專題10 平行線與三角形-2022年中考數(shù)學真題分項匯編（全國通用）（解析版）

專題10平行線與三角形一．選擇題1．（2022·內(nèi)蒙古通遼）如圖，一束光線先后經(jīng)平面鏡，反射后，反射光線與平行，當時，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得：∠ABM=∠OBC，∠BCO=∠DCN，然后平行線的性質(zhì)可得∠BCD=70°，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：∠ABM=∠OBC，∠BCO=∠DCN，∵∠ABM=35°，∴∠OBC=35°，∴∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC=180°-35°-35°=110°，∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-∠ABC=70°，∵∠BCO+∠BCD+∠DCN=180°，∠BCO=∠DCN，∴．故選：A【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解題的關(guān)鍵．2．（2022·河北）要得知作業(yè)紙上兩相交直線AB，CD所夾銳角的大小，發(fā)現(xiàn)其交點不在作業(yè)紙內(nèi)，無法直接測量．兩同學提供了如下間接測量方案（如圖1和圖2）：對于方案Ⅰ、Ⅱ，說法正確的是（

）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行【答案】C【分析】用夾角可以劃出來的兩條線，證明方案Ⅰ和Ⅱ的結(jié)果是否等于夾角，即可判斷正誤【詳解】方案Ⅰ：如下圖，即為所要測量的角∵∴∴故方案Ⅰ可行方案Ⅱ：如下圖，即為所要測量的角在中：則：故方案Ⅱ可行故選：C【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和；本題的突破點是用可畫出夾角的情況進行證明3．（2022·河南）如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥CD，垂足為O．若∠1＝54°，則∠2的度數(shù)為（

）A．26° B．36° C．44° D．54°【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義可得，根據(jù)平角的定義即可求解．【詳解】解：EO⊥CD，，，．故選：B．【點睛】本題考查了垂線的定義，平角的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．4．（2022·湖北鄂州）如圖，直線l1l2，點C、A分別在l1、l2上，以點C為圓心，CA長為半徑畫弧，交l1于點B，連接AB．若∠BCA＝150°，則∠1的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】B【分析】由作圖得為等腰三角形，可求出，由l1l2得，從而可得結(jié)論．【詳解】解：由作圖得，，∴為等腰三角形，∴∵∠BCA＝150°，∴∵l1l2∴故選B【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，求出是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022·湖南郴州）如圖，直線，且直線a，b被直線c，d所截，則下列條件不能判定直線的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的判定條件進行分析即可得出結(jié)果．【詳解】解：A、當時，；故A不符合題意；B、當時，；故B不符合題意；C、當時，；故C符合題意；D、∵，則，∵，則，∴；故D不符合題意；故選：C【點睛】本題主要考查平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定條件并靈活運用．6．（2022·山東濰坊）如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個平面鏡的鏡面與平行，入射光線l與出射光線m平行．若入射光線l與鏡面的夾角，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，可得∠1=∠2，可求出∠5，由//可得∠6=∠5【詳解】解：由入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，可得∠1=∠2，∵∴∴∵//∴故選：C【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·北京）如圖，利用工具測量角，則的大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【分析】利用對頂角相等求解．【詳解】解：量角器測量的度數(shù)為30°，由對頂角相等可得，．故選A．【點睛】本題考查量角器的使用和對頂角的性質(zhì)，掌握對頂角相等是解題的關(guān)鍵．8．（2022·黑龍江）如圖，中，，AD平分與BC相交于點D，點E是AB的中點，點F是DC的中點，連接EF交AD于點P．若的面積是24，，則PE的長是（

