2023全國初中數(shù)學競賽各省市試題匯編

2023全國初中數(shù)學競賽各省市試題匯編重排版目錄一2023廣東初中數(shù)學競賽預賽1二2023年全國初中數(shù)學競賽預賽試題及參考答案〔河南賽區(qū)〕4三2023年北京市初二數(shù)學競賽試題9四2023年全國初中數(shù)學競賽〔海南賽區(qū)〕10五2023年全國初中數(shù)學競賽〔海南賽區(qū)〕初賽試卷參考答案13六2023年全國初中數(shù)學競賽試卷答案〔福建賽區(qū)〕14七2023年全國初中數(shù)學競賽試題19八2023年全國初中數(shù)學競賽天津賽區(qū)初賽試卷20九2023年全國初中數(shù)學聯(lián)賽〔浙江賽區(qū)〕試題及參考答案26十2023年四川初中數(shù)學聯(lián)賽(初二組)初賽試卷28十一2023年全國初中數(shù)學競賽試題【安徽賽區(qū)】29十二2023屆湖北省黃岡地區(qū)九年級四科聯(lián)賽數(shù)學試題34十三2023年全國初中數(shù)學競賽試題〔副題〕38十四2023年全國初中數(shù)學競賽試題〔副題〕參考答案40十五2023年全國初中數(shù)學競賽試題〔正題〕49十六2023年全國初中數(shù)學競賽試題〔正題〕參考答案54小貼士：word目錄發(fā)生以下問題ctrl+左鍵顯示“由于本機的限制，該操作已被取消，請與系統(tǒng)管理員聯(lián)系〞請按以下步驟自行解決1.開始，運行里輸入regedit,回車2.在注冊表中，找到HKEY_CURRENT_USER\Software\Classes\.html項3.在默認項上點右鍵選擇修改4.將Max2.Association.HTML改為Htmlfile，確認，然后退出注冊表5.重啟正在使用的Office程序，然后再次點Office里面超鏈接，ok了2023廣東初中數(shù)學競賽預賽2023年全國初中數(shù)學競賽預賽試題及參考答案〔河南賽區(qū)〕一、選擇題〔共6小題，每題6分，共36分.1．在1,3,6,9四個數(shù)中，完全平方數(shù)、奇數(shù)、質(zhì)數(shù)的個數(shù)分別是【】〔A〕2,3,1〔B〕2,2,1〔C〕1,2,1〔D〕2,3,2【答】A．解：完全平方數(shù)有1,9；奇數(shù)有1,3,9；質(zhì)數(shù)有3．2．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，那么以下判斷正確的是【】〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答】C．第3題圖解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，說明其圖象與y軸的交點位于y軸的正半軸，且y隨x的增大而增大，所以解得．第3題圖3．如圖，在⊙O中，，給出以下三個結(jié)論：〔1〕DC=AB；〔2〕AO⊥BD；〔3〕當∠BDC=30°時，∠DAB=80°．其中正確的個數(shù)是【】〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3【答】D．解：因為，所以DC=AB；因為，AO是半徑,所以AO⊥BD；設∠DAB=x度，那么由△DAB的內(nèi)角和為180°得：，解得．4.有4張全新的撲克牌，其中黑桃、紅桃各2張，它們的反面都一樣，將它們洗勻后，反面朝上放到桌面上，從中任意摸出2張牌，摸出的花色不一樣的概率是【】〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答】B．解：從4張牌中任意摸出2張牌有6種可能，摸出的2張牌花色不一樣的有4種可能，所以摸出花色不一樣的概率是.5．在平面直角坐標系中，點A的坐標是，點B的坐標是，點C是y軸上一動點，要使△ABC為等腰三角形，那么符合要求的點C的位置共xyOAxyOABC1C2C3C4C5第5題圖【答】D．解：由題意可求出AB=5，如圖，以點A為圓心AB的長為半徑畫弧，交y軸于C1和C2，利用勾股定理可求出OC1=OC2=，可得，以點B為圓心BA的長為半徑畫弧，交y軸于點C3和C4，可得，AB的中垂線交y軸于點C5，利用三角形相似或一次函數(shù)的知識可求出．yxO第6題圖6．二次函數(shù)〔為常數(shù)〕，當取不同的值時，其圖象構(gòu)成一個“拋物線系〞，圖中的實線型拋物線分別是b取三個不同的值時二次函數(shù)的圖象，它們的頂點在一條拋物線上〔圖中虛線型yxO第6題圖拋物線〕，這條拋物線的解析式是【】〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答】A．解：的頂點坐標是，設，，由得，所以．二、填空題〔共6小題，每題6分，共36分〕7．假設，那么的值為．【答】7．解：．8．方程的解是．【答】．解：第9題圖.∴，解得.第9題圖9．如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標是〔1,0〕，假設點A的坐標為〔a，b〕，將線段BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，那么點的坐標是．【答】．解：分別過點A、作x軸的垂線，垂足分別為C、D．顯然Rt△ABC≌Rt△BD．由于點A的坐標是，所以，，所以點的坐標是．ABCDMN第10題圖E10．如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，是以點A為圓心2為半徑的圓弧，是以點ABCDMN第10題圖E【答】2．解：連接MN，顯然將扇形AED向右平移可與扇形MBN重合，圖中陰影局部的面積等于矩形AMND的面積，等于．11．α、β是方程的兩根，那么的值為．【答】．解：∵α是方程的根，∴．∴，又∵∴=．12．現(xiàn)有145顆棒棒糖，分給假設干小朋友，不管怎樣分，都至少有1個小朋友分到5顆或5顆以上，這些小朋友的人數(shù)最多有個．【答】36．解：利用抽屜原理分析，設最多有x個小朋友，這相當于x個抽屜，問題變?yōu)榘?45顆糖放進x個抽屜，至少有1個抽屜放了5顆或5顆以上,那么≤145，解得≤36，所以小朋友的人數(shù)最多有36個．三、解答題〔第13題15分，第14題15分，第15題18分，共48分〕13．王亮的爺爺今年〔2023年〕80周歲了，今年王亮的年齡恰好是他出生年份的各位數(shù)字之和，問王亮今年可能是多少周歲？解：設王亮出生年份的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為〔x、y均為0~9的整數(shù)〕．∵王亮的爺爺今年80周歲了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故應分兩種情況：…2分〔1〕假設王亮出生年份為2000年后，那么王亮的出生年份為，依題意，得，整理，得x、y均為0~9的整數(shù)，∴此時∴王亮的出生年份是2005年，今年7周歲．…8分〔2〕假設王亮出生年份在2000年前，那么王亮的出生年份為，依題意，得，整理，得，故x為偶數(shù)，又∴∴此時∴王亮的出生年份是1987年，今年25周歲．…14分綜上，王亮今年可能是7周歲，也可能是25周歲．……………15分14．如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的頂點A、B的坐標分別是、，點D在線段OA上，BD=BA，點Q是線段BD上一個動點，點P的坐標是，設直線PQ的解析式為．〔1〕求k的取值范圍；〔2〕當k為取值范圍內(nèi)的最大整數(shù)時，假設拋物線的頂點在直線PQ、OA、AB、BC圍成的四邊形內(nèi)部，求a的取值范圍．解：〔1〕直線經(jīng)過P，∴．∵B，A，BD=BA，∴點D的坐標是，∴BD的解析式是,依題意，得，∴∴解得……………7分〔2〕且k為最大整數(shù)，∴.那么直線PQ的解析式為.……………9分又因為拋物線的頂點坐標是，對稱軸為．解方程組得即直線PQ與對稱軸為的交點坐標為，∴．解得．……15分15.如圖，扇形OMN的半徑為1，圓心角是90°．點B是上一動點，BA⊥OM于點A，BC⊥ON于點C，點D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點，GF與CE相交于點P，DE與AG相交于點Q．〔1〕求證：四邊形EPGQ是平行四邊形；〔2〕探索當OA的長為何值時，四邊形EPGQ是矩形；〔3〕連結(jié)PQ，試說明是定值．