中級宏觀配套練習及答案

中級宏觀配套練習及答案-------------------------------------------------------------------------- 作者:_____________-------------------------------------------------------------------------- 日期:_____________第二講 配套習題及答案若效用函數(shù)現(xiàn)為：u(c,l)cl1（01）其他條件與實例中給出的相同，試分別求分散經(jīng)濟與計劃經(jīng)濟的最優(yōu)解。計劃者目標函數(shù)為：max{cl1}c,ls.t.cyzk0(hl)1代約束條件進目標函數(shù)，可以得到無約束的最大化問題：max[zk0(h l)1 ]l1l一階條件為：(FOCl) zk0(1 )(h l)(1 ) 1l1 zk0(h l)(1 ) (1 )l求解可得：(1)hl1h(1)n1代n進生產函數(shù)可得：1h(1 )c y zk01企業(yè)利潤函數(shù)為：zkn1 (1 r)k wn企業(yè)利潤最大化的一階條件為：2zk1n1(1r)0kz(1)knw0n利用這兩個一階條件可以取得均衡的價格解，為：wh(1)zk011h(11rz)k0112.假設行為人的效用函數(shù)如下： U ln(c) ln(l)，其中c是行為人的消費，l是行為人每天用于閑暇的時間。行為人每天的時間除了用于閑暇，就是用于工作，但他既可以為自己工作也可以為別人工作。他為自己工作時的產出函數(shù)為 y 4(ns)0.5，其中ns為用于自己工作的時間。如果他為別人工作，每小時得到的報酬是工資，記為 w（當然是用消費品衡量的）。試寫出該行為人的最優(yōu)化問題，并求解之。max{ln(c) ln(l)c,l,nss.t. c 4(ns)0.5 (24 l ns)w代約束條件進目標函數(shù)，分別對 l和ns兩個變量求一階導數(shù)，并令其為零，有：(FOCl)w10.5(24lns)wl4(ns)(FOCn)2(ns)0.5w0.5(24l04(ns)ns)w求解上述聯(lián)立方程，可得：ns

4w32l12w282c12ww0.54w3.考慮一個具有如下代表性行為人的模型。代表性消費者的效用函數(shù)如下：u(c,l) c l其中，c是消費，l是閑暇，且 0。消費者擁有一單位的時間稟賦和k0單位的資本。代表性企業(yè)生產消費品的技術由如下的生產函數(shù)來表示：y Akn1其中，y是產出，A是全要素生產率， k是資本投入，n是勞動投入，且0 1。記w為市場的實際工資， r為資本的租金率。a.試求解實現(xiàn)競爭均衡時的所有價格和數(shù)量。b.試分析全要素生產率 A的一個變化會對消費、產出、就業(yè)、實際工資以及資本租金率產生怎樣的影響。解：a.第一步，分析消費者行為：maxu(c,l) max c lc,l c,ls.t. c w(1 l) (1 r)k0代約束條件進目標函數(shù)，可轉化為無約束的最大化問題。max[w(1l)(1r)k0]ll對l求一階導數(shù)，并令其為零，可得：1w4第二步，分析企業(yè)的行為：Akdnd1wnd(1r)kd(1)kdFOCn(1)Akdndw0FOCkdAkd1nd1r0根據(jù)市場出清條件，可得如下方程組：(1)Akdnd1Akd1nd1rkdk0求解得：1nA(1)k011rA(1)第三步，全部均衡解：1l1n1A(1)k0111ycAk0A(1)k0A(1)k0w1或者，考慮計劃經(jīng)濟情形：maxu(c,l) max c lc,l c,ls.t. c Ak0(1 l)1代約束條件進目標函數(shù)，可轉化為無約束的最大化問題：max Ak0(1 l)1 ll對l求一階導數(shù)，并令其為零，可得：(1 )Ak0(1 l) 15解得：1l1A(1)k01nA(1)k0b.l1(1)A(1)10k0An1(1)(110)k0AA11yc1A(1)0k0AAr11A(1)0Aw0A說明：閑暇將隨技術進步而減少，因而就業(yè)將隨技術進步而增加；產出、消費和資本租金率將隨技術進步而上升；實際工資不會隨技術進步的變化而變化?？紤]一個如下的含有政府的代表性行為人的經(jīng)濟。消費者的偏好由如下的效用函數(shù)代表：u(c,l) lnc lnl lng這里，c是消費；l是閑暇；g是政府購買； , 0。消費者擁有一單位的時間稟賦。私人消費品的生產技術如下：y zn這里，y是產出，n是勞動投入， z 0。假設政府通過向消費者征收一個總額稅來為自己的購買融資。61）對于一個給定的g，試求均衡時的消費、產出和就業(yè)。證明這些均衡數(shù)量是帕累托最優(yōu)的。2）試分析當政府購買發(fā)生變化時，這些均衡數(shù)量會受到怎樣的影響。平衡預算乘數(shù)時大于1還是小于1，解釋之。3）現(xiàn)在假設政府是一個“仁慈”的政府，它將選擇一個最優(yōu)的g。也就是說，政府將選擇一個合適的g去最大化代表性行為人的福利。試求解最優(yōu)水平的政府購買數(shù)量。解：1）在給定g,0時，消費者的最優(yōu)規(guī)劃問題可以表述如下：max[lnc lnl lng]c,ls.t. c w(1 l)代約束條件進目標函數(shù)，可以轉化為無約束的極值問題：maxln[w(1 l) ] lnl lngl該最大化問題的一階條件為：w