）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【答案】A【分析】連接DE，取AD的中點G，連接EG，先由等腰三角形“三線合一“性質(zhì)，證得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中點，G是AD的中點，求出S△EGD=3，然后證△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，從而得DG=3，即可由三角形面積公式求出EG長，由勾股定理即可求出PE長．【詳解】解：如圖，連接DE，取AD的中點G，連接EG，∵AB=AC，AD平分與BC相交于點D，∴AD⊥BC，BD=CD，∴S△ABD==12，∵E是AB的中點，∴S△AED==6，∵G是AD的中點，∴S△EGD==3，∵E是AB的中點，G是AD的中點，∴EGBC，EG=BD=CD，∴∠EGP=∠FDP=90°，∵F是CD的中點，∴DF=CD，∴EG=DF，∵∠EPG=∠FPD，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴GP=PD=1.5，∴GD=3，∵S△EGD==3，即，∴EG=2，在Rt△EGP中，由勾股定理，得PE==2.5，故選：A．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形中線分三角形兩部分的面積相等是解題的關(guān)鍵．9．（2022·貴州遵義）如圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若，，則點到的距離為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意求得，進而求得，進而等面積法即可求解．【詳解】解：在中，，，，，設(shè)到的距離為，，，故選B．【點睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．10．（2022·廣西）活動探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，如己知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所對的邊為，滿足已知條件的三角形有兩個（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分情況討論，當△ABC是一個直角三角形時，當△AB1C是一個鈍角三角形時，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求解即可．【詳解】如圖，當△ABC是一個直角三角形時，即，，；如圖，當△AB1C是一個鈍角三角形時，過點C作CD⊥AB1，，，，，，，，，，綜上，滿足已知條件的三角形的第三邊長為或，故選：C．【點睛】本題考查了根據(jù)已知條件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．11．（2022·山東煙臺）如圖，某海域中有A，B，C三個小島，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏東35°方向，且B，C到A的距離相等，則小島C相對于小島A的方向是（）A．北偏東70° B．北偏東75° C．南偏西70° D．南偏西20°【答案】A【分析】根據(jù)題意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠C＝75°，從而求出∠BAC的度數(shù)，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠DAB＝∠ABE＝40°，從而求出∠DAC的度數(shù)，即可解答．【詳解】解：如圖：由題意得：∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，∵AD∥BE，∴∠DAB＝∠ABE＝40°，∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，∴小島C相對于小島A的方向是北偏東70°，故選：A．．【點睛】本題考查了方向角，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·河北）如圖，將△ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕l，則l是△ABC的（

）A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，作出選擇即可．【詳解】解：如圖，∵由折疊的性質(zhì)可知，∴AD是的角平分線，故選：D．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)和角平分線的定義，理解角平分線的定義是解答本題的關(guān)鍵．13．（2022·廣西賀州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，則∠A的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，即可得出∠A的度數(shù)．【詳解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°；故選：A．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．14．（2022·湖南永州）如圖，在中，，，點為邊的中點，，則的長為（）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，∴∠A=30°，∵點D為邊AC的中點，BD=2∴AC=2BD=4，∴BC=，故選：C．【點睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．15．（2022·湖南永州）下列多邊形具有穩(wěn)定性的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用三角形具有穩(wěn)定性直接得出答案．【詳解】解：三角形具有穩(wěn)定性，四邊形、五邊形、六邊形都具有不穩(wěn)定性，故選D．【點睛】本題考查三角形的特性，牢記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．16．（2022·廣西玉林）請你量一量如圖中邊上的高的長度，下列最接近的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可．【詳解】解：如圖所示，過點A作AO⊥BC，用刻度尺直接量得AO更接近2cm，故選：D．【點睛】題目主要考查利用刻度尺量取三角形高的長度，作出三角形的高是解題關(guān)鍵．17．（2022·黑龍江大慶）下列說法不正確的是(

)A．有兩個角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形B．有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形C．有兩個角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形【答案】A【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的判定，對各選項逐項分析可得出正確答案．【詳解】解：A、設(shè)∠1、∠2為銳角，因為：∠1+∠2+∠3=180°，所以：∠3可以為銳角、直角、鈍角，所以該三角形可以是銳角三角形，也可以是直角或鈍角三角形，故A選項不正確，符合題意；B、如圖，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，且BE=CD．∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CDB=∠BEC=90°，在Rt△BCD與Rt△CBE中，，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．，故B選項正確，不符合題意；C、根據(jù)直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形，，故C選項正確，不符合題意；D、底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形，故D選項正確，不符合題意；故選：A．【點睛】本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的判定，要求學生在學習過程中掌握三角形的各種性質(zhì)及推論，不斷提升數(shù)學學習的能力．18．（2022·廣西梧州）如圖，在中，是的角平分線，過點D分別作，垂足分別是點E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線、底邊上的中線這三線合一及角平分線的性質(zhì)即可判斷求解．【詳解】解：∵是的角平分線，∴，∴，故選項A、D結(jié)論正確，不符合題意；又是的角平分線，，∴，故選項B結(jié)論正確，不符合題意；由已知條件推不出，故選項C結(jié)論錯誤，符合題意；故選：C．【點睛】本題考察了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握其性質(zhì)即可．19．（2022·四川樂山）如圖，等腰△ABC的面積為2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．點P是線段AB上一動點，連接PE，過點E作PE的垂線交BC的延長線于點F，M是線段EF的中點．那么，當點P從A點運動到B點時，點M的運動路徑長為（

