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1,3,5,7,9,…;(1)3,0,-3,-6,…;(2)等差數(shù)列定義
一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.莊子曰:“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭.”意思:“一尺長(zhǎng)的木棒,每日取其一半,永遠(yuǎn)也取不完”.如果將“一尺之棰”視為一份,則每日剩下的部分依次為:生活中的數(shù)列1.放射性物質(zhì)鐳的半衰期為1620年,如果從現(xiàn)有的10克鐳開始,每隔1620年,剩余量依次為10000×1.05,10000×1.052,10000×1.053
,10000×1.054
,10000×1.055
2.某人年初投資10000元,如果年收益率為5%,那么按照復(fù)利計(jì)算,5年內(nèi)各年末的本利和依次為看下列數(shù)列:5.3,9,27,81,…;4.10000×1.05,10000×1.052,10000×1.053
,10000×1.054
,10000×1.055;
探究點(diǎn)1等比數(shù)列定義思考:它們的共同特點(diǎn)是什么?提示:從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù).等比數(shù)列的定義:
一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.
這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示
(q≠0).等比數(shù)列的定義
或注意:1.公比是等比數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比,不能顛倒.2.對(duì)于一個(gè)給定的等比數(shù)列,它的公比是同一個(gè)常數(shù).寫出上面六個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(如下),類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程,補(bǔ)全首項(xiàng)是,公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.n-1如果一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列,它的公比是q,那么…,…,由此可知,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為…【即時(shí)練習(xí)】探究點(diǎn)2等比中項(xiàng)觀察如下的兩個(gè)數(shù)之間,插入一個(gè)什么數(shù)后,這三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等比數(shù)列:(1)1,____,9(2)-1,____,-4(3)-12,___,-3(4)1,____,1±3±2±6±1如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).B
例1某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過(guò)一年剩留的這種物質(zhì)是原來(lái)的84%.這種物質(zhì)的半衰期為多長(zhǎng)(精確到1年)?分析:
時(shí)間:剩留量:
最初1
經(jīng)過(guò)1年a1=0.84
經(jīng)過(guò)2年a2=0.842
經(jīng)過(guò)3年a3=0.843
…
…經(jīng)過(guò)n年an=0.84n例2根據(jù)如圖的框圖,寫出所打印數(shù)列的前5項(xiàng),并建立數(shù)列的遞推公式,這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎?開始輸出A結(jié)束否A=1n=1n=n+1A=2An>5?是A=A例3一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18,求它的第1項(xiàng)和第2項(xiàng).【規(guī)律總結(jié)】如果已知數(shù)列中的兩項(xiàng),并且知道項(xiàng)的序號(hào),可以求得數(shù)列的其他項(xiàng).1.在等比數(shù)列{an}中,a1=8,a4=64,則公比q為(
)A.2
B.3C.4 D.8
AA3.(2015·全國(guó)卷)等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=
(
)A.21B.42C.63D.84【解析】選B.設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則a1+a1q2+a1q4=21,又因?yàn)閍1=3,所以q4+q2-6=0,解得q2=2,a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42.B1.理解并掌握等比數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式:(n≥2,n∈N*);2.要會(huì)推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:,并掌握其基本應(yīng)用.)0(11=-qqaann3.等比數(shù)列與等差數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系不同點(diǎn)等差數(shù)列(1)若{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列,則{logaan}(a>0且a≠1)為等差數(shù)列;(2)若{an}為等差數(shù)列,則{}為等比數(shù)列(b≠0).(1)都強(qiáng)調(diào)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的關(guān)系;(2)差或比結(jié)果都必須是常數(shù);(3)數(shù)列都
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