解：〔1〕證明：如圖①，∵∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON，ABCODABCODEFGPQMN圖=1\*GB3①∴．∵E、G分別是AB、CO的中點，∴∴四邊形AECG為平行四邊形.∴……………4分連接OB，∵點D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四邊形EPGQ是平行四邊形．………………6分〔2〕如圖②，當∠CED=90°時，□EPGQ是矩形．ABCODEFGPQABCODEFGPQMN圖=2\*GB3②又∵∠DAE=∠EBC=90°，∴∠AED=∠BCE．∴△AED∽△BCE．………………8分∴．設OA=x，AB=y，那么∶=∶，得．…10分又，即．∴，解得．∴當OA的長為時，四邊形EPGQ是矩形．………………12分〔3〕如圖③，連結(jié)GE交PQ于，那么．過點P作OC的平行線分別交BC、GE于點、．圖③由△PCF∽△PEG得，圖③∴==AB，=GE=OA，∴．在Rt△中，，即，又，∴，∴．……18分2023年北京市初二數(shù)學競賽試題．選擇題(每題5分，共25分)．方程|2x－4|＝5的所有根的和等于()．A．－0.5 B．4.5 C．5 D．4．在直角坐標系xOy中，直線y＝ax＋24與兩個坐標軸的正半軸形成的三角形的面積等于72，那么不在直線y＝ax＋24上的點的坐標是()．A．(3，12) B．(1，20) C．(－0.5，26) D．(－2.5，32)．兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)等于，它們乘積的算術(shù)平方根等于，那么期中的大數(shù)比小數(shù)大()．A．4 B． C．6 D．3．在△ABC中，M是AB的中點，N是BC邊上一點，且CN＝2BN，連接AN與MC交于點O，四邊形BMON的面積為14cm2，那么△ABC的面積為()．A．56cm2 B．60cm2 C．64cm2 D．68cm．當a＝1.67，b＝1.71，c＝0.46時，等于()．A．20 B．15 C．10 D．5.55．填空題(每題7分，共35分)．計算：1×2－3×4＋5×6－7×8＋…＋2023×2023－2023×2023＝＿＿＿．．由1到10這十個正整數(shù)按某個次序?qū)懗梢恍校洖閍1，a2，…，a10，S1＝a1，S2＝a1＋a2，…，S10＝a1＋a2＋…＋a10，那么在S1，S2，…，S10中，最多能有＿＿個質(zhì)數(shù)．．△ABC中，AB＝12cm，AC＝9cm，BC＝13cm，自A分別作∠C平分線的垂線，垂足為M，作∠B的平分線的垂線，垂足為N，連接MN，那么＿＿＿＿．．實數(shù)x和y滿足x2＋12xy＋52y2－8y＋1＝0，那么x2－y2＝＿＿＿．．P為等邊△ABC內(nèi)一點，AP＝3cm，BP＝4cm，CP＝5cm，那么四邊形ABCP的面積等于＿＿cm2．(總分值10分)．求證：對任意兩兩不等的三個數(shù)a，b，c，是常數(shù)．(總分值15分)．正整數(shù)n可以表示為2023個數(shù)字和相同的自然數(shù)之和，同時也能表示為2023個數(shù)字和相同的自然數(shù)之和，試確定n的最小值．(總分值15分)．如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝70°，P為形內(nèi)一點，∠PAB＝40°，∠PBA＝20°，求證：PA＋PB＝PC．2023年全國初中數(shù)學競賽〔海南賽區(qū)〕初賽試卷〔本試卷共4頁，總分值120分，考試時間：3月11日8:30——10:30〕一、選擇題〔本大題總分值50分，每題5分〕1、以下運算正確的是〔〕A．x2?x3=x6B．2x3x=5x2C．(x2)3=x6D．x6x22、有大小兩種游艇，2艘大游艇與3艘小游艇一次可載游客57人，3艘大游艇與2艘小游艇一次可載游客68人，那么3艘大游艇與6艘小游艇一次可載游客的人數(shù)為〔〕A．129B．120C．108D．963、實數(shù)a＝20233－2023，以下各數(shù)中不能整除a的是〔〕A．2023B．2012C．2023D．2023123451234512345圖1A．B．C．D．5、一輛公共汽車從車站開出，加速行駛一段時間后勻速行駛，過了一段時間，汽車到達下一個車站．乘客上下車后汽車開始加速，一段時間后又開始勻速行駛，下面可以近似地刻畫出汽車在這段時間內(nèi)的速度變化情況的圖象是〔〕速度速度時間OA速度時間OBO速度時間C速度時間OD6、要使有意義，那么的取值范圍為ABCDEF圖2A．B．ABCDEF圖27、菱形的兩條對角線之和為L、面積為S，那么它的邊長為〔〕A．B．C．D．8、如圖2，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點A落在BC邊上的點F處，且DE∥BC，以下結(jié)論中，一定正確的個數(shù)是〔〕圖3xy1①△CEF是等腰三角形②圖3xy1③四邊形BFED是平行四邊形④∠BDF+∠CEF＝2∠AA．1 B．2 C9、如圖3，直線x＝1是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象的對稱軸，那么有()A．a(chǎn)＋b＋c＝0B．b＞a＋cC．b＝2aD．a(chǎn)bc＞10、鐵板甲形狀為直角梯形，兩底邊長分別為4cm，10cm，且有一內(nèi)角為60°；鐵板乙形狀為等腰三角形，其頂角為45°，腰長12cmA．甲板能穿過，乙板不能穿過B．甲板不能穿過，乙板能穿過xyxy－1o圖4二、填空題〔本大題總分值40分，每題5分〕11、x與y互為相反數(shù)，且，那么的值為__________.12、一次函數(shù)y=ax+b的圖象如圖4所示，那么化簡得________.13、假設x=－1是關(guān)于x的方程a2x2+2023ax－2023=0的一個根，那么a的值為__________.14、一只船從A碼頭順水航行到B碼頭用6小時，由B碼頭逆水航行到A碼頭需8小時，那么一塊塑料泡沫從A碼頭順水漂流到B碼頭要用______小時〔設水流速度和船在靜水中的速度不變〕．15、如圖5，邊長為1的正方形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線分別交AD、BC于E、F，那么陰影局部的面積是．圖7ABCDE圖5AEDCFOB圖6AMl16、如圖6，直線圖7ABCDE圖5AEDCFOB圖6AMl17、如圖7，△ABC與△CDE均是等邊三角形，假設∠AEB=145°，那么∠DBE的度數(shù)是________.圖8EABCDG18、如圖8所示，矩形紙片圖8EABCDG把∠B、∠D分別沿CE、AG翻折，點B、D分別落在對角線AC的點B＇和D＇上，那么線段EG的長度是________.三、解答題(本大題總分值30分，每題15分)19、某市道路改造工程，如果讓甲工程隊單獨工作，需要30天完成，如果讓乙工程隊單獨工作，那么需要60天方可完成；甲工程隊施工每天需付施工費2.5萬元，乙工程隊施工每天需付施工費1萬元.請解答以下問題：〔1〕甲、乙兩個工程隊一起合作幾天就可以完成此項工程？〔2〕甲、乙兩個工程隊一起合作10天后，甲工程隊因另有任務調(diào)離，剩下的局部由乙工程隊單獨做，請問共需多少天才能完成此項工程？〔3〕如果要使整個工程施工費不超過65萬元，甲、乙兩個工程隊最多能合作幾天？〔4〕如果工程必須在24天內(nèi)〔含24天〕完成，你如何安排兩個工程隊施工，才能使施工費最少？請說出你的安排方法，并求出所需要的施工費.20、如圖9，四邊形ABCD是矩形，點P是直線AD與BC外的任意一點，連接PA、PB、PC、PD．請解答以下問題：〔1〕如圖9〔1〕，當點P在線段BC的垂直平分線MN上〔對角線AC與BD的交點Q除外〕時，證明△PAC≌△PDB；〔2〕如圖9〔2〕，當點P在矩形ABCD內(nèi)部時，求證：PA2+PC2=PB2+PD2；〔3〕假設矩形ABCD在平面直角坐標系xoy中，點B的坐標為〔1，1〕，點D的坐標為〔5，3〕，如圖9〔3〕所示，設△PBC的面積為y，△PAD的面積為x，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．