0w(1 l) l利用這一一階條件，可以求得消費者的閑暇需求函數(shù)：l 11 w(w )w(1 )利用閑暇的需求函數(shù)，再加上消費者的時間約束和預算約束，我們可以進一步求得消費者的勞動供給和消費需求函數(shù)：7w wn ， cw(1 ) 1可以注意到，閑暇和消費都是都是隨總額稅的增加而減少的，這確保在我們假設的效用函數(shù)下，這兩種商品都是正常商品。也可以注意到，閑暇和消費都隨 w的增加而增加，這意味著在我們的模型中，相對于收入效應而言，替代效應是占主導地位的。從企業(yè)的利潤最大化問題中，我們能得到：w z競爭均衡的定義要求政府的預算要平衡：g代這些表達式進入消費者的閑暇和消費需求函數(shù)中，可以得到如下的競爭均衡數(shù)量：l(zg)，nzg，czgz(1)z(1)1注意，當我們把消費者的時間預算代進其預算約束的時候，我們已經(jīng)運用了勞動市場的出清條件， n 1 l。利用或者商品市場出清條件，c g y，或者生產函數(shù)， y zn，并與上述均衡數(shù)量相結合，可以求得均衡產量：y

z g1給定時，g 0我們可以借助如下的社會計劃者最優(yōu)問題來求得帕累托最優(yōu)的均衡數(shù)量：max[lnc lnl lng]c,ls.t. c g z(1 l)代約束條件進目標函數(shù)，可以轉化為無約束的極值問題：8maxln[z(1 l) g] lnl lngl該最大化問題的一階條件為：z0z(1 l) g l利用該一階條件，可以求得消費者的閑暇需求函數(shù)：l 1

g1 z(z g)z(1 )利用閑暇的需求函數(shù)，再加上消費者的時間約束、生產函數(shù)和資源約束，我們可以進一步求得如下的均衡數(shù)量：nzg，yzg，czgz(1)11因為這些解與上面我們已經(jīng)推導出來的競爭均衡數(shù)量是相同的，因此，競爭均衡分配是帕累托最優(yōu)的分配。在這一例子中，之所以兩者的結果相同是因為總額稅并不會產生扭曲效應。2）因為在題（1）中我們已經(jīng)求得均衡數(shù)量解，因而，我們之需要簡單地讓這些均衡解對g求全導數(shù)，就可以得到結論：dn0dgz(1)dy0dg1dc10dg19可以注意到，平衡預算乘數(shù)是小于 1的。因為， 1 ，所以，dy1。（回憶：政府預算約束g必須成立，因而，g的任dg1何一個變化一定對應著的一個相同變化：ddg。因此，我們有“平衡預算乘數(shù)”這一名詞。）也可以注意到，擠出是不完全的：因為0，所以dc11。dg13）為了確定最優(yōu)水平的政府購買數(shù)量，政府在給定行為人對g變化的最優(yōu)反應的基礎上通過選擇一個合適的g來最大化代表性行為人的福利。我們可以把在題（1）中求得的行為人的決策規(guī)則看成是一個g的函數(shù)：cc(g)和ll(g)。這些函數(shù)告訴我們行為人的最優(yōu)選擇c和l是如何隨著g的變化而變化的。政府的最優(yōu)化問題可以描述如下：maxlnc(g) lnl(g) lngg或者，等價地：maxlnzg(zg)lnlngg1z(1)一階條件如下：10zgzgg或者1（1）zgg注意，方程（1）的左邊代表的是政府購買的邊際成本。這些成本是借助純財富效應通過減少消費和閑暇的形式實現(xiàn)的。方程（ 1）的右10邊代表的是政府購買的邊際收益。因此，最優(yōu)的 g平衡著政府購買的邊際收益和邊際成本。注意到邊際成本隨著 g的增加而增加，而邊際收益則隨著 g的增加而減少。求解（ 1）式可以得到最優(yōu)的政府購買水平：gz（2）1考慮一個具有和題3相同的偏好和生產技術的代表性行為人經(jīng)濟。假設現(xiàn)在政府通過向消費者的勞動收入征收比例稅來為自己的購買進行融資。讓t代表稅率，因而政府的總稅收收入等于tw(1l)，這里，w是實際工資。（1）寫出政府的預算約束。（2）對于給定的g，試求競爭均衡中的消費、產出和就業(yè)。討論這一均衡是否是帕累托最優(yōu)均衡。3）證明競爭均衡的最優(yōu)數(shù)量將隨著g的變化而變化。4）求解實現(xiàn)福利最大化的政府購買g的水平。這里的答案為什么與在題1中征總額稅時的答案不同？請解釋之。解：（1）政府的預算約束是政府購買等于稅收收入：g tw(1 l)2）由于稅收扭曲的存在，我們不能用社會計劃者的最優(yōu)問題去求解競爭均衡。在給定g,0時，消費者的最優(yōu)規(guī)劃問題可描述如下：max[lnc lnl lng]c,l11s.t. c w(1 l)(1 t)代約束條件進目標函數(shù)，可以轉化為無約束的極值問題：maxln[w(1 l)(1 t)] lnl lngl該最大化問題的一階條件為：w(1 t)

