專(zhuān)題13 相似三角形-2022年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）（解析版）

專(zhuān)題13相似三角形一．選擇題1．（2022·黑龍江哈爾濱）如圖，相交于點(diǎn)E，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．4 C． D．6【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例可求得BE的長(zhǎng)，即可求得BD的長(zhǎng)．【詳解】∵∴∴∵，∴∵∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例，解題的關(guān)鍵在于找到對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)．2．（2022·廣西賀州）如圖，在中，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．3．（2022·廣西梧州）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形的位似圖形﹐已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（

）A．4 B．6 C．16 D．18【答案】D【分析】?jī)蓤D形位似必相似，再由相似的圖形面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：由題意可知，四邊形與四邊形相似，由兩圖形相似面積比等于相似比的平方可知：，又四邊形的面積是2，∴四邊形的面積為18，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考察相似多邊形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握相似圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022·四川雅安）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點(diǎn)，DE∥BC，若＝，那么＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求解再證明可得【詳解】解：＝，DE∥BC，故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．5．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)E，連接，則與的周長(zhǎng)比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【答案】D【分析】運(yùn)用網(wǎng)格圖中隱藏的條件證明四邊形DCBM為平行四邊形，接著證明，最后利相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比即可求出．【詳解】如圖：由題意可知，，，∴，而，∴四邊形DCBM為平行四邊形，∴，∴，，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．6．（2022·黑龍江綏化）如圖，在矩形中，P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)B作射線，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交邊于點(diǎn)M，且使得，如果，，，，其中．則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（

）（1）y與x的關(guān)系式為；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】（1）證明，得，將，，代入，即可得y與x的關(guān)系式；（2）利用兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等，判定；（3）過(guò)點(diǎn)M作垂足為F，在中，由勾股定理得BP的長(zhǎng)，證明，求出，，BF的長(zhǎng)，在中，求出的值即可．【詳解】解：（1）∵在矩形中，∴，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，解得：，故（1）正確；（2）當(dāng)時(shí)，，∴，又∵，∴，故（2）正確；（3）過(guò)點(diǎn)M作垂足為F，∴，∵當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴故（3）不正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，正確找出相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·湖北鄂州）如圖，定直線MNPQ，點(diǎn)B、C分別為MN、PQ上的動(dòng)點(diǎn)，且BC=12，BC在兩直線間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有∠BCQ=60°．點(diǎn)A是MN上方一定點(diǎn)，點(diǎn)D是PQ下方一定點(diǎn)，且AEBCDF，AE=4，DF=8，AD=24，當(dāng)線段BC在平移過(guò)程中，AB+CD的最小值為（

）A．24 B．24 C．12 D．12【答案】C【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作交BC于H，連接EH，可證明四邊形CDFH是平行四邊形，得到CH=DF=8，CD=FH，則BH=4，從而可證四邊形ABHE是平行四邊形，得到AB=HE，即可推出當(dāng)E、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，延長(zhǎng)AE交PQ于G，過(guò)點(diǎn)E作ET⊥PQ于T，過(guò)點(diǎn)A作AL⊥PQ于L，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥PQ于K，證明四邊形BEGC是平行四邊形，∠EGT=∠BCQ=60°，得到EG=BC=12，然后通過(guò)勾股定理和解直角三角形求出ET和TF的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作交BC于H，連接EH，∵，∴四邊形CDFH是平行四邊形，∴CH=DF=8，CD=FH，∴BH=4，∴BH=AE=4，

又∵，∴四邊形ABHE是平行四邊形，∴AB=HE，∵，∴當(dāng)E、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，延長(zhǎng)AE交PQ于G，過(guò)點(diǎn)E作ET⊥PQ于T，過(guò)點(diǎn)A作AL⊥PQ于L，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥PQ于K，∵，∴四邊形BEGC是平行四邊形，∠EGT=∠BCQ=60°，∴EG=BC=12，∴，同理可求得，，∴，

∵AL⊥PQ，DK⊥PQ，∴，∴△ALO∽△DKO，∴，∴，∴，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正確作出輔助線推出當(dāng)E、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF是解題的關(guān)鍵．8．（2022·廣西貴港）如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形中，，動(dòng)點(diǎn)E在邊上（與點(diǎn)A、B均不重合），點(diǎn)F在對(duì)角線上，與相交于點(diǎn)G，連接，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．的最小值為【答案】D【分析】先證明△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等邊三角形，得DF=CE，判斷A項(xiàng)答案正確，由∠GCB+∠GBC=60゜，得∠BGC=120゜，判斷B項(xiàng)答案正確，證△BEG△CEB得，即可判斷C項(xiàng)答案正確，由，BC=1，得點(diǎn)G在以線段BC為弦的弧BC上，易得當(dāng)點(diǎn)G在等邊△ABC的內(nèi)心處時(shí)，AG取最小值，由勾股定理求得AG=，即可判斷D項(xiàng)錯(cuò)誤．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，，∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等邊三角形，∴DF=CE，故A項(xiàng)答案正確，∠ABF=∠BCE，∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，∴∠GCB+∠GBC=60゜，∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B項(xiàng)答案正確，∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，∴△BEG∽△CEB，∴，∴，∵，∴，故C項(xiàng)答案正確，∵，BC=1，點(diǎn)G在以線段BC為弦的弧BC上，∴當(dāng)點(diǎn)G在等邊△ABC的內(nèi)心處時(shí)，AG取最小值，如下圖，