圖9〔1〕圖9〔1〕MNQABCDP圖圖9〔2〕PABCDyy圖9〔3〕ABCDOx2023年全國初中數(shù)學競賽〔海南賽區(qū)〕初賽試卷參考答案一、選擇題〔本大題總分值50分，每題5分〕題號12345678910答案CDDACBABDB7、提示：可設菱形的兩條對角線長分別為a、b，利用對角線互相垂直進行解答.9、圖ＡABCDEF圖ＢABCD10、分析：分別計算鐵板的最窄處便可知，如圖Ａ，直角梯形，AD=4cm，BC=10cm，∠C=60°圖ＡABCDEF圖ＢABCD頂角∠A=45°，作腰上的高線BD，可求得BD=cm＜8.5cm，所以鐵板乙可以穿過；所以選擇Ｂ二、填空題〔本大題總分值40分，每題5分〕ABCDE圖711、12、a+113、a1=2023,ABCDE圖715、單位面積16、3個17、85°18、17、分析：易證△CEA與△CDB全等，從而有∠DBC=∠EAC，因為，∠ABE+∠BAE=180°-145°=35°所以有∠EAC+∠EBC=120°-35°=85°，所以∠EBD=∠EBC+∠DBC=85°圖8EABCDGF18、分析：AB＝4cm圖8EABCDGFCB＇=BC=3cm，AB＇=2cm設BE=x，那么AE=4-x，那么有(4-x)2-x2=2x=1.5cm，即BE=DG=1.5cm，過點G作GF可求出EF=1cm，所以EG=三、解答題(本大題總分值30分，每題15分)19、此題總分值15分，第〔1〕、〔2〕、〔3〕小題，每題4分，第〔4〕小題3分.解：〔1〕設甲、乙兩個工程隊一起合作x天就可以完成此項工程，依題意得：，解得：x=20答：甲、乙兩個工程隊一起合作20天就可以完成此項工程.〔2〕設完成這項道路改造工程共需y天，依題意得：，解得y=40。答：完成這項道路改造工程共需40天.另：也可列方程：〔3〕〔1+2.5〕a＋1×〔60-3a〕≤3.5a＋60-3a≤65〔4〕解得：m=18.即，安排甲、乙兩工程隊合作18天，剩下的局部乙工程隊單獨做6天.施工費為：2.5×18+1×24=69〔萬元〕.20、此題總分值15分，第〔1〕、〔2〕、〔3〕小題各5分.解：〔1〕作BC的中垂線MN，在MN上取點P，連接PA、PB、PC、PD，圖9〔1〕MNQABC圖9〔1〕MNQABCDP又四邊形ABCD是矩形，∴AC=DB∴△PAC≌△PDB〔SSS〕〔2〕證明：過點P作KG//BC，如圖9〔2〕∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，DC⊥BC∴AB⊥KG，DC⊥KG，∴在Rt△PAK中，PA2=AK2+PK2同理，PC2=CG2+PG2；PB2=BK2+PK2，PD2=+DG2+PG2圖9〔2〕KGPABCDPA2+PC2=AK2+PK2+CG2+PG2，，PB2+PD2=BK2圖9〔2〕KGPABCDAB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB，可證得四邊形ADGK是矩形，∴AK=DG，同理CG=BK，∴AK2=DG2，CG2=BK2∴PA2+PC2=PB2+PD2〔3〕∵點B的坐標為〔1，1〕，點D的坐標為〔5，3〕HIABCDOxHIABCDOxyP圖9〔3〕作直線HI垂直BC于點I，交AD于點H①當點P在直線AD與BC之間時即x+y=4，因而y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=4-x②當點P在直線AD上方時，即y-x=4，因而y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=4+x③當點P在直線BC下方時，即x-y=4，因而y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=x-42023年全國初中數(shù)學競賽試卷答案〔福建賽區(qū)〕一、選擇題〔每題7分，共35分〕1．如果實數(shù)，，在數(shù)軸上的位置如下圖，那么代數(shù)式可以化簡為〔C〕A．B．C．D．解：由實數(shù)，，在數(shù)軸上的位置可知，且，所以2．在平面直角坐標系中，滿足不等式的整數(shù)點坐標的個數(shù)為〔B〕A．10B．9C．7D．5解：由題設，得．因為，均為整數(shù)，所以有，，，解得，，，，，，，，,以上共計9對3．如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，△ABC是等邊三角形．，AD=3，BD=5，那么CD的長為〔B〕A．B．4C．D．解：如圖，以CD為邊作等邊△CDE，連接AE．由于AC=BC，CD=CE，．所以△BCD≌△ACE，BD=AE．又因為，所以．在△中，，于是DE=，所以CD=DE=4．4．小倩和小玲每人都有假設干面值為整數(shù)元的人民幣．小倩對小玲說：“你假設給我2元，我的錢數(shù)將是你的n倍〞；小玲對小倩說：“你假設給我n元，我的錢數(shù)將是你的2倍〞，其中n為正整數(shù)，那么n的可能值的個數(shù)是〔D〕A．1B．2C．3D．4解：設小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元，均為非負整數(shù)．由題設可得．消去x得，，．因為為正整數(shù)，所以的值分別為1，3，5，15．y的值只能為4，5，6，11．從而n的值分別為8，3，2，1．所以x的值分別為14，7，6，7．5．黑板上寫有共100個數(shù)字．每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個數(shù)，然后刪去，并在黑板上寫上數(shù)，那么經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是〔C〕A．2023B．101C．100D．99解：因為，所以每次操作前和操作后，黑板上的每個數(shù)加1后的乘積不變．設經(jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為，那么，解得，，．二、填空題〔每題7分，共35分〕6．按如圖的程序進行操作，規(guī)定：程序運行從“輸入一個值x〞到“結(jié)果是否>487？〞為一次操作．如果操作進行四次才停止，那么x的取值范圍是．解：前四次操作的結(jié)果分別為，，，．由得，．解得．容易驗證，當，，，故x的取值范圍是．7．如圖，⊙的半徑為20，是⊙上一點．以為對角線作矩形，且．延長，與⊙分別交于兩點，那么的值等于．解：如圖，設的中點為，連接，那么．因為，所以，．．8．如果關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根分別為，，那么的值為．解：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有，由此得．又，所以，．此時方程為，解得．故9．2位八年級同學和m位九年級同學一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場．記分規(guī)那么是：每場比賽勝者得3分，負者得0分；平局各得1分．比賽結(jié)束后，所有同學的得分總和為130分，而且平局數(shù)不超過比賽局數(shù)的一半，那么m的值為8．解：設平局數(shù)為，勝〔負〕局數(shù)為，由題設知．由此得．又，所以．于是，．由此得或．當時，，；當時，，，．不合題設．故．10．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，．分別延長，，交點為．作，并與的延長線交于點．假設，，那么的長為．解：如圖，連接，，．由是⊙O的直徑知．依題設，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，所以．所以，因此．因為是⊙O的半徑，，所以垂直平分，，于是．因此．由，知．因為，所以，．故．三、解答題〔每題20分，共80分〕11．如圖，在平面直角坐標系中，，，．與軸交于點，且．經(jīng)過B，C，E三點的圖象是一條拋物線，求這條拋物線對應的二次函數(shù)的解析式．解：因為sin∠ABC=，，所以AB=10．由勾股定理，得．易知，因此CO=BO=6．于是，，．設點D的坐標為．由，得．所以，．解得．因此D為AB的中點，點D的坐標為．因此CD，AO分別為AB，BC的兩條中線，點E為△ABC的重心，所以點E的坐標為．設經(jīng)過B，C，E三點的拋物線對應的二次函數(shù)的解析式為．將點E的坐標代入，解得a=．故經(jīng)過B，C，E三點的拋物線對應的二次函數(shù)的解析式為．12．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對角線，AC的中點I是△ABD的內(nèi)心．