0w(1 l)(1 t) l利用該一階條件，可以求得消費者的閑暇需求函數(shù)：l1可以注意到該表達式與稅后實際工資無關。在這種情形下，替代效應在數(shù)值上等于收入效應，因此正好相互抵消。代閑暇的需求函數(shù)進預算約束方程，我們可以進一步求得消費者的消費需求函數(shù)：c

w(1 t)1可以注意到消費與稅后收入成正比關系。因此，消費將隨稅率的提高而下降。從企業(yè)的最大化問題中，我們可以得到：w z市場出清條件是：n 1 lc g y( zn)因此，競爭均衡的數(shù)量解將由如下的表達式給出：l，n1，yz，czg1111我們在第一題的（1）部分已經(jīng)求得帕累托最優(yōu)的數(shù)量解。通過對比，可以發(fā)現(xiàn)只有在 g 0時兩個解才一致。只要 g 0，競爭均衡分配將總是次優(yōu)的。12（3）dn0，dy0，dc1dgdgdgdc注意，在這種情況下，擠出效應是完全的： 1。dg（4）政府的最優(yōu)化問題能描述如下：maxlnc(g) lnl(g) lngg這里，c(g)和l(g)代表了競爭均衡的數(shù)量（我們已經(jīng)在（2）中求得）。代入c(g)和l(g)的表達式，可以得到政府的最優(yōu)化問題：maxlnzlnlnggg11或者，更簡潔地：maxlnzglng1一階條件如下：1（3）z g(1 ) g再一次，可以注意到，方程（ 3）的左邊代表的是政府購買的邊際成本。方程（3）的右邊代表的是政府購買的邊際收益。求解（ 3）式可以得到最優(yōu)的政府購買水平：gz（4）1比較表達式（4）和第一題中的表達式（ 2），我們可以看到在目前的情形下，政府的購買水平更?。ㄒ驗?0）。也就是說，最優(yōu)水平的g在征總額稅時要比在征比例稅時來得大。因為，在征比例稅時，稅收將對勞動供給和消費需求產生一個扭曲效應。而這些額外13的成本是伴隨著政府的行為而產生的，因此， g自然會下降。比較1）和（3）式可以發(fā)現(xiàn)，在g給定時，在征比例稅時，政府活動的邊際成本更大，而邊際收益兩者卻是一樣的。第三講配套習題及答案在我們的講義的實例中曾描述了一個兩期模型，現(xiàn)在，若在這個兩期模型中的期效用函數(shù)成為：1u(ct) ct21）.試推導出歐拉方程。2）.試求代表性消費者的最優(yōu)消費組合(c1,c2,b1)。3）.試求均衡的利率r。1）歐拉方程為u(ct)(1 r)u(ct1)111因為u(ct)ct2，所以u(ct)2，因而有：ct21c22(1r)c1（2）我們有三個未知數(shù)，但相應的也有三個方程，一個是歐拉方程，另兩個就是約束條件。c2c12(1r)2y1c1b1y2b1(1r)c2求解得：y2y1(1r)c12(1r)(1r)114c22(1r)[y2y1(1r)]12(1r)b1y1y2y1(1r)2(1r)(1r)1（3）在均衡時，b1 0，因此：1y22r12y12.假設瑪麗只生活兩期。在每一期里她都可以不勞而獲地得到一些消費品：第一期記為 e1；第二期記為e2。她對兩期消費品的偏好可由如下的效用函數(shù)來表達： u(c1,c2) ln(c1) ln(c2)，其中，c1和c2分別是她在第一期和第二期的消費； 是一個間于0和1之間的參數(shù)，表示的是時間偏好。當然，如果瑪麗覺得第一期的稟賦，也即e1太多，她是可以把它儲蓄起來，以供第二期消費的。我們把她儲蓄的數(shù)量記為s。非常不幸，老鼠會偷吃她儲蓄的物品，因此，假如她在第一期儲蓄 s單位的物品，在第二期她只能得到 (1 )s單位，其中， 是一個間于0和1之間的參數(shù)。.試寫出瑪麗的最優(yōu)化問題。（你應該描述出她的選擇變量、目標函數(shù)和約束條件。）b.試求解最優(yōu)化問題的解。（當然，你應給把諸如 e1、e2、 、等參數(shù)看作外生給定的。）c.假如瑪麗現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)了一種可以減少老鼠偷吃的方法，這會對她的最優(yōu)選擇產生怎樣的影響？（無非是對 的變化作一個比較靜態(tài)分析!）15a. max{ln(c1) ln(c2)c1,c2,ss.t. c1 s e1c2 e2 (1 )sb.構建拉格朗日函數(shù)：ln(c1) ln(c2) 1[e1 c1 s] 2[e2 (1 )s c2]一階條件為：(FOCc1)11c1(FOCc2)2c2

00(FOCs)12(1)0利用三個一階條件可求得歐拉方程：c2c1

(1 )結合約束方程，可求得：s(1)e1e2(1)(1)c1e1(1)e1e2(1)(1)c2e2(1)e1e2(1)c.分別對 求導數(shù)，可得：c1e20(1)2(1)c2 e11