∵△ABC是等邊三角形，BC=1，∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，∴解得AG=，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故應(yīng)選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·貴州貴陽(yáng)）如圖，在中，是邊上的點(diǎn)，，，則與的周長(zhǎng)比是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先證明△ACD∽△ABC，即有，則可得，問(wèn)題得解．【詳解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∵，∴，∴，∴△ADC與△ACB的周長(zhǎng)比1:2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△ACD∽△ABC是解答本題的關(guān)鍵．10．（2022·廣西）已知△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，則△ABC與△A1B1C1的面積比（

）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的面積比等于位似比的平方，即可得到答案．【詳解】∵△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，∴△ABC與△A1B1C1的面積比為1：9，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的面積比等于位似比的平方是解題的關(guān)鍵．11．（2022·山東臨沂）如圖，在中，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，可得再建立方程即可．【詳解】解：，，，解得：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例，證明“”是解本題的關(guān)鍵．12．（2022·山東威海）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為(

)A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6【答案】C【分析】根據(jù)題意得出A、O、G在同一直線上，B、O、H在同一直線上，確定與△AOB位似的三角形為△GOH，利用銳角三角函數(shù)找出相應(yīng)規(guī)律得出OG=，再由相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，∴A、O、G在同一直線上，B、O、H在同一直線上，∴與△AOB位似的三角形為△GOH，設(shè)OA=x，則OB=，∴OC=，∴OD=，…∴OG=，∴，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查利用銳角三角函數(shù)解三角形，找規(guī)律問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)等，理解題意，找出相應(yīng)邊的比值規(guī)律是解題關(guān)鍵．二．填空題13．（2022·貴州黔東南）如圖，折疊邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片，折痕是，點(diǎn)落在點(diǎn)處，分別延長(zhǎng)、交于點(diǎn)、，若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則______cm．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DE=DC=4，EM=CM=2，連接DF，設(shè)FE=x，由勾股定理得BF，DF，從而求出x的值，得出FB，再證明，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求出FG．【詳解】解：連接如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴由折疊得，∠∴∠，設(shè)則有∴又在中，，∵∴∴在中，∴解得，（舍去）∴∴∴∵∠∴∠∴∠又∠∴△∴即∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．14．（2022·上海）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點(diǎn)，E在線段AC上，，則_____．【答案】或【分析】由題意可求出，取AC中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，滿足，進(jìn)而可求此時(shí)，然后在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則，證明△DE1E2是等邊三角形，求出E1E2＝，即可得到，問(wèn)題得解．【詳解】解：∵D為AB中點(diǎn)，∴，即，取AC中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，此時(shí)DE1∥BC，，∴，在AC上取一點(diǎn)E2，使得DE1＝DE2，則，∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠C=60°，BC＝，∵DE1∥BC，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等邊三角形，∴DE1＝DE2＝E1E2＝，∴E1E2＝，∵，∴，即，綜上，的值為：或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等，根據(jù)進(jìn)行分情況求解是解題的關(guān)鍵．15．（2022·北京）如圖，在矩形中，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】1【分析】根據(jù)勾股定理求出BC，以及平行線分線段成比例進(jìn)行解答即可．【詳解】解：在矩形中：，，∴，，∴，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．16．（2022·江蘇常州）如圖，在中，，，．在中，，，．用一條始終繃直的彈性染色線連接，從起始位置（點(diǎn)與點(diǎn)重合）平移至終止位置（點(diǎn)與點(diǎn)重合），且斜邊始終在線段上，則的外部被染色的區(qū)域面積是______．【答案】28【分析】過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，同時(shí)在圖上標(biāo)出如圖，需要知道的是的被染色的區(qū)域面積是，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四邊形的判定及性質(zhì)，求出相應(yīng)邊長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，同時(shí)在圖上標(biāo)出如下圖：，，，，在中，，，．，，，四邊形為平行四邊形，，，解得：，

