大數(shù)定律及中心極限定理

第五章 大數(shù)定律及中心極限定理第一節(jié)引言、第二節(jié)大數(shù)定律一、教學(xué)目的要求.了解大數(shù)定律及中心極限定理的提出和發(fā)展歷史。.掌握引理：切貝雪夫不等式。.掌握常用的切貝雪夫大數(shù)定律、貝努里大數(shù)定理、辛欽大數(shù)定律的適用條件及定律內(nèi)容，會解答有關(guān)問題。二、教學(xué)方法講授法：講授大數(shù)定律、中心極限定理的概念。演繹法：推導(dǎo)切貝雪夫不等式、定理1，2,3及例題三、重點難點重點：掌握切貝雪夫不等式及握常用的大數(shù)定律。難點：大數(shù)定律應(yīng)用具體應(yīng)用。四、課時安排：2課時五、教具準(zhǔn)備：多媒體。六、教學(xué)步驟：(一)明確目標(biāo)：通過問題引入本次課的教學(xué)，明確大數(shù)定律、中心極限定理的概念，掌握貝雪夫不等式的推導(dǎo)及應(yīng)用，定理1及2的證明，了解定理3的條件及應(yīng)用。(二)教學(xué)過程及教學(xué)內(nèi)容：1問題引入：大數(shù)定律及中心極限定理的提出和發(fā)展歷史2.內(nèi)容：(1)定義5.2.1設(shè)XjX2，A,X,A是隨機變量序列，記Y=i(X+X+A+X)，若存在一個常數(shù)序列a「aQ,a；A，使得對任意正數(shù)￡，有則稱隨機變量序列｛x｝服從大數(shù)定律(LawofGreatNumbers)on(2)定義5.2.2設(shè)XjX2,A,X；A是隨機變量序列，a是一個常數(shù)，若對任意正數(shù)￡,有l(wèi)imP\x-a|<J=1ns n則稱隨機變量序列｛x｝依概率收斂(ConvergenceInProbability)于常數(shù)a，記為：X—pfa。n n(3)推論：可以證明：若X―pfa,Y―pfb,g(%,y)在點(a,b)連續(xù)，則有：nn

g(X.,Y)~p^-g(a,b)。.(重要)引理5.2.1對于任何具有有限方差的隨機變量X及任意正數(shù)e恒成立P卜—E(X)|>￡^<D(X) (5.2.1)公式(5.2.1)稱為契比雪夫(Chebyshev)不等式。.利用引理的例子： 例5.2.1證明：當(dāng)D(X)=0時，P{x=E(X)}=1。(6)定理5.2.1設(shè)隨機變量X-X2，A,XjA相互獨立，具有有限方差，且存在常數(shù)。使得D(X)<C,(k=1,2,A)，則對任意正數(shù)8，恒成立limP出Ex-1ZE(X)<8[=1 (5.2.2)-1%曰k%=1 kJ定理5.2.1稱為契比雪夫Chebyshev大數(shù)定律。利用引理證明契比雪夫Chebyshev大數(shù)定律。(7)注意到上述定理的全部條件實際上是為了保證下述的Markov條件成立所以我們又可以得到更為一般的馬爾可夫(Markov)大數(shù)定律：若隨機變量序列&}滿n足Markov條件，則公式(5.2.2)成立。這里甚至不要求隨機變量序列的相互獨立性。.定理5.2.2記nA為n次重復(fù)獨立的試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p為事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對任意正數(shù)8，恒成立一」n , limP<—a-p<8>=1 (5.2.3)n—8 [n定理5.2.2稱為貝努利(Bernoulli)大數(shù)定律。.定理5.2.3設(shè)隨機變量X/X2,A,X，,A相互獨立，服從同一分布，且E(X)=R,(k=1,2,A)，則對任意正數(shù)8，恒有l(wèi)imPnlimPnT81Ex-…卜1nk1k=1 J（5.2.4）定理5.2.3稱為辛欽大數(shù)定律。.大數(shù)定律運用。例5.2.2若XjX2,A,Xn相互獨立且與X具有相同的分布，并有E(Xk)=Rk，試證A=1XXk—pptR,g(A,A,A,A)—pptgQ,R,A,R)。kni k1 2k 1 2ki=1