016se2(1)0(1)2(1)2因為瑪麗學會了防止老鼠偷吃的技術，因此， 將下降。根據(jù)偏導數(shù)的符號，我們可以判斷：第一期的消費將減少，而第二期的消費和第一期的儲蓄都將增加。在講義中，我們假設行為人在初始時擁有外生給定的資本k0，并且這些資本是不能直接用于消費的?，F(xiàn)在如果我們取消資本不能直接用于消費這一強制性規(guī)定（這樣，第一期的收入就不需要自己去生產了）。效用函數(shù)與生產函數(shù)的具體形式仍與講義中的相同，試求每一期的均衡數(shù)量解和價格解。解：考慮計劃經(jīng)濟的情形maxu(c1) u(c2)c1,c2,ks.t.c1 k0 k1c2 zf(k1)如果u(ct) ln(ct)，y zf(k) zk ，可解得：k1k01c11k01c2zk01企業(yè)利潤函數(shù)為：zf(kd) (1 r)kd (1 )kd17假設 1,企業(yè)利潤最大化的一階條件為：zf(kd) 1 r利用這一條件，可求得：1rzk0112.考慮如下這樣一個兩期問題：行為人在第一期和第二期分別得到外生收入Y1和Y2，行為人需要選擇一個最優(yōu)的消費組合 (C1,C2)來實現(xiàn)自己的效用最大化。我們假設期效用函數(shù)是一階導數(shù)大于零二階導數(shù)小于零的，并記利率為 r。a.以現(xiàn)值的形式寫出行為人的跨期預算約束條件。b.現(xiàn)在假設政府以 t的稅率對利息收入征稅。當然，我們也假定，如果你是債務人，當你在向債權人支付利息時，政府也會安相同的比率對你的利息支出進行補償。現(xiàn)在寫出新情形的現(xiàn)值跨期預算約束條件。c.假設在最優(yōu)的情況下，行為人是一個儲蓄者而不是一個借貸者，也即Y1 C1。請計算政府在每一期的稅收收入。d.現(xiàn)在假設政府取消了對利息征稅，轉而決定對每一期都征收一個固定數(shù)量的總額稅，分別記為 T1和T2：ⅰ.寫出行為人新的預算約束條件。.為了維持政府稅收收入的現(xiàn)值不變，新的總額稅應該滿足怎樣的條件？ⅲ.假如新總額稅滿足了（ⅱ）中的條件，行為人在新的情況形下還能承擔原先的消費組合嗎？18.假如新總額稅滿足了（ⅱ）中的條件，行為人在第一期的消費是上升的、下降的、還是不變的？1.a.行為人的預算約束為：C2Y2C1Y11r1r行為人新的預算約束為：C2Y2C1Y1[1(1t)r][1(1t)r]政府兩期的總稅收收入為：tr(Y1 C1)ⅰ.行為人新的預算約束為：C2(Y2T2)C1(Y1T1)r1r1ⅱ.政府在征總額稅以后，其稅收的現(xiàn)值收入為：T2T11 r要保證政府稅收的現(xiàn)值收入不變，要求下式成立，即：tr(Y1C1)T21rT11r.假如（ⅱ）中所給出的條件成立，意味著在兩種稅收體制下，行為人的收入現(xiàn)值是相同的，因此，老的消費組合(C1,C2)在新的稅收制度下一定是消費的起得。ⅳ.假如（ⅱ）中所給出的條件成立，行為人第一期得消費將減少，因為，在新的稅收制度下，第二期的價格為 1 ，要比在老的稅收1 r191制度下的價格 更低，因此，行為人會減少第一期的消費而1 (1 t)r增加第二期的消費?？紤]一個僅生活兩期的代表性行為人。在第一期行為人參加工作并可獲得w的工資收入，在第二期行為人退休并以自己在第一期的儲蓄為生。行為人一生的效用為 u(c1) 1 u(c2)，其中期效用函數(shù)是1遞增且嚴格凹的，c1,c2分別表示行為人在第一期和第二期的消費數(shù)量。假定行為人在第一期的儲蓄（記為s）可以獲得的報酬率，也即利率為r。（1）寫出行為人的最優(yōu)化問題（目標函數(shù)和約束條件）（2）推導出行為人實現(xiàn)效用最大化時的一階條件，并用儲蓄 s表達出來。3）根據(jù)題（2）的結果，推導出s/w的表達式。從中你可以判斷出工資收入變動會對儲蓄產生怎樣的影響？對你的結論給出一個簡單的經(jīng)濟解釋。（4）根據(jù)題（2）的結果，推導出 s/ r的表達式。從中你可以判斷出利率變動會對儲蓄產生怎樣的影響？請試著推導該偏導數(shù)的符號與跨期替代彈性（我們定義為(c)u(c)）之間的關系。cu(c)2.（1）1maxu(c1)u(c2)c1,c21s.t.c1swc2 (1 r)s202）代約束條件進目標函數(shù)，消掉變量c1和c2，對另一變量s求一階導數(shù)并令其為零，可得：u(c1)1ru(c2)01或者u(ws)1ru[(1r)s]01（3）（2）式中的一階條件實際上以隱函數(shù)的形式給出了變量的s、w、r之間的關系，我們把這個隱函數(shù)記為：F(w,s,r)u(ws)1ru[(1r)s]1利用隱函數(shù)求導定理，有sF/wu(c1)(0,1)wF/s(1r)2u(c2)u(c1)1由偏導數(shù)的值域可知，當工資收入上升時，行為人的儲蓄也會隨之增加。（4）利用隱含數(shù)求導法則，可以得到：u(c2)(1r)su(c)u(c2)c2u(c)sF/r112112rF/s(1r)2u(c2)u(c1)(1r)2u(c2)u(c1)11u(c2)c2u(c2)(1 r)2u(c2) (1 )u(c1)1u(c2)1＝(c2)2u(c2)(1)u(c1)(1r)21該符號不確定，依賴于跨期替代彈性的大小。當1時，s/r0；當1時，s/r0；當1時，s/r0。第五講 配套習題及答案考慮一個有如下效用函數(shù)的生活無限期的行為人：1lnctt 1假定該行為人不擁有任何初始資產（ A1 0）。該行為人可以進入一個資本市場，在這里，他（她）可以以固定的利率 r借入或借出收入。假設行為人在每一期的收入固定等于 y 0。1）寫出行為人的最優(yōu)化問題。確信包含了轉換條件。2）試用拉格朗日和動態(tài)規(guī)劃兩種方法推導出行為人的歐拉方程。3）用行為人的歐拉方程和跨期預算約束條件求出她的最優(yōu)消費路徑。4）比較行為人的最優(yōu)消費路徑和收入路徑，并解釋他們的差異。解：1）行為人的最優(yōu)化問題可描述如下：maxt1lnctt1s.t.ctAt1(1r)Aty,t1,2,limAT10(1r)TT222）用拉格朗日方法推導跨期歐拉方程，我們首先需要求出如下最大化問題的一階條件：maxt1lnctt(1r)AtyctAt1ct,At1,tt1t1這里，t0是時期t預算約束的拉格朗日乘子。對于所有的t1,2,，關于ct,At1,t的一階條件分別如下：t1ctt0t(1r)t10(1r)AtyctAt10利用前兩個一階條件，可以得到跨期歐拉方程：t1t11(1r)ct(1r)ctct1ct1用動態(tài)規(guī)劃的方法求解，我們首先需要用遞規(guī)的形式構建出行為人的最優(yōu)化問題：v(At)maxlnctv(At1)ct,At1s.t.ctAt1(1r)Aty或v(At) maxln(1 r)At y At1 v(At1)At 1對應于該值函數(shù)右邊最大化問題的一階條件為：1ct