）A． B．3 C． D．4【答案】D【分析】當P與A重合時，點F與C重合，此時點M在N處，當點P與B重合時，如圖，點M的運動軌跡是線段MN．求出CF的長即可解決問題．【詳解】解：過點A作AD⊥BC于點D，連接CE，∵AB=AC，∴BD=DC=BC=1，∵AE=BC，∴AE=DC=1，∵AE∥BC，∴四邊形AECD是矩形，∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，∴AD=2，則CE=AD=2，當P與A重合時，點F與C重合，此時點M在CE的中點N處，當點P與B重合時，如圖，點M的運動軌跡是線段MN．∵BC=2，CE=2，由勾股定理得BE=4，cos∠EBC=，即，∴BF=8，∵點N是CE的中點，點M是EF的中點，∴MN=BF=4，∴點M的運動路徑長為4，故選：D．【點睛】本題考查點的軌跡、矩形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點M的運動軌跡，學會利用起始位置和終止位置尋找軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．20．（2022·四川涼山）下列長度的三條線段能組成三角形的是（

）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理（任意兩邊之和大于第三邊）逐項判斷即可得．【詳解】解：A、，不能組成三角形，此項不符題意；B、，不能組成三角形，此項不符題意；C、，能組成三角形，此項符合題意；D、，不能組成三角形，此項不符題意；故選：C．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系定理是解題關(guān)鍵．21．（2022·四川成都）如圖，在和中，點，，，在同一直線上，，，只添加一個條件，能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形全等的判定做出選擇即可．【詳解】A、，不能判斷，選項不符合題意；B、，利用SAS定理可以判斷，選項符合題意；C、，不能判斷，選項不符合題意；D、，不能判斷，選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查三角形全等的判定，根據(jù)SSS、SAS、ASA、AAS判斷三角形全等，找出三角形全等的條件是解答本題的關(guān)鍵．22．（2022·山東聊城）如圖，中，若，，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下結(jié)論錯誤的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)判斷即可．【詳解】∵，，∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°，A．由作圖可知，平分，∴，故選項A正確，不符合題意；B．由作圖可知，MQ是BC的垂直平分線，∴，∵，∴，故選項B正確，不符合題意；C．∵，，∴，∵，∴，故選項C正確，不符合題意；D．∵，，∴；故選項D錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息．23．（2022·海南）如圖，直線，是等邊三角形，頂點B在直線n上，直線m交于點E，交于點F，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠A=60°，再由三角形外角的性質(zhì)可得∠AEF=∠1-∠A=80°，從而得到∠BEF=100°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴∠A=60°，∵∠1=140°，∴∠AEF=∠1-∠A=80°，∴∠BEF=180°-∠AEF=100°，∵，∴∠2=∠BEF=100°．故選：B【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2022·黑龍江齊齊哈爾）如圖所示，直線a∥b，點A在直線a上，點B在直線b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，則∠2的度數(shù)為（

）A．57°B．63°C．67°D．73°【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出，可得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：∵AC=BC，∴是等腰三角形，∵∴∴∵a∥b，∴故選：D【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，求出是解答本題的關(guān)鍵．25．（2022·湖北恩施）已知直線，將含30°角的直角三角板按圖所示擺放．若，則（