，，，

，，，同理可證：，

，，，的外部被染色的區(qū)域面積為，故答案為：28．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形，相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求梯形的面積．17．（2022·廣西）數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)測(cè)量旗桿的影長(zhǎng)來(lái)求旗桿的高度，他們?cè)谀骋粫r(shí)刻測(cè)得高為2米的標(biāo)桿影長(zhǎng)為1.2米，此時(shí)旗桿影長(zhǎng)為7.2米，則旗桿的高度為_(kāi)_____米．【答案】12【分析】根據(jù)同時(shí)、同地物高和影長(zhǎng)的比不變，構(gòu)造相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：設(shè)旗桿為AB，如圖所示：根據(jù)題意得：，∴∵米，米，米，∴解得：AB=12米．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影、相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題．18．（2022·廣東深圳）已知是直角三角形，連接以為底作直角三角形且是邊上的一點(diǎn)，連接和且則長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，HE，利用證明，得，，從而得出，則，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，HE，是等腰直角三角形，又是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．19．（2022·廣西河池）如圖，把邊長(zhǎng)為1：2的矩形ABCD沿長(zhǎng)邊BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)對(duì)折，得到四邊形ABEF，點(diǎn)G，H分別在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG與BH交于點(diǎn)O，N為AF的中點(diǎn)，連接ON，作OM⊥ON交AB于點(diǎn)M，連接MN，則tan∠AMN＝_____．【答案】##0.625【分析】先判斷出四邊形ABEF是正方形，進(jìn)而判斷出△ABG≌△BEH，得出∠BAG=∠EBH，進(jìn)而求出∠AOB=90°，再判斷出△AOB~△ABG，求出，再判斷出△OBM～△OAN，求出BM=1，即可求出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，∴，∴四邊形ABEF是矩形，由題意知，AD=2AB，∴AF=AB，∴矩形ABEF是正方形，∴AB=BE，∠ABE=∠BEF=90°，∵BG=EH，∴△ABG≌△BEH（SAS），∴∠BAG=∠EBH，∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，∴∠AOB=90°，∵BG＝EH＝BE＝2，∴BE=5，∴AF=5，∴，∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG，∴△AOB∽△ABG，∴，即，∴，∵OM⊥ON，∴∠MON=90°=∠AOB，∴∠BOM=∠AON，∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，∴∠OBM=∠OAN，∴△OBM～△OAN，∴，∵點(diǎn)N是AF的中點(diǎn)，∴，∴，解得：BM=1，∴AM=AB-BM=4，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形性質(zhì)，正方形性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，求出BM是解本題的關(guān)鍵．20．（2022·內(nèi)蒙古赤峰）如圖，為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿AB的高度，九年級(jí)數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐小組，根據(jù)光的反射定律，利用鏡子、皮尺和測(cè)角儀等工具，按以下方式進(jìn)行測(cè)量：把鏡子放在點(diǎn)O處，然后觀測(cè)者沿著水平直線BO后退到點(diǎn)D，這時(shí)恰好能在鏡子里看到旗桿頂點(diǎn)A，此時(shí)測(cè)得觀測(cè)者觀看鏡子的俯角α=60°，觀測(cè)者眼睛與地面距離CD=1.7m，BD=11m，則旗桿AB的高度約為_(kāi)________m．（結(jié)果取整數(shù)，）【答案】17【分析】如圖容易知道CD⊥BD，AB⊥BD，即∠CDO=∠ABO=90°．由光的反射原理可知∠COD=∠AOB=60°，這樣可以得到△COD∽△AOB，然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例就可以求出AB．【詳解】解：由題意知∠COD=∠AOB=60°，∠CDE=∠ABE=90°，∵CD=1.7m，∴OD=≈1(m)，∴OB=11-1=10(m)，∴△COD∽△AOB．∴，即，∴AB=17(m)，答：旗桿AB的高度約為17m．故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的應(yīng)用，本題只要是把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)果．21．（2022·湖北鄂州）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，若BD=CE=2，則△ABP的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，從而求出BF，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，證明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再證明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，從而求出AP，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，∵CE=BD=2，AB=AC=6，∴AE=4，∴，∴BF=4，∴，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，又∵∠BDP=∠ADB，∴△BDP∽△ADB，∴，∴，∴，∴，∴△ABP的周長(zhǎng)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（2022·山東濰坊）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形的面積為4，以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形，若，則四邊形的外接圓的周長(zhǎng)為_(kāi)__________．