v(At1)貝爾曼方程兩邊同時對 At求導并應用包洛定理，有：v(At)

1 rct23利用上式替代掉一階條件中的 v(At1)，可以得到跨期歐拉方程：1(1r)1ctct1（3）以如下的方式表述歐拉方程：11ct1(1r)ct1(1r)ct(1r)ct1ctct我們可以看到，給定 c1，這最優(yōu)的消費路徑由如下形式給出：c2(1r)c1c3(1r)c2[(1r)]2c1c4(1r)c3[(1r)]3c1或者，更簡潔地表示為：ct [ (1 r)]t1c1,t 1,2,現(xiàn)在，我們需要從跨期預算約束中決定出 c1。應用轉換條件、初始資本A1 0這些條件，跨期預算約束可以寫為：ct yt1(1 r)t1 t1(1 r)t1y

t11t1 1 r然后，運用幾何級數(shù)求和公式，有：ct1ryt1(1r)t1r替代掉ct，我們可以求解出 c1：[(1r)]t1c11ryt1(1r)t1r24c1t11ryt1rc1(1)1ryr因此，最優(yōu)的消費路徑將由下式給出：ct[(1r)]t1(1)1ry,t1,2,r（4）注意。假如(1r)1，那么，對于所有的t1,2,，有ct y。在這一特殊的情形中，消費路徑等于收入路徑（為常數(shù)y）。假如 (1 r) 1，那么，最優(yōu)的消費路徑是單調增加的。假如(1 r) 1，那么，最優(yōu)消費路徑是單調減少的。第六講 配套習題及答案我們知道，在連續(xù)時間下，一個變量的增長率可以表示為該變量的自然對數(shù)對時間的導數(shù)，也即如下結論：