）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠3=∠1=120°，再由對頂角相等可得∠4=∠3=120°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得：∠5=30°，∵，∴∠3=∠1=120°，∴∠4=∠3=120°，∵∠2=∠4+∠5，∴∠2=120°+30°=150°．故選：D【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，對頂角相等，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，對頂角相等，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題26．（2022·遼寧錦州）如圖，在中，，點D為的中點，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到，當點A的對應(yīng)點落在邊上時，點在的延長線上，連接，若，則的面積是____________．【答案】【分析】先證明是等邊三角形，再證明，再利用直角三角形角對應(yīng)的邊是斜邊的一般分別求出和，再利用勾股定理求出，從而求得的面積．【詳解】解：如下圖所示，設(shè)與交于點O，連接和，∵點D為的中點，，∴,，是的角平分線，是，∴，∴∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴∵∵，∴∴，,∴．【點睛】本題考查等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)，證明是等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．27．（2022·湖南郴州）如圖．在中，，．以點A為圓心，以任意長為半徑作弧交AB，AC于D，E兩點；分別以點D，E為圓心，以大于長為半徑作弧，在內(nèi)兩弧相交于點P；作射線AP交BC于點F，過點F作，垂足用G．若，則的周長等于________cm．【答案】8【分析】由角平分線的性質(zhì)，得到，然后求出的周長即可．【詳解】解：根據(jù)題意，在中，，，由角平分線的性質(zhì)，得，∴的周長為：；故答案為：8【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．28．（2022·江蘇常州）如圖，在中，是中線的中點．若的面積是1，則的面積是______．【答案】2【分析】根據(jù)的面積的面積，的面積的面積計算出各部分三角形的面積．【詳解】解：是邊上的中線，為的中點，根據(jù)等底同高可知，的面積的面積，的面積的面積的面積，故答案為：2．【點睛】本題考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用三角形的中線平分三角形面積進行計算．29．（2022·黑龍江哈爾濱）在中，為邊上的高，，，則是___________度．【答案】40或80##80或40【分析】根據(jù)題意，由于類型不確定，需分三種情況：高在三角形內(nèi)部、高在三角形邊上和高在三角形外部討論求解．【詳解】解：根據(jù)題意，分三種情況討論：①高在三角形內(nèi)部，如圖所示：在中，為邊上的高，，，，；②高在三角形邊上，如圖所示：可知，，故此種情況不存在，舍棄；③高在三角形外部，如圖所示：在中，為邊上的高，，，，；綜上所述：或，故答案為：或．【點睛】本題考查求角度問題，在沒有圖形的情況下，必須考慮清楚各種不同的情況，根據(jù)題意分情況討論是解決問題的關(guān)鍵．30．（2022·四川成都）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點和為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點和；②作直線交邊于點．若，，，則的長為_________．【答案】7【分析】連接EC，依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得．由已知易得，在Rt△AEC中運用勾股定理求得AE，即可求得答案．【詳解】解：由已知作圖方法可得，是線段的垂直平分線，連接EC，如圖，所以，所以，所以∠BEC=∠CEA=90°，因為，，所以，在中，，所以，因此的長為7．故答案為：7．【點睛】本題主要考查中垂線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握中垂線上一點到線段兩端點距離相等，由勾股定理求得即可．31．（2022·內(nèi)蒙古通遼）在中，，有一個銳角為，，若點在直線上（不與點，重合），且，則的長為_______．【答案】或9或3【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法，分別求解即可．【詳解】解：當∠ABC=60°時，則∠BAC=30°，∴，∴，當點P在線段AB上時，如圖，∵，∴∠BPC=90°，即PC⊥AB，∴；當點P在AB的延長線上時，∵，∠PBC=∠PCB+∠CPB，∴∠CPB=30°，∴∠CPB=∠PCB，∴PB=BC=3，∴AP=AB+PB=9；當∠ABC=30°時，則∠BAC=60°，如圖，∴，∵，∴∠APC=60°，∴∠ACP=60°，∴∠APC=∠PAC=∠ACP，∴△APC為等邊三角形，∴PA=AC=3．綜上所述，的長為或9或3．故答案為：或9或3【點睛】本題是解直角三角形綜合題，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)等，分類求解是本題解題的關(guān)鍵．32．（2022·湖南岳陽）如圖，在中，，于點，若，則______．【答案】3【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知是的中點，即可求出的長．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案為：3．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵．33．（2022·江蘇無錫）△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F．如圖，若點D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝________°；現(xiàn)將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是________．【答案】

