泛函分析課件

演講者：丁時進(jìn)教授

時間：2006年11月30日分析數(shù)學(xué)中的若干問題一.分析數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程：1.初創(chuàng)

現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的發(fā)展應(yīng)該起源于微積分的發(fā)明和極限理論的建立。即使僅僅是對“數(shù)“的理論的完善也歸功于極限論的建立。

經(jīng)過16世紀(jì)中葉到17世紀(jì)初的醞釀，牛頓（1642——1727）和萊布尼茨（1646——1716）終于在17世紀(jì)下半葉創(chuàng)立了微積分。

在此之前，通過略去高次項（即忽略高階無窮小量）。帕斯卡，費馬，沃利斯，巴羅等著名學(xué)者使微積分學(xué)產(chǎn)生萌芽。

牛頓的流數(shù)術(shù)（微積分）是他一生三大發(fā)明之一。流數(shù)術(shù)：“已知量之間的關(guān)系，求他的流數(shù)；以及反過來”——牛頓的微分和積分的觀點——互逆運算：微積分學(xué)基本定理。(1736年發(fā)表)

萊布尼茲：考察切線，第一次引入了符號，沿用至今。

1734年貝克萊嘲笑“無窮小量是‘已死量的幽靈’，因為是費馬略去的無窮小量，還是牛頓的，一直到萊布尼茨的,又是又不是，招之即來，揮之即去，“鬼使神差”。達(dá)朗貝爾——將微積分的基礎(chǔ)歸結(jié)為極限。但沒創(chuàng)造完整體系。

歐拉利用這種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈⒎e分創(chuàng)立了微分方程，無窮級數(shù)，變分學(xué)諸多學(xué)科并解決了大量天文，物理，力學(xué)問題，著有《無窮小分析引論》。

拉格朗日，拉普拉斯，勒讓德，傅立葉在分析學(xué)方面都作出了巨大貢獻(xiàn)。

但至此，微積分學(xué)的基礎(chǔ)還沒有找到合適的解決辦法。所以，法國哲學(xué)家伏爾泰稱微積分為“精確計算和度量的一個其存在性是無從想象的東西的藝術(shù)?！?/p>

柯西《分析教程》：“若代表某變量的一串?dāng)?shù)值無限地趨向于某一數(shù)值，其差可以任意小，則該固定值稱為這一串?dāng)?shù)的極限”，他將分析學(xué)奠定在極限概念之上，但仍然使用“無限趨向”，“要多小就有多小”一類不嚴(yán)格的語言。魏爾斯特拉斯（1815-1897）將柯西的思想“算術(shù)化”，出現(xiàn)了至今通用的語言。語言——柯西準(zhǔn)則——構(gòu)成微積分的基礎(chǔ)“極限論”的基礎(chǔ)。2.微積分的基礎(chǔ)3.實數(shù)理論

在十九世紀(jì)分析學(xué)發(fā)展的同時，人類也完善了實數(shù)理論。柯西首先認(rèn)識到“無理數(shù)是有理數(shù)迫近的極限”（即：實數(shù)域是有理數(shù)域的完備化）。但極限又要用到實數(shù)，這形成了一個循環(huán)論證。梅萊，海涅，康托把無理數(shù)看成柯西列。戴德金采用對有理數(shù)分割的辦法，建立了不依賴于極限論的實數(shù)理論。

勒貝格（1875-1941）——創(chuàng)立可列可加測度的積分論，形成實變函數(shù)論。以實分析為基礎(chǔ)的概率論和隨機過程，稱為現(xiàn)代分析。復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展，形成復(fù)分析。以函數(shù)空間為背景的泛函和算子理論——泛函分析。此外還有傅立葉分析等。4.20世紀(jì)分析學(xué)的發(fā)展