z(t)dlnz(t)。請利用這一事實證明z(t)dt(a).兩個變量乘積的增長率等于它們各自增長率之和。也即，如果z(t)x(t)y(t)，那么，z(t)x(t)y(t)。z(t)x(t)y(t)(b).兩個變量比率的增長率等于它們各自增長率之差。也即，如果z(t)x(t)，那么，z(t)x(t)y(t)。y(t)z(t)x(t)y(t)(c).如果z(t)x(t)，那么，z(t)x(t)。z(t)x(t)25考慮一處于平衡增長路徑上的索洛經(jīng)濟，為了簡單，假定無技術進步。現(xiàn)在假定人口增長率下降。(a).處于平衡增長路徑上的每工人平均資本、每工人平均產量和每工人平均消費將發(fā)生什么變化？畫出經(jīng)濟向其新平衡增長路徑移動的過程中這些變量的路徑。(b).說明人口增長率下降對產量路徑的影響。假定生產函數(shù)為柯布－道格拉斯函數(shù)。(a).將k、y和c表示為模型的參數(shù) s、n、g、 和 的函數(shù)。(b).k 的黃金值是多少？(c).為得到黃金資本存量，所需要的儲蓄率是多少？4.考慮不變替代彈性（CES）生產函數(shù)，Y[K(1)/(1)/(1)/(AL)]，其中，0且1。(a).證明：該生產函數(shù)為規(guī)模報酬不變的。(b).求出該生產函數(shù)的密集形式。(c).在什么條件下該密集形式滿足f()0,f()0？(d).在什么條件下該密集形式滿足稻田條件？假定對資本和勞動均按其邊際產品支付報酬。用w表示F(K,AN)/ N，r表示 F(K,AN)/K。(a).試證明勞動的邊際產出 w為A[f(k) kf(k)]。(b).試證明如果勞動和資本均按其邊際產出取得報酬，規(guī)模報酬不變意味著：生產要素總收入等于總產量。也就是證明在規(guī)模報酬不變的情形下， wN rK F(K,AN)。26(c).如果生產函數(shù)的具體形式為一柯布 -道格拉斯型生產函數(shù)，也即F(K,AN) K (AN)1 ，試證明這里 就是資本這種生產要素所獲得的收入在總收入（也即總產出）中所占的份額。(d).卡爾多（1961年）曾列出了一些關于經(jīng)濟增長的典型特征，其中的兩個是：(1)資本的報酬率（r）近似不變；（2）產量中分配向資本和勞動收入比例也大致不變。處于平衡增長路徑上的索洛經(jīng)濟是否表現(xiàn)出這些性質？在平衡增長路徑上， w和r的增長率各是多少？(e).假定經(jīng)濟開始時，k k。隨著k移向k，w的增長率是高于、低于還是等于其在平衡增長路徑上的增長率？對 r來說，結果又是什么？6.設生產函數(shù)為YK(AL)R1，其中R為土地數(shù)量。假設且1。生產要素按照KsYK、AgA、LnL和0,0，＋R 0變動。(a).該經(jīng)濟是否有唯一且穩(wěn)定的平衡增長路徑？也就是說，該經(jīng)濟是否收斂于這樣一種情形：在此情形下， Y、K、L、A和R均以不變（但不必相同）速率增長？如果這樣，其增長率各為多少？若非如此，為什么？(b).根據(jù)你的答案，土地存量不變這一事實是否意味著持久增長是不可能的？請直觀地解釋。第七講 配套習題及答案27考慮一個如下的新古典增長模型，其中，代表性的家庭的偏好由如下的效用函數(shù)給出：ctt 0這里，01，ct是人均消費，且。人口以固定速率n增10長，因此：Nt (1 n)tN0這里，N0 0。生產技術由下述函數(shù)所代表：Yt KtN1t這里，0 1，Yt是總產出，Kt是總資本存量。資本使用一期就完全折舊，初始資本存量是正的： K0 0。政府通過向家庭征收總額稅的方式來為自己的購買融資，其數(shù)量為 gNt，其中，g 0。出于簡單化，我們假設政府把它所購買的商品均扔入大海里。(1).以動態(tài)規(guī)劃的形式構建社會計劃者的最優(yōu)化問題。這一規(guī)劃能被用作去求競爭均衡解嗎？為什么可以或不可以？(2).求解均衡路徑上的資本勞動比率、人均消費和儲蓄率。(3).在第(2)部分的解是否依賴g？解釋原因。解：（1）社會計劃者的問題可以寫為：maxtctct,Kt1t028s.t. Ntct Kt1 KtNt1 gNtNt (1 n)tN0預算約束方程兩邊同時除以 Nt，可以構建如下的貝爾曼方程：v(kt)maxctv(kt1)ct,kt1s.t.ct(1n)kt1ktg這里，kt Kt。因為不存在稅收扭曲、外部性，或者市場失靈，社Nt會計劃者的最優(yōu)問題可以用作去求競爭均衡的最優(yōu)解。