80

##【分析】利用SAS證明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，據(jù)此可求得∠BAF的度數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四個點在同一個圓上，當BF是圓C的切線時，即當CD⊥BF時，∠FBC最大，則∠FBA最小，此時線段AF長度有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠DBC，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；設(shè)BF與AC相交于點H，如圖：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四個點在同一個圓上，∵點D在以C為圓心，3為半徑的圓上，當BF是圓C的切線時，即當CD⊥BF時，∠FBC最大，則∠FBA最小，∴此時線段AF長度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，過點F作FG⊥DE于點G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，∴AF=AE-FE=4-，故答案為：80；4-．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．34．（2022·湖南永州）我國古代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識地給出了勾股定理的證明.如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則______．【答案】3【分析】根據(jù)題意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，設(shè)AF=DE=CH=BG=x，結(jié)合圖形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根據(jù)題意，設(shè)AF=DE=CH=BG=x，則AE=x-1，在Rt?AED中，，即，解得：x=4（負值已經(jīng)舍去），∴x-1=3，故答案為：3．【點睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，一元二次方程的應(yīng)用等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．35．（2022·黑龍江齊齊哈爾）在△ABC中，，，，則______________．【答案】或【分析】畫出圖形，分△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論即可．【詳解】解：情況一：當△ABC為銳角三角形時，如圖1所示：過A點作AH⊥BC于H，∵∠B=45°，∴△ABH為等腰直角三角形，∴,在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，∴．情況二：當△ABC為鈍角三角形時，如圖2所示：由情況一知：，，∴．故答案為：或．【點睛】本題考察了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是能將△ABC分成銳角三角形或鈍角三角形分類討論．36．（2022·貴州遵義）如圖，在等腰直角三角形中，，點，分別為，上的動點，且，．當?shù)闹底钚r，的長為__________．【答案】【分析】過點作，且，證明，可得，當三點共線時，取得最小值，證明，即可求解．【詳解】如圖，過點作，且，連接，如圖1所示，，又，，，，當三點共線時，取得最小值，此時如圖2所示，在等腰直角三角形中，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，即取得最小值為，故答案為：．圖1