【答案】【分析】根據(jù)正方形ABCD的面積為4，求出，根據(jù)位似比求出，周長(zhǎng)即可得出；【詳解】解：正方形ABCD的面積為4，，，，，所求周長(zhǎng)；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形，涉及知識(shí)點(diǎn)：正方形的面積，正方形的對(duì)角線，圓的周長(zhǎng)，解題關(guān)鍵求出正方形ABCD的邊長(zhǎng)．23．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，在中，，，D為邊上一點(diǎn)，且，連接，以點(diǎn)D為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)E（異于點(diǎn)C），連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)__________．【答案】##【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)題意得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，根據(jù)，，得出，設(shè)，則，證明，得出，列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，即可得出．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，如圖所示：根據(jù)作圖可知，，∵DF⊥BC，∴，∵，，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，平行線分線段成比例定理，平行線的判定，作出輔助線，根據(jù)題意求出CF的長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．24．（2022·江蘇泰州）如圖上，O為內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)O的直線分別與AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】2或##或2【分析】分析判斷出符合題意的DE的情況，并求解即可；【詳解】解：①如圖，作，，連接OB，則OD⊥AC，∵，∴∵O為的內(nèi)心，∴，∴∴，同理，，∴DE=CD+BE，∵O為的內(nèi)心，∴，∴∴∴②如圖，作，由①知，，，∵∴∴∴∴∵∴∴故答案為：2或．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)、勾股定理、三角形的相似，根據(jù)題意正確分析出符合題意的情況并應(yīng)用性質(zhì)定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．25．（2022·黑龍江綏化）如圖，，點(diǎn)在射線上，且，過(guò)點(diǎn)作交射線于，在射線上截取，使；過(guò)點(diǎn)作交射線于，在射線上截取，使.按照此規(guī)律，線段的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【分析】解直角三角形分別求得，，，……，探究出規(guī)律，利用規(guī)律即可解決問(wèn)題．【詳解】解：，是直角三角形，在中，，，，，，，，，，，同理可得：，，……，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的規(guī)律，解直角三角形，平行線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法．26．（2022·黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，……在x軸上且，，，……按此規(guī)律，過(guò)點(diǎn)，，，……作x軸的垂線分別與直線交于點(diǎn)，，，……記，，，……的面積分別為，，，……，則______．【答案】【分析】先求出，可得，再根據(jù)題意可得，從而得到∽∽∽∽……∽，再利用相似三角形的性質(zhì)，可得∶∶∶∶……∶=，即可求解．【詳解】解：當(dāng)x=1時(shí)，，∴點(diǎn)，∴，∴，∵根據(jù)題意得：，∴∽∽∽∽……∽，∴∶∶∶：……∶=OA12∶OA22∶OA32∶……∶OAn2，∵，，，，……，∴，，，……，，∴∶∶∶∶……∶=，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形與坐標(biāo)的規(guī)律題，相似三角形的判定和性質(zhì)，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．27．（2022·廣西）如圖，在正方形ABCD中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)E作，分別交于點(diǎn)F、G，連接BF，交AC于點(diǎn)H，將沿EF翻折，點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在BD上，得到若點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是_________．【答案】##【分析】過(guò)點(diǎn)E作PQAD交AB于點(diǎn)P，交DC于點(diǎn)Q，得到BP=CQ，從而證得≌，得到BE=EF，再利用，F(xiàn)為中點(diǎn)，求得，從而得到，再求出，再利用ABFC，求出，得到，求得，，從而得到EH=AH-AE=，再求得得到，求得EG=，OG=1，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，作FN⊥OD于點(diǎn)N，求得FM=2，MH=，F(xiàn)N=2，證得Rt≌Rt得到，從而得到ON=2，NG=1，，從而得到答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作PQAD交AB于點(diǎn)P，交DC于點(diǎn)Q，∵ADPQ，∴AP=DQ，，∴BP=CQ，∵，∴BP=CQ=EQ，∵EF⊥BE，∴∵∴，在與中

