常用矢量公式

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse肂數(shù)學(xué)準(zhǔn)備知識肇§1矢量代數(shù)一．二．蕆矢量定義肂垐AAAA,AA,A（單位矢量）A3膂在坐標(biāo)系中AAeii直角系A(chǔ)AziAyjAzki1蒈方向余弦：裊cosAx,cosAy,cosAz,AcosexcoseycosezAAAAAA(A12A2213Ai2A32)2i1肅二．矢量運算節(jié)加法： A B B A 交換律衿(AB)CA(BC)結(jié)合律3薇AB(AiBi)ei滿足平行四邊形法則i1標(biāo)量積：3襖ABAiBiABcosi1節(jié)芀肄矢量積：

AB BA 交換律A(B C) AB AC 分配律e1 e2 e3A B ABsin en A1 A2 A3B1 B2 B3蚃莂莆混合積：

A (B C) A B A C 分配律ABBA不滿足交換律A1A2A3A(BC)B(CA)C(AB)B1B2B3C1C2C3螆雙重矢積：A(BC)B(AC)C(AB)(AC)B(AB)C蒁（點3乘2，點2乘3）蒂A (B C) (A B) C螇三．矢量微分芄蒄

dA?dA?dAdtAAdtdtd(AB)AdBdABdtdtdt薂d(AB)AdBdABdtdtdt膈四．并矢與張量羆并矢： AB(一般 AB BA)，有九個分量。芃若某個量有九個分量，它被稱為張量3 3螞T AB AiBieeij Tijeeij eeij為單位并矢，張量的九個基。i,j 1 i,j蕿矢量與張量的矩陣表示： AB1莄AB(A1,A2,A3)B2B3T11 T12羂T AB T T21 T22T31 T32

A1Aeii, A A2 或A (A1,A2,A3)A33A1B1 A2B2 A3B3 AiBii 1T13T23T333100單位張量：010螁eieji1001羀張量運算：肆與矢量點乘：肅CAB螁與矢量叉乘：膇兩并矢點乘：矢)

TV(TijVij)eeji,jiABC ABC ACB ACBCBA CBABCA BCACAB BCA BAC BACAB C AB C 并矢C AB C AB 并矢AB CD ABCD ABC AD CD AB (并袈兩并矢二次點乘： AB:CD BC AD 標(biāo)量螄與單位張量點乘： C C C袁 AB AB AB薈 :AB AB芆課堂練習(xí)（15-20分鐘）薃 1．計算 A B A B 2B A羈 2．求證， M bac abc與矢量C垂直。（求M C）。罿3．計算下列各式：羇莁

⑴a(a b) ⑵ a (b a) ⑶ (j i)k ⑷ (k i)j（0， a2b a(ab)， －1， 1）肁4．證明下列各式：荿⑴(ab)(cd)(ac)(bd)(ad)(bc)蒅⑵ a (b c) b (c a) c (a b) 0莄證：⑴(ab)(cd)c[d(ab)]c[(db)a(dab)b]膁蒆