圖2【點睛】本題考查了等腰直角三角的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短，轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵．37．（2022·廣西）如圖擺放一副三角板，直角頂點重合，直角邊所在直線分別重合，那么∠BAC的大小為______【答案】135°##135度【分析】根據(jù)三角板及其擺放位置可得，求解即可．【詳解】，，故答案為：135°．【點睛】本題考查了求一個角的補角，即兩個角的和為180度時，這兩個角互為補角，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．38．（2022·廣西桂林）如圖，點C是線段AB的中點，若AC＝2cm，則AB＝_____cm．【答案】4【分析】根據(jù)中點的定義可得AB＝2AC＝4cm．【詳解】解：根據(jù)中點的定義可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，故答案為：4．【點睛】本題主要考查中點的定義，熟知中點的定義是解題關(guān)鍵．39．（2022·貴州遵義）數(shù)學小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28°，求北緯28緯線的長度．小組成員查閱相關(guān)資料，得到如下信息：信息一：如圖1，在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；信息二：如圖2，赤道半徑約為6400千米，弦，以為直徑的圓的周長就是北緯28°緯線的長度；（參考數(shù)據(jù)：，，，）根據(jù)以上信息，北緯28°緯線的長度約為__________千米．【答案】33792【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，在中，利用銳角三角函數(shù)求出，即為以為直徑的圓的半徑，求出周長即可．【詳解】解：如圖，過點O作，垂足為D，根據(jù)題意，∵，∴，∵在中，，∴，∵，∴由垂徑定理可知：，∴以為直徑的圓的周長為，故答案為：33792．【點睛】本題考查解直角三角形，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練三角函數(shù)的含義與解直角三角形的方法．三．解答題40．（2022·廣東）如圖，已知，點P在上，，，垂足分別為D，E．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，再用HL證明．【詳解】證明：∵，∴為的角平分線，又∵點P在上，，，∴，，又∵（公共邊），∴．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，利用合適的條件證明三角形全等是本題的關(guān)鍵．41．（2022·廣西）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝(1)求證：△ABC≌△CDA；(2)求草坪造型的面積．【答案】(1)見解析(2)草坪造型的面積為【分析】（1）根據(jù)“SSS”直接證明三角形全等即可；（2）過點A作AE⊥BC于點E，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出的長度，繼而求出的面積，再由全等三角形面積相等得出，即可求出草坪造型的面積．(1)在和中，，；(2)過點A作AE⊥BC于點E，，，，，，，，草坪造型的面積，所以，草坪造型的面積為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．42．（2022·貴州銅仁）如圖，點C在上，．求證：．【答案】見解析【分析】直接根據(jù)一線三垂直模型利用AAS證明即可．【詳解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B=∠D=∠ACE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知一線三垂直模型是解題的關(guān)鍵．43．（2022·四川宜賓）已知：如圖，點A、D、C、F在同一直線上，，，．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)，可得，根據(jù)證明，進而可得，根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解．【詳解】證明：∵，∴，在與中，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．44．（2022·北京）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°，已知：如圖，,求證：方法一證明：如圖，過點A作方法二證明：如圖，過點C作【答案】答案見解析【分析】選擇方法一，過點作，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到，，再根據(jù)平角的定義，即可得到三角形的內(nèi)角和為．【詳解】證明：過點作，則，．兩直線平行，內(nèi)錯角相等）點，，在同一條直線上，．（平角的定義）．即三角形的內(nèi)角和為．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．45．（2022·湖南長沙）如圖，AC平分，垂足分別為B，D．(1)求證：；(2)若，求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)見解析(2)12【分析】（1）由角平分線的定義和垂直的定義求出，結(jié)合已知條件，利用“AAS”即可求證；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，根據(jù)三角形的面積公式求出，再根據(jù)四邊形ABCD的面積求解即可．(1)AC平分，，，；(2)，，，，，四邊形ABCD的面積．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握它們是解題的關(guān)鍵．46．（2022·湖南湘潭）在中，，，直線經(jīng)過點，過點、分別作的垂線，垂足分別為點、．(1)特例體驗：如圖①，若直線，，分別求出線段、和的長；(2)規(guī)律探究：①如圖②，若直線從圖①狀態(tài)開始繞點旋轉(zhuǎn)，請?zhí)骄烤€段、和的數(shù)量關(guān)系并說明理由；②如圖③，若直線從圖①狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，與線段相交于點，請再探線段、和的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段交線段于點，若，，求．【答案】(1)BD=1；CE=1；DE=2(2)DE=CE+BD；理由見解析；②BD=CE+DE；理由見解析(3)【分析】（1）先根據(jù)得出，根據(jù)，得出，，再根據(jù)，求出，，即可得出，最后根據(jù)三角函數(shù)得出，，即可求出；（2）①DE=CE+BD；根據(jù)題意，利用“AAS”證明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出結(jié)論；②BD=CE+DE；根據(jù)題意，利用“AAS”證明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出結(jié)論；（3）在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)，得出，代入數(shù)據(jù)求出AF，根據(jù)AC=5，算出CF，即可求出三角形的面積．(1)解：∵，，∴，∵，∴，，∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，，∴，∴，，∴．(2)DE=CE+BD；理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，∵，∴，∴，∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=CE+BD，即DE=CE+BD；②BD=CE+DE，理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，∵，∴，∴，∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=CE+DE．(3)根據(jù)解析（2）可知，AD=CE=3，∴，在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理可得：，∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴，∴，即，解得：，∴，∵AB=AC=5，∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．47．（2022·江蘇常州）在四邊形中，是邊上的一點．若，則點叫做該四邊形的“等形點”．(1)正方形_______“等形點”（填“存在”或“不存在”）；(2)如圖，在四邊形中，邊上的點是四邊形的“等形點”．已知，，，連接，求的長；(3)在四邊形中，EH//FG．若邊上的點是四邊形的“等形點”，求的值．【答案】(1)不存在，理由見詳解(2)(3)1【分析】（1）根據(jù)“等形點”的概念，采用反證法即可判斷；（2）過A點作AM⊥BC于點M，根據(jù)“等形點”的性質(zhì)可得AB=CD=，OA=OC=5，OB=7=OD，設(shè)MO=a，則BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，則在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC；（3）根據(jù)“等形點”的性質(zhì)可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根據(jù)，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，進而有OE=OH，可得OF=OG，則問題得解．(1)不存在，理由如下：假設(shè)正方形ABCD存在“等形點”點O，即存在△OAB≌△OCD，∵在正方形ABCD中，點O在邊BC上，∴∠ABO=90°，∵△OAB≌△OCD，∴∠ABO=∠CDO=90°，∴CD⊥DO，∵CD⊥BC，∴，∵O點在BC上，∴DO與BC交于點O，∴假設(shè)不成立，故正方形不存在“