求證：〔1〕OI是△IBD的外接圓的切線；〔2〕．解：〔1〕如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)知，．所以，CI=CD．同理，CI=CB．故點C是△IBD的外心．連接OA，OC，因為I是AC的中點，且OA=OC，所以OI⊥AC，即OI⊥CI．故OI是△IBD外接圓的切線．〔2〕如圖，過點I作IE⊥AD于點E，設OC與BD交于點F．由，知OC⊥BD．因為∠CBF=∠IAE，BC=CI=AI，所以．所以BF=AE．又因為I是△ABD的內(nèi)心，所以．故．13．整數(shù)，滿足：是素數(shù)，且是完全平方數(shù)．當時，求的最小值．【解答1】設〔是素數(shù)〕，〔n是正整數(shù)〕．因為，所以，．數(shù))，所以，．解得，．于是．又，即．又因為m是素數(shù)，解得．此時，=2025．當時，，，．因此，a的最小值為2025．【解答2】設〔是素數(shù)〕，〔n是非負整數(shù)〕。由于，，，，，因此，，，，，都不是質(zhì)數(shù)。5分由于，且不能被2，3，4，…，44整除，因此，是質(zhì)數(shù)。…………10分〔1〕當，即時，由以及是素數(shù)知，的最小值為。…………15分〔2〕當時，，，由于，，，都不是質(zhì)數(shù)，而2023是質(zhì)數(shù)。當時，，不是完全平方數(shù)。所以，此時。由〔！〕、〔2〕可知，的最小值為?！?0分14．將〔〕任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)〔可以相同〕使得，求的最小值．解：當時，把分成如下兩個數(shù)組：和．在數(shù)組中，由于，所以其中不存在數(shù)，使得．在數(shù)組中，由于，所以其中不存在數(shù)，使得．所以，．下面證明當時，滿足題設條件．不妨設2在第一組，假設也在第一組，那么結(jié)論已經(jīng)成立．故不妨設在第二組．同理可設在第一組，在第二組．此時考慮數(shù)8．如果8在第一組，我們?nèi)?，此時；如果8在第二組，我們?nèi)?，此時．綜上，滿足題設條件．所以，的最小值為．注：也可以通過考慮2，4，16，256，65536的分組情況得到n最小值為65536．2023年全國初中數(shù)學競賽試題一、選擇題〔共5小題，每題7分，共35分.1．如果那么的值為〔〕．〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2．在平面直角坐標系xOy中，滿足不等式≤2x+2y的整數(shù)點坐標〔x,y〕的個數(shù)為〔〕〔A〕10〔B〕9〔C〕8〔D〕73．如果為給定的實數(shù)，且，那么這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對值是〔〕．〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕4．如果關(guān)于x的方程〔p、q是正整數(shù)〕的正根小于3，那么這樣的方程的個數(shù)是〔〕．〔A〕5〔B〕6〔C〕7〔D〕85．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6．擲兩次骰子，設其朝上的面上的兩個數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的概率為，那么中最大的是〔〕．〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二、填空題〔共5小題，每題7分，共35分〕6．如果a、b、c是正數(shù)，且滿足，，那么的值為.〔第6題圖〕7．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，AF與DE，DB分別交于點M，N，那么〔第6題圖〕8．如果關(guān)于x的方程x2+kx+k2－3k+=0的兩個實數(shù)根分別為，，那么的值為．9．2位八年級同學和m位九年級同學一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場．記分規(guī)那么是：每場比賽勝者得3分，負者得0分；平局各得1分.比賽結(jié)束后，所有同學的得分總和為130分，而且平局數(shù)不超過比賽局數(shù)的一半，那么m的值為.10．n是偶數(shù)，且1≤n≤100，假設有唯一的正整數(shù)對〔a，b〕使得成立，那么這樣的n的個數(shù)為.三、解答題〔共4題，每題20分，共80分〕11．二次函數(shù)，當時，恒有；關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和小于．求的范圍．12．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對角線，AC的中點I是△ABD的內(nèi)心.求證：〔1〕OI是△IBD的接圓的切線；〔2〕AB+AD=2BD.13．整數(shù)a，b滿足：a－b是素數(shù)，且ab是完全平方數(shù).當a≥2023時，求a的最小值.14．將2，3，…，n〔n≥2〕任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)a，b,c(可以相同)使得，求n的最小值.2023年全國初中數(shù)學競賽天津賽區(qū)初賽試卷一、選擇題=1\*GB2⑴假設四個互不相等的正實數(shù)滿足，，那么的值為〔〕=2\*GB2⑵一個袋子中裝有個相同的小球，它們分別標有號碼.搖勻后隨機取出一球，記下號碼后放回；再將小球搖勻，并從袋中隨機取出一球，那么第二次取出的球的號碼不小于第一次取出的球的號碼的概率為〔〕=3\*GB2⑶如圖，矩形紙片中，，，將其折疊，使點與點重合，得折痕，那么的長為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕=4\*GB2⑷在正就變形中，假設對角線,那么的值等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕=5\*GB2⑸有個人報名參加甲、乙、丙、丁四項體育比賽活動，規(guī)定每人至少參加1項比賽，至多參加2項比賽，但乙、丙兩項比賽不能同時兼報，假設在所有的報名方式中，必存在一種方式至少有20個人報名，那么的最小值等于〔〕()171()172()180()181二、填空題=6\*GB2⑹假設，那么的值為=7\*GB2⑺假設四條直線所圍成的凸四邊形的面積等于，那么的值為__________.=8\*GB2⑻如圖，半徑為的沿折線作無滑動的滾動，如果，，那么，自點至點轉(zhuǎn)動了__________周.(9)如圖，中，為中點，為邊三等分點，分別交于點，那么等于_______.(10)假設平面內(nèi)有一正方形，是該平面內(nèi)任意點，那么的最小值為______.三、解答題=11\*GB2⑾拋物線經(jīng)過點，且與軸交于兩點，假設點為該拋物線的頂點，求使面積最小時拋物線的解析式。=12\*GB2⑿如圖，分別以邊長1為的等邊三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作三個等圓，得交點，連接交于點，以點為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點，求的長。=13\*GB2⒀與同為質(zhì)數(shù)，求的值。=14\*GB2⒁關(guān)于的不等式組的解集中的整數(shù)恰好有2個，求實數(shù)的取值范圍。答案及詳解答案：?？蓪⑴c看做方程的兩個解，那么化為，因為，所以原式答案：D?？梢苑炙姆N情況討論：假設第一次抽出1號球，那么第二次抽出任一球都可滿足條件，概率為；假設第一次抽出2號球，那么第二次抽出號球可滿足要求，概率為；假設第一次抽出3號球，那么第二次抽出號球可滿足要求，概率為；假設第一次抽出4號球，那么第二次抽出4號球可滿足要求，概率為；加和得到最后概率為答案：。因為，所以，根據(jù)勾股定理得到，得到，易得，過點作于，，答案：。如圖，設為正九邊形的中心，連結(jié)，那么，，又易得，，在上截取連結(jié)，，，，又，，，又答案：。對于一個人來說，他的報名方式有兩種：報一項或兩項。報一項比賽的方式有4種，報兩項比賽的方式有種，每個人報名方式有9種，要求有20人相同，可以讓每一種方式都有19個人，然后只要任意一種再加一個人即可。