(ca)(db)(cb)(da)(ac)(bd)(bc)(ad)⑵a(bc)b(ca)c(ab)(ac)b (ab)c (ba)c (bc)a膇(cb)a (ca)b 0膃§2. 場的概念和標(biāo)量場的梯度一、二、芁場的概念：袇描述一定空間中連續(xù)分布的物質(zhì)對象的物理量?；蛘f：若在一定空間中的每一點，都對應(yīng)著某個物理量的確定值，就說在這空間中確定了該物理的場。如：強度場、速度場、引力場、電磁場。蚅描述場用一個空間中和時間坐標(biāo)的函數(shù)：標(biāo)量場(x,y,z,t)(x,t)袂A(x,y,z,t)A(x,t)矢量場莀當(dāng) ,A與t無關(guān)時稱為穩(wěn)恒場 （穩(wěn)定場、靜場），有關(guān)則稱為變化場 （時變場）。當(dāng)已知場函數(shù)則可以了解場的各種性質(zhì)： 如 ,A隨時空的變化關(guān)系（梯、散、旋度）。同樣已知梯、散、旋度場函數(shù)可以確定場函數(shù)（以后主要討論的問題）。羋二、標(biāo)量場的梯度莇在M,M兩點全微分： d dx dy dzx y z羅d dxex dyey dzez莀d ex ey ez d dx y zd（ed方向上的單位矢量）蠆el，ddd螅cos（為與d之間的夾角）蚄在M點方向上導(dǎo)致有無窮多個，其中有一個最大，即d,定義梯度grad蒀0,dmax肀意義：空間某點上標(biāo)量場函數(shù)的最大變化率，刻畫了標(biāo)量場的空間分薇布特征。已知梯度即可求出 沿任一方向的方向?qū)е?。蒃 等值面： (x) 常數(shù)的曲面稱為等值面。薀 梯度與等值面的關(guān)系：梯度 等值面。膇 證： 對等值面上一點，沿等值的方向?qū)?shù)為零。羅 即cos 的 為 ，所以 與等值面垂直。2節(jié)三、 矢量微分算子 （直角坐標(biāo)系中的表示形式）蝕 ex ey ez 具有矢量性質(zhì)，分量是微分符號。x y z薈exeyez，，不能互換xyz蚆它可以作用在矢量上，可以作點乘、叉乘。芅AxAyAAexxeyyezzexAxeyAyezAzzxyzAAyAAAyAAexzeyxzezxyzzxxyex ey ez螀x y zAx Ay Az羈四、舉例（1）求半徑r的數(shù)值rr22212xxyyzz的梯度。膄此例中P,P點均可變動。一般稱P為源點（一后電場中電荷所在點）。P為場點（觀測點）。肅解：固有兩個變量x,y,z和x,y,z我們可求r和rr11xx而ryy,rzz袀2(xx)x2rryrzrxxyyzzr荿rexeyezrrrr袆（2）求 ( )。袂解：()，()，xxxyyy( )羀z z z螀( ) exxeyyezz exxeyyezz芄§3. 高斯定理與矢量場的散度裊一、 矢量場的通量罿1．矢量族：在矢量場中對于給定的一點，有一個方向，它沿某一曲線的切線方向，這條曲線形成一條矢量線，又叫場線（對靜電場稱為電力線） ，無窮多條這樣的曲線構(gòu)成一個矢量族。羇2．通量：Ads稱為A通過面元ds的通量，記作dAds，記作dAds，有限面積S，通量上Ads，閉合曲面S，通量上Sds，ds方向，由面內(nèi)指向面外。S肆 >0，場線進入的少，穿出得多，稱 S面內(nèi)有源。蚄 =0，場線進入的與穿出得同樣多，稱 S面內(nèi)無源。聿 <0，場線進入的少，穿出得少，稱 S面內(nèi)有負(fù)源。莈意義： 用來描述空間某一范圍內(nèi)場的發(fā)散或會聚，它只具有局域性質(zhì)，不螈能反映空間一點的情況。莃二、高斯定理AdsAdVAxAyAzdxdydzxyzSVV腿一種面積分與體積分的變換關(guān)系，有時稱為高斯公式（證明略）蝿三、矢量場的散度膆 為了反映空間某一點發(fā)散與會聚的情況，