∴≌，∴BE=EF，又∵，F(xiàn)為中點(diǎn)，∴，∴，∴，又∵，

∴，∴AE=AO-EO=4-2=2，∵ABFC，∴，∴，∴，∵，

∴，，∴EH=AH-AE=，∵，，∴，又∵，

∴∴，，∴EG=，OG=1，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，∴FM=MC==，∴MH=CH-MC=，

作FN⊥OD于點(diǎn)N，，在Rt與Rt中∴Rt≌Rt∴，∴ON=2，NG=1，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)應(yīng)用，重點(diǎn)是與三角形相似和三角形全等的結(jié)合，熟練掌握做輔助線是解題的關(guān)鍵．28．（2022·遼寧）如圖，在正方形中，E為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F．若，則的面積為_(kāi)__________．【答案】3【分析】由正方形的性質(zhì)可知，，則有，然后可得，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，∴，，∴，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，∴，，∴，∴；故答案為3．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．29．（2022·貴州貴陽(yáng)）如圖，在四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，．若，則的面積是_______，_______度．【答案】

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【分析】通過(guò)證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出，，再利用勾股定理求出其長(zhǎng)度，即可求三角形ABE的面積，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，證明是等腰直角三角形，再求出，繼而證明，可知，利用外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】，，，，設(shè)，，，，在中，由勾股定理得，，解得或，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，，，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，，，，，，，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．三．解答題30．（2022·河北）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線．嘉琪在A處測(cè)得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點(diǎn)M的俯角為7°．已知爸爸的身高為1.7m．(1)求∠C的大小及AB的長(zhǎng)；(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線段DH，用其長(zhǎng)度表示最大水深（不說(shuō)理由），并求最大水深約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：取4，取4.1）【答案】(1)，(2)見(jiàn)詳解，約米【分析】（1）由水面截線可得，從而可求得，利用銳角三角形的正切值即可求解．（2）過(guò)點(diǎn)作，交MN于D點(diǎn)，交半圓于H點(diǎn)，連接OM，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥OB于G，水面截線，即可得DH即為所求，由圓周角定理可得，進(jìn)而可得，利用相似三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理即可求得的值，從而可求解．(1)解：∵水面截線，，，在中，，，，解得．(2)過(guò)點(diǎn)作，交MN于D點(diǎn)，交半圓于H點(diǎn)，連接OM，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥OB于G，如圖所示：水面截線，，，，為最大水深，，，，且，，，即，即，在中，，，，即，解得，，最大水深約為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，主要考查了銳角三角函數(shù)的正切值、圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握解直角三角形的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．31．（2022·吉林）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．【作業(yè)】如圖①，直線，與的面積相等嗎？為什么？解：相等．理由如下：設(shè)與之間的距離為，則，．∴．【探究】(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)在，之間時(shí)，設(shè)點(diǎn)，到直線的距離分別為，，則．證明：∵(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)在，之間時(shí)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則．證明：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，∴．∴．∴．由【探究】（1）可知，∴．(3)如圖④，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，連接交于點(diǎn)．若點(diǎn)，，所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，的值為．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可得，由此即可得證；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，先根據(jù)平行線的判定可得，再根據(jù)相似三角形的判定可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，然后結(jié)合【探究】（1）的結(jié)論即可得證；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)相似三角形的判定證出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的面積公式可得，，由此即可得出答案．(1)證明：，，．(2)證明：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，．．．由【探究】（1）可知，．(3)解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5，，0，，，，又，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．32．（2022·山東青島）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為．交于點(diǎn)F，連接．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)時(shí)，求t的值；(2)設(shè)四邊形的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)是否存在某一時(shí)刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）利用得，即，進(jìn)而求解；（2）分別過(guò)點(diǎn)C，P作，垂足分別為M，N，證得，，求得，再證得，得出，根據(jù)即可求出表達(dá)式；（3）當(dāng)時(shí)，易證，得出，則，進(jìn)而求出t值．