所以應該為答案：。，展開后，，即，，答案：或。無論為正或負，圍成的圖形均為直角梯形或直角三角形，面積都等于中位線乘以高，高為4，那么中位線為3。中位線一定在這條直線上，那么可得到中點坐標為或，那么代入得到或答案：。的長度剛好為圓的一個周長，4段線段長度和為4倍周長，也就是圓轉(zhuǎn)了4周，但經(jīng)過點從到時，從與相切到與相切轉(zhuǎn)動了一個補角的度數(shù)，同理兩點都要轉(zhuǎn)一個補角度數(shù)，總共轉(zhuǎn)了，即周長答案：。如圖，作，，，，，，，，,答案：。如圖，通過勾股定理易得，，，，，，又，所以當最小時，這個值最小，所以當時最小，即點與點重合時因為經(jīng)過，代入得，，，點縱坐標為，，當時最小，解析式為如圖，過點作，連結(jié)，易得為正三角形，所以，又，，，，，=1\*GB3①當，即時，，即為合數(shù)，不符合題意；=2\*GB3②當，即時，，即為合數(shù)，不符合題意；=3\*GB3③當時，為合數(shù)，不符合題意；此時只能取，當時，為合數(shù)符合題意，所以2023年全國初中數(shù)學聯(lián)賽〔浙江賽區(qū)〕試題及參考答案第一試一、選擇題：〔此題總分值42分，每題7分〕1．，，，那么的大小關(guān)系是〔〕A.B.C.D.2.方程的整數(shù)解的組數(shù)為〔〕A．3.B．4.C．5.D．6.3．正方形ABCD的邊長為1，E為BC邊的延長線上一點，CE＝1，連接AE，與CD交于點F，連接BF并延長與線段DE交于點G，那么BG的長為〔〕A．B．C．D．4．實數(shù)滿足，那么的最小值為〔〕A．.B．0.C．1.D．.5．假設方程的兩個不相等的實數(shù)根滿足，那么實數(shù)的所有可能的值之和為〔〕A．0.B．.C．.D．.6．由1，2，3，4這四個數(shù)字組成四位數(shù)〔數(shù)字可重復使用〕，要求滿足.這樣的四位數(shù)共有〔〕A．36個.B．40個.C．44個.D．48個.二、填空題：〔此題總分值28分，每題7分〕1．互不相等的實數(shù)滿足，那么．2．使得是完全平方數(shù)的整數(shù)的個數(shù)為．3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，P為AB上一點，∠ACP＝20°，那么＝．4．實數(shù)滿足，，，那么＝．答案：選擇題：1.C2.B3.D4.B5.B6.C填空題：1.2.13.4.第二試〔A〕一、〔此題總分值20分〕直角三角形的邊長均為整數(shù)，周長為30，求它的外接圓的面積.解設直角三角形的三邊長分別為〔〕，那么.顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因為為整數(shù)，所以.根據(jù)勾股定理可得，把代入，化簡得，所以，因為均為整數(shù)且，所以只可能是解得所以，直角三角形的斜邊長，三角形的外接圓的面積為.二．〔此題總分值25分〕如圖，PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP于點D.證明：.證明：連接OA，OB，OC.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，.又由切割線定理可得，∴，∴D、B、C、O四點共圓，∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，∴，∴.三．〔此題總分值25分〕拋物線的頂點為P，與軸的正半軸交于A、B〔〕兩點，與軸交于點C，PA是△ABC的外接圓的切線.設M，假設AM//BC，求拋物線的解析式.解易求得點P，點C.設△ABC的外接圓的圓心為D，那么點P和點D都在線段AB的垂直平分線上，設點D的坐標為.顯然，是一元二次方程的兩根，所以，，又AB的中點E的坐標為，所以AE＝.因為PA為⊙D的切線，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得.又由DA＝DC得，即，把代入后可解得〔另一解舍去〕.又因為AM//BC，所以，即.把代入解得〔另一解舍去〕.因此，拋物線的解析式為.2023年四川初中數(shù)學聯(lián)賽(初二組)初賽試卷．選擇題(每題7分，共42分)．假設x＜1，那么化簡|x－1|得()．A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．－x＋1．(x＋a)(x－b)＝x2＋2x－1，那么ab等于()．A．－2 B．－1 C．1 D．2．假設a＜0，p＞q＞0，那么()．A．|pq|＞|qa| B．|pq|＜|qa| C． D．．凸四邊形ABCD對角線交于O，滿足AO＝OC，BO＝3OD，假設△ADO的面積為1，那么凸四邊形ABCD的面積為()．A．4 B．6 C．8 D．10．假設|a－1|＋|a－2|＜3，那么a的取值范圍是()．A．a(chǎn)＜0 B．0＜a＜3 C．3＜a D．1＜a＜2在凸四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝60°，AD＝2CD＝2，那么AB＝()．A．4 B．3 C．6 D．4．填空題(每題7分，共28分)．如果每人工作效率相同，a個人b天共做c個零件，那么要做a個零件，b個人需要的天數(shù)是＿＿＿．(用含a、b、c的代數(shù)式表示)．假設，那么的值為＿＿＿＿＿．．兩個單位正方形，其中一個正方形的頂點在另一個正方形的中心，那么兩個正方形重疊局部的面積為＿＿＿＿＿＿．．P為矩形ABCD內(nèi)的一點，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，那么PD的長等于＿＿＿＿．．計算與應用(此題總分值20分)．直線y＝kx＋b經(jīng)過點A(1，1)和點B(－1，3)，且與x軸、y軸的交點分別為C、D．設O為坐標原點，求△COD的面積．．(本大題總分值25分)．在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分線．求證：BC＝AC＋AD．．(本大題總分值25分)把1到15的15個自然數(shù)分成A和B兩組．假設把10從A組轉(zhuǎn)移到B組．那么A、B兩組數(shù)的平均數(shù)都分別比原來的減少了．求兩組數(shù)原來的平均數(shù)．2023年全國初中數(shù)學競賽試題【安徽賽區(qū)】一、選擇題〔共5小題，每題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分〕1、如果，那么的值為【】〔A〕〔B〕〔C〕2〔D〕解：B∵∴，，因此原式=在平面直角坐標系中，滿足不等式的整數(shù)點坐標〔x，y〕的個數(shù)為【】〔A〕10〔B〕9〔C〕7〔D〕5解：B解法一：化為因為x、y均為整數(shù)，因此或或分別解得或或所以共有9個整點解法二：化為它表示以點〔1,1〕為圓心，為半徑的圓內(nèi)，畫圖可知，這個圓內(nèi)有9個〔0,2〕、〔0,1〕〔0,0〕，〔1,0〕，〔1,1〕，〔1,2〕，〔2,0〕，〔2,1〕，〔2,2〕3、如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，△ABC是等邊三角形．，AD=3，BD=5，那么CD的長為【】〔A〕〔B〕4〔C〕〔D〕4.5解：圖，以CD為邊作等邊△CDE，連接AE．由于AC=BC，CD=CE，．所以△BCD≌△ACE，BD=AE．又因為，所以．在△中，，于是DE=，所以CD=DE=4．4、如果關(guān)于x的方程是正整數(shù)〕的正根小于3，那么這樣的方程的個數(shù)是【】〔A〕5〔B〕6〔C〕7〔D〕8解：C∵p、q是正整數(shù)∴，∴正根為解得∴，，，，，，5、黑板上寫有，，，…，共100個數(shù)字．每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個數(shù)，然后刪去，并在黑板上寫上數(shù)，那么經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是【】〔A〕2023〔B〕101〔C〕100〔D〕99解：C∵計算結(jié)果與順序無關(guān)∴順次計算得：，，，……二、填空題〔共5小題，每題7分，共35分〕6、如果a，b，c是正數(shù)，且滿足，，那么的值為．解：7在兩邊乘以得即7、如圖，⊙的半徑為20，是⊙上一點．