（三）.總結(jié)及擴展結(jié)合教材內(nèi)容要適當(dāng)補充例題及課堂練習(xí)鞏固本次課所學(xué)內(nèi)容，并注意概念的教學(xué)啟發(fā)學(xué)生理解概念，運用有關(guān)概念及定理解決問題，本次課教學(xué)有一定難度。詳見教學(xué)課件。（四）布置作業(yè)：第5章習(xí)題七、板書設(shè)計第三節(jié)中心極限定理一、教學(xué)目的要求.掌握中心極限定理的概念.掌握Lindeberg-Levy中心極限定理（5.3.1）.了解李雅普諾夫中心極限定理.（5.3.2）.掌握德莫佛-拉普拉斯中心極限定理（5.3.3）.會運用定理解決有關(guān)問題。二、教學(xué)方法：講授法：定義5.3.1、定理5.3.1、定理5.3.2演繹法：定理5.3.3、例1、例4案例法：保險案例例2三、重點難點：重點：三個極限定理的內(nèi)容。難點：極限定理的運用。四、課時安排：2課時五、教具準(zhǔn)備：多媒體六、教學(xué)步驟（一）明確目標(biāo)：明確極限定理的內(nèi)容及使用條件，注意和實際問題的結(jié)合，重

點掌握定理5.3.1、5.3.3(二)教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容：1.復(fù)習(xí)大數(shù)定律引入中心極限定理.中心極限定理的概念：Zx—E(Zx)定義5.3.1若獨立隨機變量序列XjX2,A,X；A的標(biāo)準(zhǔn)化和Yn=」iii使得12n n \D(Zxji=1limPY<%}=」J屋-；dt恒成立，則稱隨機變量序列Y}服從中心極限定理(TheCentraln-8 n 七2兀—8 nLimitTheorem)。.定理5.3.1設(shè)隨機變量XjX2,A,X”,A相互獨立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差：E(X)=N,D(X)=o2豐0，(k=1,2,A)，ZXZXZXZX—Ek1= 1，-ZxZx—礙

kk=1nno則恒成立.k)k=1limPYnn-8<%}=-X22n2dt(5.3.1)—8定理5.3.1稱為limPYnn-8<%}=-X22n2dt(5.3.1)—8定理5.3.1稱為林德貝格一一勒維(1畝401^^10丫丫)中心極限定理，也稱為獨立同分布的中心極限定理。證明略。.例5.3.1在數(shù)值計算中，任何實數(shù)％都只能用一定位數(shù)的有限小數(shù)y來近似，這就產(chǎn)生了一個誤差z=%—y。假定每個數(shù)都按四舍五入的方法保留到十進制小數(shù)點后5位，則相應(yīng)的舍入誤差可以看作是［0.5x10—5,0.5x10-51上的均勻分布。若將10000個數(shù)％相加，試i估計所有這些數(shù)和的誤差。.定理5.3.2設(shè)隨機變量X/X2,A,X,A相互獨立，且ZX—E(ZX)E(X )=從,D(X )=o2,(k=1,2,A)，i己Z= i=1 : i=1 '， B2 =Xo2，k■D(ZX)n kk=1若存在5>0使得當(dāng)n—8時，-L.znB2+5nk=1e\2+5ii=1L0，則恒成立limPZn—8<%}=-L=J%e22n-8仔2dt(5.3.2)定理5.3.2稱為李雅普諾夫（Liapunov）中心極限定理。證明略。.定理5.3.3若"}是隨機變量序列，且nA-B（n,p）, n（n=12A），記自=J；］，則恒成立limP七<%}=~^L=>et2dt （5.3.3）nsn 22兀—8定理5.3.3稱為德莫——佛 拉普拉斯（De乂0N.12優(yōu)2?的中心極限定理。要求會應(yīng)用Lindeberg-levy中心極限定理證明。是：.注意兩種極限過程：泊松分布雖然是作為二項分布的極限分布而引入的，但極限過程是：程是：p是常數(shù)程是：p是常數(shù)7（7）,（案例）例5.3.3在一家保險公司里有10000人參加人壽保險，每人每年交保費12元，假定一年內(nèi)一個人意外死亡的概率為0.006,死亡時其家屬可向保險公司索賠1000元，問：（1）保險公司虧本的概率有多大？（2）保險公司一年的利潤不低于40000元的概率有多大？（8）.例5.3.4某車間有同型號機床200臺，每臺開動的概率為0.7,假定各機床開動與否是相