可以將S面縮小到體元

V

，體元僅包圍一個點，此時，高斯定理可以改為

Ads

AV，我們S用單位體積的通量來描述，則有ASAds膂，取極限VAlimSAds稱為矢量A的散度。（>0,有源；=0,無源，<0,負(fù)V0V源）。有時表示成divA（divergence）。若空間各點處處A0，則稱為無源場。艿例題：膀1.求r，其中rxxexyyeyzzez羈rx3xr2212.求yy22膅3，rxxzz(r0)rrxxyyzz荿3xr3yr3zr3r芇3xx3xx3yyr3r4yyr40rr蒞3. 求證： A A A。羄證：AAxAyAzxyzAxAyAzxAxyAyzAzAA葿蚇肇螂螃肈§4斯托克斯公式與矢量場的旋度一、二、 薅矢量場的環(huán)量（環(huán)流）螅矢量A沿任一閉合曲線L的積分AdlL袃0表明在區(qū)域內(nèi)無渦旋狀態(tài)，不閉合，葿0表明在區(qū)域內(nèi)有渦旋狀態(tài)存在，閉合，芇意義：用來刻畫矢量場在空間某一范圍內(nèi)是否有渦旋存在，具有局域性質(zhì)。薄二、斯托克斯公式（定理）羃AdlAdS（證明略）LS袀?cè)?、矢量場的旋度蚅當(dāng)L無限縮小，它用的面積化為 S時，芃AdlASAS，LnAAn，nLAdl肂AlimSSn，n為法線上單位矢。SnS0肇定義 A為矢量場的旋度，它在 S法線方向上的分量為單位面積上的環(huán)量?？坍嬍噶繄鰣鼍€在空間某點上的環(huán)流特征。若空間各點0，則A稱為無旋場。r蕆例：1.r3肂解：它的x分量為zzyyyr3zr3zz13yyzz膂zzr3yr3r5yyy13yyzz蒈yyzr3zr3r5r0，同理，rr0裊r3xr3yr3z肅2.證明AAA節(jié)證：AAzAyyzxAzAzAyAy衿薇AAzAyAAxyzxx襖AAexAeyAezAexxA A節(jié)芀§5. 常用的運算公式肄一、 復(fù)合函數(shù)的“三度”運算公式fudfAudAAudA蚃u，u，udududu莂二、 積分變換公式莆高斯公式：AdsAdVdVASVV螆斯托克斯公式：AdlAdSdSALSS蒁格林公式：第一公式2dS蒂dVVS螇第二公式22dVdSVSdV dSV S芄一般規(guī)則dS dlS L蒄其他規(guī)則dV dSV S薂 dV A dS AV SdV T dSTV SdS dSV LdS A dl AS LdS T dl TS L膈dVTdSTdSTdlTVSSL羆一般變換規(guī)則證明：芃1.dVAdSAVS螞證：任取常矢量C點乘上式兩端蕿左dVCAdVAC用VV莄ABABAB羂 dS A C C dS A 用混合積公式S S螁2.dSAdlASL羀證：左CdSAdSACSS肆ACdlCdlALL肅三． 算符常用公式螁1.膇2. A A A袈3. A A A螄4. A B A B B A袁5. AB AB A B薈6.ABBABAABAB芆7.ABABABBABA8.A1A2AA薃A2羈9.AA2A罿10.0,A0羇證：莁6．ABABCACB微分運算肁ABABCACB去掉角標(biāo)。荿7． AB A B A B B A B A蒅利用abcacbabc莄ABABCACB微分運算膁 用AC代替a， 代替b， B代替cAC B AC B AC B蒆 矢量運算ACB AC B AC B膇同樣ABCBCABCABCA膃 AB A B A B B A B A芁袇§6. 有關(guān)矢量場的一些定理蚅一、關(guān)于散度旋度的四個定理1.2.袂標(biāo)量場的梯度必為無旋場， 即 =03.4.莀矢量場的旋度必為無散場， 即 A 05.6.羋無旋場必可以表示為某一標(biāo)量場的梯度。莇 即若 A 0，則A ， 稱為無旋場 A的標(biāo)勢函數(shù)。7.8.羅無源場必可表示為某個矢量場的旋度。莀即若B0，則BA，A稱為無源場B的矢量勢函數(shù)。蠆二、亥姆霍茲定理螅任意的矢量場（ F 0, F 0）均可以分解為無旋場 F1和無源蚄場F2之和，即FF1F2，F(xiàn)10,F20。F1又稱為F的橫場部分，可引入標(biāo)勢，F(xiàn)1。F2又稱為F的縱場部分，可引入矢勢A，F(xiàn)2A。蒀三、一個矢量場被唯一確定的條件——唯一性定理肀定理： 在空間某一區(qū)域內(nèi)給定場的散度和旋度以及矢量場在區(qū)域邊界上的法線分量，則該矢量場在區(qū)域內(nèi)是唯一確定的。(x)在V內(nèi)薇A(x)AnS f(S) 在S面上蒃證明： 假定有兩個矢量場 F1 F2均滿足上述條件薀即F1,F2,F1,F2,膇F1nf(S),F2nf(S),羅 則 F1 F2, F1 F2, F1n F2n節(jié) 引入 F F1 F2，蝕則 F F1 F2 0, F F1 F2 0薈∵ F 0，引入 ，F(xiàn) ，蚆F20,FnF1nF2n0（在S面上）。芅根據(jù)格林第一公式（含 ）22dS螀dVVS2FndS（∵在S面上Fn0）羈得dVVS20，即膄由于被積函數(shù)0，故上式成立，必有F 0,F1 F2。肅注：方程組若有解，則該解在上述條件下不必唯一，但該方程組是否有解與,和f(S)有關(guān)，只有當(dāng)它們滿足下述條件時才有解存在，袀由A0及AdVAdSVS荿得：0,dVfSdSVS袆§7. “三度”在各種坐標(biāo)系中得表示式袂一、 矢量微分算子（哈密頓算子）羀直角坐標(biāo)exxeyyezz螀柱坐標(biāo)erreezz球坐標(biāo)er11芄eerrrsin裊二、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系xrcosrx2y2罿1.柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)yrsinzzzztgyxere,eer,ez0ercosexsineyereez羇esinexcosey0rrrezezereez0zzzxrsinrx2y2z2cosz肆2.球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)yrsinsincos1rzrcos1ytgxersincosexsinsineycosez蚄ecoscosexcossineysinezesinexcoseyere,eer,e0聿ereez0rrrersinecose,esinercosee,莈三、“三度”在三種坐標(biāo)系中的表示形式螈1．直角坐標(biāo)系：exxeyyezzAAxAyAzxyzexeyez莃AzAyAxAzAyAxAeeexyzyzxzxyxyzAxAyAz2222x2y2z2腿2．柱坐標(biāo)系：ere1ezzrr1rAr1AAzArrzrereez蝿2