以為對角線作矩形，且．延長，與⊙分別交于兩點，那么的值等于．解：如圖，設的中點為，連接，那么．因為，所以，．．8、設為整數(shù)，且1≤n≤2023.假設能被5整除，那么所有的個數(shù)為.解：1600因此，所以，因此所以共有2023-402=1600個數(shù)9、如果正數(shù)x，y，z可以是一個三角形的三邊長，那么稱是三角形數(shù)．假設和均為三角形數(shù)，且a≤b≤c，那么的取值范圍是.解：依題意得：，所以，代入〔2〕得，兩邊乘以a得即化簡得，兩邊除以得所以另一方面：a≤b≤c，所以綜合得10、是偶數(shù)，且1≤≤100．假設有唯一的正整數(shù)對使得成立，那么這樣的的個數(shù)為．解：依題意得由于是偶數(shù)，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍數(shù)當1≤≤100時，4的倍數(shù)共有25個但是，，，，，，，，，這些不符合要求，因此這樣的n有25-12=13個三、解答題〔共4題，每題20分，共80分〕11、如圖，在平面直角坐標系中，，，．與軸交于點，且．經(jīng)過B，C，E三點的圖象是一條拋物線，求這條拋物線對應的二次函數(shù)的解析式．解：因為sin∠ABC=，，所以AB=10．由勾股定理，得．易知，因此CO=BO=6．于是，，．設點D的坐標為．由，得．所以，．解得．因此D為AB的中點，點D的坐標為．因此CD，AO分別為AB，BC的兩條中線，點E為△ABC的重心，所以點E的坐標為．設經(jīng)過B，C，E三點的拋物線對應的二次函數(shù)的解析式為．將點E的坐標代入，解得a=．故經(jīng)過B，C，E三點的拋物線對應的二次函數(shù)的解析式為．12、如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對角線，AC的中點I是△ABD的內(nèi)心.求證：〔1〕OI是△IBD的外接圓的切線；〔2〕AB＋AD＝2BD.〔1〕如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)知，．所以，CI=CD．同理，CI=CB．故點C是△IBD的外心．連接OA，OC，因為I是AC的中點，且OA=OC，所以OI⊥AC，即OI⊥CI．故OI是△IBD外接圓的切線．〔2〕如圖，過點I作IE⊥AD于點E，設OC與BD交于點F．由，知OC⊥BD．因為∠CBF=∠IAE，BC=CI=AI，所以．所以BF=AE．又因為I是△ABD的內(nèi)心，所以．故．13、給定一個正整數(shù)，凸邊形中最多有多少個內(nèi)角等于？并說明理由．解：14、將，，…，〔n≥2〕任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)〔可以相同〕使得，求的最小值．解：當時，把分成如下兩個數(shù)組：和．在數(shù)組中，由于，所以其中不存在數(shù)，使得．在數(shù)組中，由于，所以其中不存在數(shù)，使得．所以，．下面證明當時，滿足題設條件．不妨設2在第一組，假設也在第一組，那么結(jié)論已經(jīng)成立．故不妨設在第二組．同理可設在第一組，在第二組．此時考慮數(shù)8．如果8在第一組，我們?nèi)?，此時；如果8在第二組，我們?nèi)。藭r．綜上，滿足題設條件．所以，的最小值為．注：也可以通過考慮2，4，16，256，65536的分組情況得到n最小值為65536．2023屆湖北省黃岡地區(qū)九年級四科聯(lián)賽數(shù)學試題一、選擇題〔每題5分，共25分〕1、三個關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一個公共根，那么的值為〔〕A、0 B、1 C、2 D、32、設a、b是整數(shù)，方程x2+ax+b=0的一根是，那么的值為〔〕A、2 B、0 C、-2 D、-1YXFDOBACE(4題)3、正實數(shù)a1,a2,….，a2023滿足a1YXFDOBACE(4題)A、p>2023 B、p=2023 C、p<2023 D、p與2023的大小關(guān)系不確定4、如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸、y軸交于A、B兩點，與反比例函數(shù)的圖象相交于C、D兩點，分別過C、D兩點作y軸，x軸的垂線，垂足為E、F，連接CF、DE，有以下結(jié)論：①△CEF與△DEF的面積相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面積等于，其中正確的個數(shù)有〔〕NCMBAD(5題)NCMBAD(5題)5、如圖，正方形ABCE的邊長為1，點M、N分別在BC、CD上，且△CMN的周長為2，那么△MAN的面積的最小值為〔〕A、 B、 C、 D、二、填空題〔每題5分，共25分〕6、實數(shù)x，y滿足，那么3x2-2y2+3x-3y-2023=EOXLAYEOXLAYBCDM·ADADNMGBEFC的函數(shù)表達式是9、如圖，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，連BD分別交AE、AF于點M、N，假設EG=4，GF=6，BM=，那么MN的長為10、的最小值為三、解答題11、邊長為整數(shù)的直角三角形，假設其兩直角邊邊長是方程x2-(k+2)x+4k=0的兩根，求k的值，并確定直角三角形三邊之長。〔10分〕12、如圖1，等腰Rt△CEF的斜邊CE在正方形ABCD的邊BC的延長線上，CF>BC，取線段AE的中點M?！?〕求證：MD=MF,MD⊥MF(6分)〔2〕假設Rt△CEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度〔如圖2〕，其他條件不變?！?〕中的結(jié)論是否仍然成立，假設成立，請證明，假設不成立，請說明理由?！?分〕ADADFMECB(圖2)EFMDABC〔圖1〕161116X(周)2030161116X(周)2030Y(元)ADCB〔1〕寫出每件的銷售價y〔元〕與時間x〔周〕之間的函數(shù)關(guān)系式；〔4分〕〔2〕設每件運動裝銷售利潤為w，寫出w〔元〕與時間x〔周〕之間的函數(shù)關(guān)系式；〔4分〕〔3〕求該運動裝第幾周出銷時，每件運動裝的銷售利潤最大？最大利潤為多少？〔6分〕14、如圖，以O為原點的直角坐標系中，A點的坐標為〔0，3〕，直線x=-3交x軸于點B，P為線段AB上一動點，作直線PC⊥PO，交于直線x=﹣3于點C。過P點作直線MN平行于x軸，交y軸于M，交直線x=﹣3于點N。〔1〕當點C在第二象限時，求證：△OPM≌△PCN；〔4分〕〔2〕設AP長為m，以P、O、B、C為頂點的四邊形的面積為S，請求出S與M之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；〔6分〕〔3〕當點P在線段AB上移動時，點C也隨之在直線x=-3上移動，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰三角形的點P的坐標，如果不可能，請說明理由?！?分〕XOBXOBCNX=﹣3PAMY1、D 2、C 3、A 4、C 5、A6〕-1 7〕 8〕 9〕10〕11、設直角邊為a，b〔a<b〕，那么a+b=k+2，ab=4k，因為方程的根為整數(shù)，故△=〔k+2〕2-16k為完全平方數(shù)。設(k+2)2-16k=n2∴k2-12k+4=n2∴(k-6)2-n2=32∴(k+n-6)(k-n-6)=1×32=2×16=4×8∵k+n-6>k-n-6∴解得，k2=15,k3=12當k2=15時，a+b=17,ab=60∴a=15，b=12，c=13；當k=12時，a+b=14,ab=48∴a=6，b=8，c=1012、略13、〔1〕〔2〕〔3〕由〔2〕化簡得①當時∵1≤x≤6∴當x=6時，w有最大值，最大值為18.5②當∵6≤x≤11，故當x=11時，w有最大值，最大值為③當∵12≤x≤16∴當x=12時，w有最大值為18綜上所述，當x=11時，w有最大值為答：該運動裝第11周出售時，每件利潤最大，最大利潤為14、〔1〕略(2)〔3〕P1〔0，3〕P22023年全國初中數(shù)學競賽試題〔副題〕一、選擇題〔共5小題，每題7分，共35分.1.小王在做數(shù)學題時，發(fā)現(xiàn)下面有趣的結(jié)果：由上，我們可知第100行的最后一個數(shù)是〔〕．〔A〕10000