(1)解：在中，由勾股定理得，∵繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到∴∵∴又∴∴∴∴答：當(dāng)時(shí)，t的值為．(2)解：分別過(guò)點(diǎn)C，P作，垂足分別為M，N∵∴又∴∴∴∴∵∴∴∴∴∴∴∴(3)解：假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使∵∴∵∴又∴∴∴∴∴存在時(shí)刻，使．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)與相似，利用勾股定理求線段長(zhǎng)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找到相似圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，是中考中的?？碱}．33．（2022·江蘇泰州）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn).(1)如圖①，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長(zhǎng)；(2)在圖②，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上做點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）(3)如圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】(1)2(2)圖見(jiàn)詳解(3)直線BC與⊙F相切，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）由題意易得，則有，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解；（2）作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；（3）作BR∥CF交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，連接CR，證明四邊形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后問(wèn)題可求解．(1)解：∵DE∥AB，∴，∴，∵AB=5，BD=9，DC=6，∴，∴；(2)解：作DT∥AC交AB于點(diǎn)T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求；如圖所示：點(diǎn)F即為所求，(3)解：直線BC與⊙F相切，理由如下：作BR∥CF交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，連接CR，如圖，∵∠DFA=∠A，∴四邊形ABRF是等腰梯形，∴，∵△FBC的面積等于，∴，∴CD⊥DF，∵FD是⊙F的半徑，∴直線BC與⊙F相切．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定是解題的關(guān)鍵．34．（2022·山東威海）回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考(1)如圖1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE．②點(diǎn)D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，連接BD，CE．求證：BD＝CE．（從①②兩題中選擇一題加以證明）(2)猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察經(jīng)過(guò)做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在△ABC中，AB＝AC，D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合）．對(duì)于點(diǎn)D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個(gè)與其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E，使得BD＝CE．進(jìn)而提出問(wèn)題：若點(diǎn)D，E分別運(yùn)動(dòng)到邊AC，AB的延長(zhǎng)線上，BD與CE還相等嗎？請(qǐng)解決下面的問(wèn)題：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并證明．(3)探究：用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E為邊AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），F(xiàn)為邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．判斷BF與CE能否相等．若能，求CF的取值范圍；若不能，說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)添加條件CD=BE，見(jiàn)解析(3)能，0＜CF＜【分析】（1）①利用ASA證明△ABD≌△ACE．②利用SAS證明△ABD≌△ACE．（2）添加條件CD=BE，證明AC+CD=AB+BE，從而利用SAS證明△ABD≌△ACE．（3）在AC上取一點(diǎn)D，使得BD=CE，根據(jù)BF=CE，得到BD=BF，當(dāng)BD=BF=BA時(shí)，可證△CBF∽△BAF，運(yùn)用相似性質(zhì)，求得CF的長(zhǎng)即可．(1)①如圖1，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD，CE是△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．②如圖1，∵AB=AC，點(diǎn)D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，∴AE=AD，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．(2)添加條件CD=BE，證明如下：∵AB=AC，CD=BE，∴AC+CD=AB+BE，∴AD=AE，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．(3)能在AC上取一點(diǎn)D，使得BD=CE，根據(jù)BF=CE，得到BD=BF，當(dāng)BD=BF=BA時(shí)，E與A重合，∵∠A＝36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，∴△CBF∽△BAF，∴，∵AB＝AC＝2=BF，設(shè)CF=x，∴，整理，得，解得x=，x=（舍去），故CF=x=，∴0＜CF＜．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定，三角形相似的判定性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．35．（2022·山東煙臺(tái)）(1)【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類(lèi)比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)①；②【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結(jié)論；（2）證明△BAD∽△CAE，進(jìn)而得出結(jié)果；（3）①先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進(jìn)而得出結(jié)果；②在①的基礎(chǔ)上得出∠ACE＝∠ABD，進(jìn)而∠BFC＝∠BAC，進(jìn)一步得出結(jié)果．