1ArzrArrAAz1122rrr22z2rr膆3.球坐標(biāo)系：ere1e1rrrsinA1r2Ar1sinA1Arrrsinrsin膂errersine1A2sinrrArrArsinA21112rsinr2rr2sinr2sin2r艿§8. 函數(shù)及其性質(zhì)膀一、 函數(shù)定義x0xaaxa羈一維：xaaxadx1dxaxx0xx0yy0zz0膅三維：1rr00zz0r1r0r2r00sin荿xx0dV1（x在V內(nèi)），導(dǎo)數(shù)xxxx。V0limxx0芇例如對于點電荷密度分布xx00xx0dVQx0V蒞xx0xx00xx0V羄∴xx0Qxx0葿二、幾個常用的性質(zhì)b蚇ab肇a螂螃三、肈

f x x x0dx f x x0 a,b，f x為連續(xù)函數(shù)。f x x x0dx f x0x x ax x a函數(shù)的幾種具體形式x1alima22a0xx1sinkxlimxax1sin2kxlim2kxx 1 eikxdk 1 coskxdk40薅電動力學(xué)中一個重要的函數(shù)形式為：螅rxx1211r3,rxx,rxx4r4r袃證明：①r21即r1,r0r3rr3r葿（∵1dr11rrrdr,rr2rr3）芇②r0，顯然1r