〔B〕10020

〔C〕10120

〔D〕102002.如圖，在3×4表格中，左上角的1×1小方格被染成黑色，那么在這個表格中包含黑色小方格的矩形個數(shù)是〔〕．〔A〕11

〔B〕12

〔C〕13

〔D〕143．如果關(guān)于的方程有兩個有理根，那么所有滿足條件的正整數(shù)的個數(shù)是〔〕．〔A〕1

〔B〕2

〔C〕3

〔D〕44.假設函數(shù)y=〔k2－1〕x2－〔k+1〕x+1〔k為參數(shù)〕的圖象與x軸沒有公共點，那么k的取值范圍是〔〕．〔A〕k＞，或k＜－1

〔B〕－1＜k＜，且k≠1〔C〕k＞，或k≤－1

〔D〕k≥，或k≤－15.△ABC中，，分別為上的點，平分，BM=CM，為上一點，且，那么與的大小關(guān)系為〔〕．〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕無法確定二、填空題〔共5小題，每題7分，共35分〕6.如圖，正方形ABCD的面積為90．點P在AB上，；X，Y，Z三點在BD上，且，那么△PZX的面積為．〔第6題〕7．甲、乙、丙三輛車都勻速從A地駛往B地．乙車比丙車晚5分鐘出發(fā)，出發(fā)后40分鐘追上丙車；甲車比乙車晚20分鐘出發(fā)，出發(fā)后100分鐘追上丙車，那么甲車出發(fā)后分鐘追上乙車．8.設an=〔n為正整數(shù)〕，那么a1+a2+…+a2023的值1.〔填“＞〞，“＝〞或“＜〞〕9．紅、黑、白三種顏色的球各10個．把它們?nèi)糠湃爰?、乙兩個袋子中，要求每個袋子里三種顏色的球都有，且甲、乙兩個袋子中三種顏色的球數(shù)之積相等，那么共有種放法．10.△ABC中，，且b=4，那么a+c=.三、解答題〔共4題，每題20分，共80分〕11.c≤b≤a，且，求的最小值．12.求關(guān)于a，b，c，d的方程組的所有正整數(shù)解.13.如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于點O．P，Q分別是AD，BC上的點，且，．求證：OP＝OQ．〔第13題〕14.〔1〕三個數(shù)中必有兩個數(shù)的積等于第三個數(shù)的平方，求的值.〔2〕設為非零實數(shù)，為正整數(shù)，是否存在一列數(shù)滿足首尾兩項的積等于中間項的平方？〔3〕設為非零實數(shù)，假設將一列數(shù)中的某一項刪去后得到又一列數(shù)〔按原來的順序〕，滿足首尾兩項的積等于中間項的平方.試求的所有可能的值.2023年全國初中數(shù)學競賽試題〔副題〕參考答案一、選擇題1．D解：第k行的最后一個數(shù)是，故第100行的最后一個數(shù)是．2.

B解：這個表格中的矩形可由對角線的兩個端點確定，由于包含黑色小方格，于是，對角線的一個端點確定，另一個端點有3×4=12種選擇.3．B解：由于方程的兩根均為有理數(shù)，所以根的判別式≥0，且為完全平方數(shù)．≥0，又2≥，所以，當時，解得；當時，解得．4.

C解：當函數(shù)為二次函數(shù)時，有k2－1≠0，=(k+1)2－4(k2－1)＜0.解得k＞，或k＜－1．當函數(shù)為一次函數(shù)時，k=1，此時y=－2x+1與x軸有公共點，不符合題意．當函數(shù)為常數(shù)函數(shù)時，k=－1，此時y=1與x軸沒有公共點.所以，k的取值范圍是k＞，或k≤－1.

5.

B〔第5題〕解：如圖，設，作BKCE，那么，于是A，B，E，C四點共圓.因為是的中點，所以，從而有，即平分.二、填空題6.

30〔第6題〕解：如圖，連接PD，那么．7．180解：設甲、乙、丙三車的速度分別為每分鐘x，y，z米，由題意知，．消去z，得．設甲車出發(fā)后t分鐘追上乙車，那么，即，解得．8．＜解：由an==，得a1+a2+…+a2023==＜1.9．25解：設甲袋中紅、黑、白三種顏色的球數(shù)分別為，那么有1≤≤9，且，〔1〕即，〔2〕于是．因此中必有一個取5．不妨設，代入〔1〕式，得到．此時，y可取1，2，…，8，9〔相應地z取9，8，…，2，1〕，共9種放法．同理可得y=5，或者z=5時，也各有9種放法．但時，兩種放法重復．因此共有9×3－2=25種放法．10.

6〔第10題〕解：如圖，設△ABC內(nèi)切圓為⊙I，半徑為r，⊙I與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，連接IA，IB，IC，ID，IE，IF.由切線長定理得AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c).在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即tan.同理，