注意，社會計劃者把政府支出看作是外生的變量，也即，在上述的計劃最優(yōu)問題中，g是作為一個參數(shù)而加以考慮的。2）代預算約束條件進目標函數(shù)，我們可以重寫題（1）中的動態(tài)規(guī)劃問題為如下形式：kt (1 n)kt1 gv(kt) max v(kt1)kt1求解右邊的貝爾曼方程，一階條件由下式給定：(1 n)ct1 v(kt1) 0ct1v(kt1)1n包洛定理意味著如下的等式成立：v(kt) kt 1ct1聯(lián)合包洛定理和一階條件可以得到歐拉方程：ct1kt11ct111n代平衡增長條件，ctct1c,ktkt1k進歐拉方程，可以求得：2911k1 n代平衡增長條件和 k的表達式進預算約束條件，可以得到：1c11nngn1儲蓄率由下式給出：Kt1Nt1kt1(1n)kt1stNtktktYt因此，Kt1(1n)(k)1sYt（3）讓每個平衡增長的表達式對 g求導數(shù)，有：k0,c1,s0ggg也就是說，儲蓄和資本積累是不受政府支出變化的影響的。產出也不受影響，穩(wěn)定狀態(tài)的消費將被政府購買的增加而一對一地擠出?？紤]一個由許多相同行為人組成的經(jīng)濟。每個行為人的偏好由如下的效用函數(shù)給出：lnctt 0這里，0 1， ct是時期t的消費。每個行為人在每一期都擁有一單位的時間稟賦，并且都有相同的初始資本存量 k0。在時期t，消費者以實際工資率 wt的價格出售nt單位的時間給代表性的企業(yè)作為企業(yè)的勞動投入；同時，以實際租金率 rt的價格租kt單位的資本給企業(yè)。企業(yè)的利潤歸消費者所有，并且消費者能以一對一的方式把當30前的產出轉化為下一期的資本。每期資本都完全被折舊。因此，消費者在時期t的預算約束就為：ct kt1 wtnt rtkt t代表性企業(yè)的生產函數(shù)如下：yt Aktn1t Kt這里，Kt代表經(jīng)濟中所有行為人的平均資本持有量。注意，各參數(shù)受如下的限制：A0,0,01,1。(1).解釋在本模型中生產技術背后的經(jīng)濟直覺。(2).設計一個中央計劃問題，使得勞動努力、消費和資本積累的路徑與競爭均衡的路徑相同。以遞歸的形式寫出這一問題，并標明時期t的狀態(tài)變量和選擇變量。（提示：強制計劃者把 Kt看作參數(shù)。）(3).假設值函數(shù)是可微的，推導相應的一階條件、包洛定理和歐拉方程。(4).描述出資本和消費的競爭均衡增長路徑。(5).競爭均衡的增長率會比最優(yōu)增長率更快還是更慢？解釋之。解：1）由于Kt的存在，使得本題中的生產函數(shù)與通常得新古典生產函數(shù)不一樣。這一生產函數(shù)包涵著如下兩方面的含義：第一，企業(yè)資本存量的一個增加將通過干中學的機制導致知識存量的一個增加；第二，企業(yè)的知識是一個公共產品，可以瞬時地溢出到整個經(jīng)濟中。31（2）給定Kt 0，以動態(tài)規(guī)劃的形式，中央計劃問題可以表述如下：v(kt,Kt)maxlnctv(kt1,Kt1)ct,kt1s.t.ctkt1AKtkt注意，這一問題在概念上與社會計劃問題是不同的。這里，“計劃者”通過把總資本存量看作參數(shù)而被迫接受外部性的存在。對于這一類型問題的解有時候也被稱為“限制最優(yōu)”。由于沒有把外部性內部化，這一問題與遞歸形式的競爭均衡相一致。時期 t的狀態(tài)變量是kt和Kt；而選擇變量分別是 kt1和ct。資源約束條件可以在給定 wt，rt和Kt 0的情況下，通過考慮企業(yè)的如下潛在最優(yōu)問題而正式地推導出來：maxAktn1t Kt wtnt rtktnt,kt相應的一階條件由下式給出：(1 )AKtktnt wtAKtkt 1n1t rt在均衡時nt 1給出了競爭均衡的價格：wt(1)AKtktrtAKtkt1代這些表達式以及均衡就業(yè) nt 1進入企業(yè)的目標函數(shù)意味著均衡利潤是零：t Aktn1t Kt wtnt rtkt AktKt (1 )AktKt AKtkt1kt 032接著代均衡價格，就業(yè)和利潤進消費者的預算約束可以得到經(jīng)濟的資源約束：ct kt1 AKtkt（3）代ct進目標函數(shù)：(kt,Kt)maxlnAKtktkt1(,Kt1)vkt1vkt1假設值函數(shù)是可微的，相應于最優(yōu)化問題右邊的貝爾曼方程的一階條件由下式給出：1(kt1,Kt1)0v1AKtktkt1包洛條件可以通過對目標函數(shù)的兩邊對 kt求全導數(shù)而得到：v1(kt,Kt)