(1)證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；(2)解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，；(3)解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，；②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．36．（2022·黑龍江綏化）我們可以通過(guò)面積運(yùn)算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個(gè)關(guān)系解決相關(guān)問(wèn)題．(1)如圖一，在等腰中，，邊上有一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作于E，于F，過(guò)點(diǎn)C作于G.利用面積證明：．(2)如圖二，將矩形沿著折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B落在處，點(diǎn)G為折痕上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作于M，于N.若，，求的長(zhǎng)．(3)如圖三，在四邊形中，E為線段上的一點(diǎn)，，，連接，且，，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，利用等面積法，根據(jù)等腰中，，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題中條件，利用折疊性質(zhì)得到，結(jié)合矩形中得到，從而有，從而確定是等腰三角形，從而利用（1）中的結(jié)論得到，結(jié)合勾股定理及矩形性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）延長(zhǎng)交于，連接，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)，，，得到是等腰三角形，從而由（1）知，在中，，在中，，，聯(lián)立方程求解得，從而得到結(jié)論．(1)證明：連接，如圖所示：在等腰中，，邊上有一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作于E，于F，過(guò)點(diǎn)C作于G，由得，；(2)解：連接，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：根據(jù)折疊可知，在矩形中，，則，，即是等腰三角形，在等腰中，，邊上有一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作于M，于N，過(guò)點(diǎn)作于，由（1）可得，在中，，，則，在四邊形中，，則四邊形為矩形，，即；(3)解：延長(zhǎng)交于，連接，過(guò)點(diǎn)作于，在四邊形中，E為線段上的一點(diǎn)，，，則，又，，，即是等腰三角形，由（1）可得，設(shè)，，，，在中，，在中，，，，解得，，即．【點(diǎn)睛】本題考查幾何綜合，涉及到等腰三角形的判定與性質(zhì)、等面積求線段關(guān)系、折疊的性質(zhì)、勾股定理求線段長(zhǎng)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，掌握（1）中的證明過(guò)程與結(jié)論并運(yùn)用到其他情境中是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．37．（2022·黑龍江齊齊哈爾）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對(duì)象的科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)有利于我們?cè)趫D形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們?cè)趯W(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會(huì)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)帶給我們的樂(lè)趣．如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別為邊BC、AB、AD的中點(diǎn)，連接EF、DF，H為DF的中點(diǎn)，連接GH．將△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，線段DF、GH和CE的位置和長(zhǎng)度也隨之變化．當(dāng)△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：(1)圖②中，AB=BC，此時(shí)點(diǎn)E落在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F落在線段BC上，連接AF，猜想GH與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)圖③中，AB=2，BC=3，則；(3)當(dāng)AB=m,BC=n時(shí)．．(4)在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對(duì)角線AC，并沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，得△ABC（如圖④)．點(diǎn)M、N分別在AC、BC上，連接MN，將△CMN沿MN翻折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在AB的延長(zhǎng)線上，若PM平分∠APN，則CM長(zhǎng)為．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)(3)(4)【分析】（1）先證明△ABF≌△CBE，得AF=CE，再根據(jù)中位線性質(zhì)得GH=，等量代換即可；（2）連接AF，先證明△ABF∽△CBE，得到AF：CE的比值，再根據(jù)中位線性質(zhì)得GH=，等量代換即可；（3）連接AF，先證明△ABF∽△CBE，用含m、n的代數(shù)式表達(dá)出AF：CE的比值，再根據(jù)中位線性質(zhì)得GH=，等量代換即可；（4）過(guò)M作MH⊥AB于H，根據(jù)折疊性質(zhì)得∠C=∠MPN，根據(jù)角平分線證明出∠C=∠PMH，設(shè)CM=PM=x，HM=y，根據(jù)三角函數(shù)定義找到x、y之間的關(guān)系，再利用△AHM∽△ABC，得到，代入解方程即可．(1)解：，理由如下：∵AB=BC，四邊形ABCD為矩形，∴四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC=∠CBE=90°，∵E、F為BC，AB中點(diǎn)，∴BE=BF，∴△ABF≌△CBE，∴AF=CE，∵H為DF中點(diǎn)，G為AD中點(diǎn)，∴GH=，∴．(2)解：，連接AF，如圖所示，由題意知，BF==1，BE==，∴，由矩形ABCD性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)知，∠ABC=∠CBE=90°，∴△ABF∽△CBE，∴AF：CE=2:3，∵G為AD中點(diǎn)，H為DF中點(diǎn)，∴GH=，∴．故答案為：．(3)解：，連接AF，如圖所示，由題意知，BF==，BE==，∴，由矩形ABCD性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)知，∠ABC=∠CBE=90°，∴△ABF∽△CBE，∴AF：CE=m：n，∵G為AD中點(diǎn)，H為DF中點(diǎn)，∴GH=，∴．故答案為：．(4)解：過(guò)M作MH⊥AB于H，如圖所示，由折疊知，CM=PM，∠C=∠MPN，∵PM平分∠APN，∴∠APM=∠MPN，∴∠C=∠APM，∵AB=2，BC=3，∴AC=，設(shè)CM=PM=x，HM=y，由知，，即，，