tan，tan.代入等式，得.因此a+c=.三、解答題11.解：，又，且，所以b，c是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根.故≥0，≥0，即≥0，所以≥20．于是≤-10，≥10，從而≥≥10，故≥30，當時，等號成立．12.解：將abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得10ab+10bc+10ca=9abc.因為abc≠0，所以，.不妨設a≤b≤c，那么≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a≤.從而，a=2，或3.假設a=2，那么.因為＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.從而，b=3，4，5.相應地，可得c=15，(舍去)，5.當a=2，b=3，c=15時，d=90；當a=2，b=5，c=5時，d=50.假設a=3，那么.因為＜≤，所以，＜≤，＜b≤.從而，b=2〔舍去〕，3.當b=3時，c=(舍去).因此，所有正整數(shù)解為(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).13.證明：延長DA至，使得，那么，于是△DPC∽△，故，所以PO∥．〔第13題〕又因為△DPO∽△，所以．同理可得，而AB∥CD，所以，故OP＝OQ．14.解：〔1〕由題設可得，或，或.由，解得；由，解得；由，解得.所以滿足題設要求的實數(shù).〔2〕不存在.由題設〔整數(shù)≥1〕滿足首項與末項的積是中間項的平方，那么有，解得，這與矛盾.故不存在這樣的數(shù)列.〔3〕如果刪去的是1，或者是，那么由〔2〕知，或數(shù)列均為1，1，1，即，這與題設矛盾.如果刪去的是，得到的一列數(shù)為，那么，可得.如果刪去的是，得到的一列數(shù)為，那么，開得.所以符合題設要求的的值為1，或.2023年全國初中數(shù)學競賽試題〔正題〕一、選擇題〔共5小題，每題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分〕1〔甲〕．如果實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如下圖，那么代數(shù)式可以化簡為〔〕．〔第1〔甲〕題〕〔A〕2ca〔B〕2a2b〔C〕a〔D1〔乙〕．如果，那么的值為〔〕．〔A〕〔B〕〔C〕2〔D〕2〔甲〕．如果正比例函數(shù)y=ax〔a≠0〕與反比例函數(shù)y=〔b≠0〕的圖象有兩個交點，其中一個交點的坐標為〔－3，－2〕，那么另一個交點的坐標為〔〕．〔A〕〔2，3〕〔B〕〔3，－2〕〔C〕〔－2，3〕〔D〕〔3，2〕2〔乙〕．在平面直角坐標系中，滿足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整數(shù)點坐標〔x，y〕的個數(shù)為〔〕．〔A〕10〔B〕9〔C〕7〔D〕53〔甲〕．如果為給定的實數(shù)，且，那么這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對值是〔〕．〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕3〔乙〕．如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，△ABC是等邊三角形．，AD=3，BD=5，那么CD的長為〔〕．〔第3〔乙〕題〕〔A〕〔B〕4〔C〕〔D〕4.54〔甲〕．小倩和小玲每人都有假設干面值為整數(shù)元的人民幣．小倩對小玲說：“你假設給我2元，我的錢數(shù)將是你的n倍〞；小玲對小倩說：“你假設給我n元，我的錢數(shù)將是你的2倍〞，其中n為正整數(shù)，那么n的可能值的個數(shù)是〔〕．〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕44〔乙〕．如果關(guān)于x的方程是正整數(shù)〕的正根小于3，那么這樣的方程的個數(shù)是〔〕．〔A〕5〔B〕6〔C〕7〔D〕85〔甲〕．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6．擲兩次骰子，設其朝上的面上的兩個數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的概率為，那么中最大的是〔〕．〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5〔乙〕．黑板上寫有共100個數(shù)字．每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個數(shù)，然后刪去，并在黑板上寫上數(shù)，那么經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是〔〕．〔A〕2023〔B〕101〔C〕100〔D〕99二、填空題〔共5小題，每題7分，共35分〕6〔甲〕．按如圖的程序進行操作，規(guī)定：程序運行從“輸入一個值x〞到“結(jié)果是否>487？〞為一次操作.如果操作進行四次才停止，那么x的取值范圍是.〔第6〔甲〕題〕6〔乙〕.如果a，b，c是正數(shù)，且滿足，，那么的值為．7〔甲〕．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，AF與DE，DB分別交于點M，N，那么△DMN的面積是.〔第7〔甲〕題〕〔第7〔乙〕題〕7〔乙〕．如圖，的半徑為20，是上一點.以為對角線作矩形，且.延長，與分別交于兩點，那么的值等于．8〔甲〕．如果關(guān)于x的方程x2+kx+k2－3k+=0的兩個實數(shù)根分別為，，那么的值為．8〔乙〕．設為整數(shù)，且1≤n≤2023.假設能被5整除，那么所有的個數(shù)為.9〔甲〕．2位八年級同學和m位九年級同學一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場．記分規(guī)那么是：每場比賽勝者得3分，負者得0分；平局各得1分.比賽結(jié)束后，所有同學的得分總和為130分，而且平局數(shù)不超過比賽局數(shù)的一半，那么m的值為.9〔乙〕．如果正數(shù)x，y，z可以是一個三角形的三邊長，那么稱是三角形數(shù)．假設和均為三角形數(shù)，且a≤b≤c，那么的取值范圍是.10〔甲〕．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，AD=DC.分別延長BA，CD，交點為E.作BF⊥EC，并與EC的延長線交于點F.假設AE=AO，BC=6，那么CF的長為.〔第10〔甲〕題〕10〔乙〕．是偶數(shù)，且1≤≤100．假設有唯一的正整數(shù)對使得成立，那么這樣的的個數(shù)為．三、解答題〔共4題，每題20分，共80分〕11〔甲〕．二次函數(shù)，當時，恒有；關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和小于．求的取值范圍．11〔乙〕．如圖，在平面直角坐標系xOy中，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=．CD與y軸交于點E，且S△COE=S△ADE.經(jīng)過B，C，E三點的圖象是一條拋物線，求這條拋物線對應的二次函數(shù)的解析式.〔第11〔乙〕題〕12〔甲〕．如圖，的直徑為，過點，且與內(nèi)切于點．為上的點，與交于點，且．點在上，且，BE的延長線與交于點，求證：△BOC∽△．〔第12〔甲〕題〕12〔乙〕．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對角線，AC的中點I是△ABD的內(nèi)心.求證：〔1〕OI是△IBD的外接圓的切線；〔2〕AB+AD=2BD.〔第12〔乙〕題〕13〔甲〕．整數(shù)a，b滿足：a－b是素數(shù)，且ab是完全平方數(shù).當a≥2023時，求a的最小值.13〔乙〕．凸邊形中最多有多少個內(nèi)角等于？并說明理由14〔甲〕．求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)，滿足，且.14〔乙〕．將〔n≥2〕任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)〔可以相同〕使得，求的最小值．2012-04-16人教網(wǎng)2023年全國初中數(shù)學競賽試題〔正題〕參考答案一、選擇題1〔甲〕．C解：由實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可知，且，所以．1〔乙〕．B解：．2〔甲〕．D解：由題設知，，，所以.解方程組得所以另一個交點的坐標為〔3，2〕.注：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對稱性，可知兩個交點關(guān)于原點對稱，因此另一個交點的坐標為〔3，2〕.2〔乙〕．B解：由題設x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.因為均為整數(shù)，所以有解得以上共計9對.3〔甲〕．D解：由題設知，，所以這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，于是.3〔乙〕．B解：如圖，以CD為邊作等邊△CDE，連接AE.〔第3〔乙〕題〕由于AC=BC，CD=CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，所以△BCD≌△ACE，BD=AE.又因為，所以.在Rt△中，于是DE=，所以CD=DE=4.4〔甲〕．D解：設小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元，均為非負整數(shù).由題設可得消去x得

(2y－7)n=y+4，

2n=.因為為正整數(shù)，所以2y－7的值分別為1，3，5，15，所以y的值只能為4，5，6，11．從而n的值分別為8，3，2，1；x的值分別為14，7，6，7．4〔乙〕．C解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知，兩根的乘積為，故方程的根為一正一負．由二次函數(shù)的圖象知，當時，，所以，即.由于都是正整數(shù)，所以，1≤q≤5；或，1≤q≤2，此時都有.于是共有7組符合題意．5〔甲〕．D解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對共有36個，其和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的有序數(shù)對有9個，8個，9個，10個，所以，因此最大．5〔乙〕．C解：因為，所以每次操作前和操作后，黑板上的每個數(shù)加1后的乘積不變．設經(jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為，那么，解得，．二、填空題6〔甲〕．7＜x≤19解：前四次操作的結(jié)果分別為

3x－2，3(3x－2)－2=9x－8，3(9x－8)－2=27x－26，3(2