路程為．8、整數(shù)的末兩位數(shù)字是．9、將8本不同的書(shū)分別給3名學(xué)生，要求每個(gè)學(xué)生至少分得1本，有種分法〔用數(shù)字作答〕。10、在20名把戲滑冰運(yùn)發(fā)動(dòng)表演完以后，9名裁判員分別給他們判定從1～20的名次，每一個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)得到的名次中，各名次之差不超過(guò)3，假設(shè)每個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)所得到的名次的和排成遞增序列：≤c2≤…≤c20，那么c1的最大值為．11、假設(shè)為銳角，且那么的最大值為。12、以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)成的棱錐個(gè)數(shù)為。13、雙曲線以兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，兩焦點(diǎn)均在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為，又雙曲線上任一點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為，那么該雙曲線的離心率的取值范圍是。14、數(shù)列由全體正奇數(shù)自小到大排列而成，并且每個(gè)奇數(shù)連續(xù)出現(xiàn)次，，如果這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為那么15、假設(shè)集合中的每個(gè)元素都可表為中兩個(gè)不同的數(shù)之積，那么集中元素個(gè)數(shù)的最大值為.16、．用五種不同的顏色給圖中的“五角星〞的五個(gè)頂點(diǎn)染色，〔每點(diǎn)染一色，有的顏色也可以不用〕使每條線段上的兩個(gè)頂點(diǎn)皆不同色，那么不同的染色方法有種.17、以為六條棱長(zhǎng)的四面體個(gè)數(shù)為。18、正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，在棱上，當(dāng)點(diǎn)使得最小時(shí)，異面直線所成角的大小為。19、，是的一個(gè)子集，假設(shè)，且同時(shí)滿足和，那么稱為的一個(gè)“孤立點(diǎn)〞，那么的無(wú)孤立點(diǎn)的所有5元子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)___________.20、設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，直線的方程為，且點(diǎn)F的坐標(biāo)為，作于點(diǎn)Q，假設(shè)點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，那么該橢圓的離心率。21、設(shè)向量，滿足，且與的夾角為，假設(shè)與的夾角為鈍角，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________122、一個(gè)九宮格，每個(gè)小方格內(nèi)都是一個(gè)復(fù)數(shù)，它得每行、每列及對(duì)角線上三個(gè)格內(nèi)的復(fù)數(shù)和都相等，那么表示的復(fù)數(shù)為。23、在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O〔0，0〕，A〔100，0〕，B〔100，100〕，C〔0，100〕，假設(shè)正方形OABC內(nèi)部〔邊界和頂點(diǎn)除外〕一格點(diǎn)P滿足：，就稱格點(diǎn)P為“好點(diǎn)〞，那么正方形OABC內(nèi)部好點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)___________。24、函數(shù)在[1,2]上恒正,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是。25、過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)作兩條弦和,過(guò)