AKtkt

1AKtkt kt1包洛條件往前挪一期，并代結果進一階條件方程，可以得到歐拉方程：1AKt1kt111ctct1（4）對所有的時期t，應用總一致性條件ktKt1：1AKt111ctct1或者ct1AKt11ctA(1)只要A1，消費將以固定速率A1增長。運用總一致條件到資源約束條件中，可以得到如下的等式：33ct kt1 AktktAkt注意在均衡時，該經(jīng)濟與簡單的“AK模型”是相同的。兩邊同除以kt可得：ctkt1Aktkt平衡增長均衡意味著資本的增長率等于消費的增長率，因此ct是固kt定的：kt1ct1Aktct因此，在所有的時期，平衡增長路徑上的消費－資本比率由下式給定：ct A(1 )kt（5）這最優(yōu)的增長率是通過求解社會計劃者的如下最優(yōu)化問題而被確定：v(kt)maxlnctv(kt1)ct,kt1s.t.ctkt1Akt注意社會計劃者內部化了私人間由一個企業(yè)的生產活動對其他企業(yè)所產生的外部影響。相應于這一問題的歐拉方程由下式給出：1Act ct1上式兩邊都乘以 ct1，我們可以看到消費和資本的增長率由下式給出：34ct1kt1AActkt因為01，這一增長率要比競爭均衡的增長率更大。假如投資的收益不反應由干中學和知識生產的外部社會收益，那么，在競爭均衡中的資本積累是次優(yōu)的。3.考慮一個經(jīng)濟處于平衡增長路徑上的時間是連續(xù)的新古典增長模型。效用函數(shù)與生產函數(shù)均與講義中的相同?，F(xiàn)在假設政府在某一期，比如說t0時期宣布他（她）將在未來的某一期，比如說 t1期開始將向行為人征收投資所得稅，稅率為。因此，行為人的實際利率將成為r(t)(1)f(k(t))。并且假設政府會把他（她）征收來的稅收一次性地返還給行為人。1）試畫出t1時期以后的人均消費和人均資本的動態(tài)演進的相位圖。2）在t1時期人均消費會出現(xiàn)非連續(xù)的變化嗎？為什么會或者不會？3）試畫出t1時期以前的人均消費和人均資本的動態(tài)演進的相位圖。4）根據(jù)你對前三個問題的回答，你認為在t0時期，人均消費必須做出怎樣的調整？5）請根據(jù)你的分析，畫出人均消費和人均資本隨時間推移的演進草圖。4.請簡要回答如下這些問題：a.李嘉圖等價定理的基本含義是什么？35b.請描述一種經(jīng)濟環(huán)境，在那里，李嘉圖等價定理是成立的。在這種經(jīng)濟環(huán)境中，如果政府頒布了一項稅收的減免政策，這一政策會對行為人的消費產生怎樣的影響？C.李嘉圖等價定理成立需要具備怎樣的條件？李嘉圖等價定理的基本含義是：如果政府的支出路徑是給定的，那么，不管政府是采用何種手段來為自己的支出融資（或者是通過征總額稅的手段或者是發(fā)行債券的方式）都不會對經(jīng)濟的資源配置產生影響。行為人并不會改變已有的行為決策。只要政府是征收總額稅的話，在新古典增長理論中，李嘉圖等價定理就會成立。在代際交疊模型中，只要行為人是關心下一代的，也即他們會為下一代留下正的遺產，那么，李嘉圖等價定理也將成立。如果李嘉圖等價定理是成立的，那么，政府實施的稅收減免政策將會是中性的，因為行為人會增加自己的儲蓄，并且所增加的數(shù)量恰好等于政府減免的稅收數(shù)量。因而，政府的減稅政策不會對行為人的最優(yōu)決策產生影響。李嘉圖等價定理要成立，以下條件是必須具備的：（1）政府征收的是總額稅，也就是說不能有稅收扭曲；（2）行為人是生活無限期的，他們無法把稅收轉移到下一代；（3）信貸市場是完善的，當政府突然增加稅收時，他們能從信貸市場上借到相應數(shù)額的資金，從而維持自己當前的消費不變。第八講 配套習題及答案36考慮如下一個代際交疊增長模型。我們用t0,1,2,,來表示時間。在時期t期里，有Nt個生活兩期的消費者出生，這里，Nt N0(1 n)t，其中，N0外生給定，n 0代表人口增長率。在 t=0時期，有一些僅生活一期的老年行為人，他們集體擁有 K0單位資本并最大化在t=0時期的消費。每個時期t出生的消費者的偏好由下式給定：u(c1t,c2t1) u(c1t) u(c2t1) lnc1t lnc2t1這里，c1t和c2t1分別表示第t期的年輕人和第 t+1期的老年人的消費，也就是同一個行為人在青年期和老年期的消費， 0為折現(xiàn)因子。每個消費者在第一期擁有 1單位的勞動稟賦，而在第二期則擁有0單位的勞動稟賦。生產技術由下式給出：F(Kt,Nt)AKtNt1這里，Yt是產出，Kt和Nt是資本和勞動投入，A0，01。消費品能被一對一地轉化為資本，反之亦然，即資本品也能一對一轉化為消費品。當期的資本品只有到下一期才能具有生產性，我們也假設生產中不存在折舊。在時期t，政府發(fā)行Bt1單位期限為一期的債券。每一單位債券承諾到時期t+1，將支付1＋rt1單位的消費品給債券的擁有者。在時期t，政府向每個年輕消費者征t單位的是總額稅。我們假設Bt1 bNt， 這里，b是一個固定的數(shù)，也就是說，人均政府的債務是固定的。37（a）假設b＝0，試求解實現(xiàn)社會最優(yōu)穩(wěn)定均衡時的人均資本存量?。k（b）假設b＝0，試求解實現(xiàn)競爭均衡時的人均資本存量 k。(c)現(xiàn)在假設b 0，試證明政府可以通過選擇一個合適的 b來使得社?與競爭均衡穩(wěn)定解k相同，若定義這個合適的b會最優(yōu)穩(wěn)定均衡解k???為b，試求解最優(yōu)的b值，判斷b是正的還是負的，并說明理由。解：(a)在時期t，社會計劃者面臨的資源約束條件如下所示：c1tNtc2tNt1Kt1F(Kt,Nt)Kt在長期中，這一模型具有人均數(shù)量趨于常數(shù)的特征。因此，我們把每個變量都表示成人均的形式將會更為方便。定義ktKt，Ntf(kt)F(kt,1)，我們能重寫上式為：(1n)kt1c1tc2tf(kt)kt1n在穩(wěn)定狀態(tài)下，有kt?c1和c2t?，c1和c2都????是固定不變的。在給定約束條件下，社會計劃者要實現(xiàn)在穩(wěn)定狀態(tài)下每個消費者的效用最大化，實際上就相當于在求解如下一個最大化問題：maxlnc1 lnc2c2s.t. c1 f(k) nk1 n代約束條件進目標函數(shù)，消掉目標函數(shù)中的 c2，我們可以得到如下一個無約束的最大化問題：38maxlnc1 ln(1 n)f(k) nk c1c1,k相應于該最大化問題的兩個一階條件分別為：10c1 f(k) nk c1以及Ak1n利用這兩個一階條件，我們能求得實現(xiàn)社會最優(yōu)的穩(wěn)定均衡解：Akn

11（b）出生在t期的消費者將求解如下的最優(yōu)化問題：maxlnc1t)lnc2t1c1t,c2t1,sts.t. c1t st wtc2t1 st(1 rt1)代把約束條件進目標函數(shù)，消掉目標函數(shù)中的 c1t和c2t1，就可以得到一個僅含一個決策變量 st的最