∵HM∥BC，∴△AHM∽△ABC，∴，即，，∴，解得：x=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)、折疊性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)定義等知識(shí)點(diǎn)，找到相似三角形是解題關(guān)鍵．38．（2022·湖南郴州）如圖1，在矩形ABCD中，，．點(diǎn)E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，D重合），連接CE，過(guò)點(diǎn)E作，交AB于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)如圖2，連接CF，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為G，連接AG．點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，連接GM．①求的最小值；②當(dāng)取最小值時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①5；②或【分析】（1）證明出即可求解；（2）①連接AM．先證明．確定出點(diǎn)G在以點(diǎn)M為圓心，3為半徑的圓上．當(dāng)A，G，M三點(diǎn)共線時(shí)，．此時(shí)，取最小值．在中利用勾股定理即可求出AM，則問(wèn)題得解．②先求出AF，求AF的第一種方法：過(guò)點(diǎn)M作交FC于點(diǎn)N，即有，進(jìn)而有．設(shè)，則，．再根據(jù)，得到，得到，則有，解方程即可求出AF；求AF的第二種方法：過(guò)點(diǎn)G作交BC于點(diǎn)H．即有．則有，根據(jù)，可得，進(jìn)而求出，．由得，即可求出AF．求出AF之后，由（1）的結(jié)論可得．設(shè)，則，即有，解得解方程即可求出DE．(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴．∵，∴，∴，∴；(2)①解：如圖2-1，連接AM．∵，∴是直角二角形．∴．∴點(diǎn)G在以點(diǎn)M為圓心，3為半徑的圓上．當(dāng)A，G，M三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形兩邊之和大于箒三邊得：，當(dāng)A，G，M三點(diǎn)共線時(shí)，．此時(shí)，取最小值．在中，．∴的最小值為5．②（求AF的方法一）如圖2-2，過(guò)點(diǎn)M作交FC于點(diǎn)N，∴．∴．設(shè)，則，∴．∵，∴，∴，由①知的最小值為5、即，又∵，∴．∴，解得，即．（求AF的方法二）如圖2-3，過(guò)點(diǎn)G作交BC于點(diǎn)H．∴．∴，由①知的最小值為5，即，又∵，∴．∴，．由得，∴，即，解得．∴．由（1）的結(jié)論可得．設(shè)，則，∴，解得或．∵，，∴或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行的性質(zhì)、勾股定理以及一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．39．（2022·山東濰坊）【情境再現(xiàn)】甲、乙兩個(gè)含角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點(diǎn)放在乙斜邊上的高的垂足O處，將甲繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接，如圖③所示，交于E，交于F，通過(guò)證明，可得．請(qǐng)你證明：．【遷移應(yīng)用】延長(zhǎng)分別交所在直線于點(diǎn)P，D，如圖④，猜想并證明與的位置關(guān)系．【拓展延伸】小亮將圖②中的甲、乙換成含角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接，如圖⑥所示，其他條件不變，請(qǐng)你猜想并證明與的數(shù)量關(guān)系．【答案】證明見(jiàn)解析；垂直；【分析】證明，即可得出結(jié)論；通過(guò)，可以求出，得出結(jié)論；證明，得出，得出結(jié)論；【詳解】證明：，，，，，，；遷移應(yīng)用：，證明：，，，，，，，；拓展延伸：，證明：在中，，在中，，，由上一問(wèn)題可知，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，涉及知識(shí)點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、等角的余角相等，解題關(guān)鍵結(jié)合圖形靈活應(yīng)用相關(guān)的判定與性質(zhì)．40．（2022·廣西貴港）已知：點(diǎn)C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點(diǎn)O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為_(kāi)_____，的值為_(kāi)_____；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當(dāng)與重合時(shí)，連接，若，求的長(zhǎng)；②如圖3，當(dāng)時(shí)，連接并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)F，連接．求證：．【答案】(1)等腰三角形，(2)①；②見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于H，可得四邊形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，進(jìn)而可判斷△BCD的形狀，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求解．（2）①過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，AC，BD均是直線l的垂線段，可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再利用勾股定理即可求解．②連接，根據(jù)，得，即是等邊三角形，把旋轉(zhuǎn)得，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一般得到，則可得，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求證結(jié)論．(1)解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于H，如圖所示：∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，∴四邊形ABHC是矩形，∴AC=BH，又∵BD=2AC，∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，∴的形狀為等腰三角形，∵AC、BD都垂直于l，∴△AOC∽△BOD，，即，，故答案為：等腰三角形，．(2)①過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，如圖所示：∵AC，BD均是直線l的垂線段，∴，∵是等邊三角形，且與重合，∴∠EAD=60°，∴，∴，∴在中，，，又∵，，∴，∴，又，∴，又由（1）知，∴，則，∴在中，由勾股定理得：．②連接，如圖3所示：∵，∴，∵是等腰三角形，∴是等邊三角形，又∵是等邊三角形，∴繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與重合，∴，又∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握三角形相似的判定及性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，巧妙借助輔助線是解題的關(guān)鍵．41．（2022·遼寧）如圖，在中，，D，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，當(dāng)射線交于點(diǎn)G，射線交于點(diǎn)N時(shí)，連接并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)M，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）連接，可得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，根據(jù)中位線定理可得，即可得證；（2）證明，根據(jù)（1）的結(jié)論即可得；（3）連接，過(guò)點(diǎn)作于，證明，可得，勾股定理求得，根據(jù)，，可得，進(jìn)而求得，根據(jù)求得，根據(jù)（2）的結(jié)論，即可求解．(1)證明：如圖，連接，，D，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，，，，，(2)，理由如下，連接，如圖，，D，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，，，，，，，(3)如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作于，中，,，，，，，，，中，，中，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正確，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．42．（2022·遼寧營(yíng)口）如圖1，在正方形中，點(diǎn)M為邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作且，連接，點(diǎn)P，Q分別為的中點(diǎn)，連接．(1)證明：；(2)將圖1中的繞正方形的頂點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．①（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合圖2寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若，在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)B，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①成立，見(jiàn)解析；②的長(zhǎng)為或【分析】（1），連接，取的中點(diǎn)，連接，證明是等腰直角三角形，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可得證；（2）①如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，證明，證明，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，則，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可得證；②分情況討論，根據(jù)勾股定理即可求的的長(zhǎng)，根據(jù)①的結(jié)論即可求解．(1)如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，且，是等腰直角三角形，，四邊形是正方形，則，且D,N,B在邊CD的同側(cè)，三點(diǎn)共線，設(shè)，，則，，分別為的中點(diǎn)，，分別為的中點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)作則是等腰直角三角形垂直平分，，，(2)①如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，，，，，，，，分別為的中點(diǎn)，，，，，分別為的中點(diǎn)，，，，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，，，，，，，；②如圖，當(dāng)共線，在的上方時(shí)，，，中，，，，，，，，如圖，當(dāng)共線，在的左邊時(shí)，中，，，，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．43．（2022·四川內(nèi)江）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點(diǎn)M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接BE交MC于點(diǎn)F．(1)當(dāng)F為BE的中點(diǎn)時(shí)，求證：AM＝CE；(2)若＝2，求的值；(3)若MN∥BE，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，即可證明結(jié)論；(2)利用△BMF∽△ECF，