20世紀(jì)分析學(xué)的另一特征是用拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)學(xué)，處理高維空間中的曲面和曲線以及多變量函數(shù)的整體性質(zhì)，形成流形上的分析。流形上的分析結(jié)合了微分幾何學(xué)—偏微分方程—多復(fù)變函數(shù)論，成為當(dāng)代數(shù)學(xué)的主流方向。外微分形式—反函數(shù)理論，成為當(dāng)代分析學(xué)的基礎(chǔ)知識。

同時，20世紀(jì)分析學(xué)的發(fā)展，使非線性分析成為最活躍的數(shù)學(xué)分支之一，其基礎(chǔ)理論是算子理論。泛函分析使分析學(xué)躍上新的高度。希爾伯特空間—巴拿赫空間—廣義函數(shù)論成為常識。現(xiàn)在我們知道，無窮小量不再是一個量，而是一個變化的過程。

從上面可以看到，分析數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了近3百年漫長的歷史。數(shù)學(xué)成為現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)，已經(jīng)成為人類的共識。二.從“數(shù)“到”泛函分析“的知識體系數(shù)（自然數(shù)—整數(shù)—有理數(shù)—實數(shù)—復(fù)數(shù)）變量函數(shù)（描述變量之間的變化關(guān)系）極限函數(shù)的分析性質(zhì)，實數(shù)理論的建立（有限維歐式空間上的定義的函數(shù)）實分析（Lebesgue積分理論函數(shù)空間的研究（Hilbert空間，Banach空間——無限維空間）函數(shù)空間上定義的函數(shù)，即泛函或算子

派生：微分幾何學(xué)，復(fù)變函數(shù)，微分方程等；現(xiàn)代：流形—流形上的分析學(xué)。三、用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點看已學(xué)過數(shù)學(xué)知識從上面的發(fā)現(xiàn)過程看來，可以歸結(jié)為：

第一階段：變量取的是“數(shù)“，函數(shù)就是通常所說的函數(shù)第二階段：變量取的是“函數(shù)空間中的元素”函數(shù)變成了泛函。所以，總是首先對變量所在的“空間”研究清楚，才能研究定義在這個“空間”上的“函數(shù)”。

變量所在的“空間”，除了其代數(shù)運算與代數(shù)性質(zhì)（群，環(huán)，域）外，對于研究在他上面定義的分析性質(zhì)來說，“空間”的分析性質(zhì)是十分重要的。

小學(xué)就開始學(xué)習(xí)“距離空間”。如，直線上點與點之間的距離。中學(xué)時學(xué)習(xí)的作為兩個點(x1,y1)和(x2,y2)之間的距離。

其實，現(xiàn)在我們知道，還可以采用很多方法定義距離。2.在空間上定義拓?fù)洹x收斂性

一般說來，中有界閉集合一定是緊的，這就是數(shù)學(xué)分析中所說的致密性定理。

但是，到了無限維空間，例如一般的Banach空間，其中的有界集就不一定有收斂子列。常見的例子是，有界的連續(xù)函數(shù)列不一定有一致收斂的子列，還要加上諸如“等度連續(xù)性“條件（Arzela--Ascoli）.5.現(xiàn)在我們看看“函數(shù)空間”1°在上連續(xù)的函數(shù)的全體構(gòu)成一個集合。按照通常的加法和數(shù)乘，構(gòu)成一個線性空間，把里面的元素視為點。1?Dirichlet函數(shù)不是黎曼可積的，但是它是Lebesgue可積的.2?積分與極限交換順序的問題6.另三個典型的例子可以看到人類認(rèn)識的發(fā)展：3?在通常意義和Lebesgue意義下都無法解釋的“函數(shù)”四、幾個問題a.極值問題——從函數(shù)極值到短程線問題半正定——極小半負(fù)定——極大泛函的極值：短程線，障礙問題（1）捷線問題：初速為0的質(zhì)點，僅受重力作用，沿光滑曲線由定點A滑行到定點B（B低于A但不在同一條垂直于地面的直線上），為使滑行時間最短，問滑行的曲線是怎樣的？AyBx分析：AyBx(2)短程線眾所周知，連接平面上兩點A、B的最短線為直線。那么，我們來考慮如下有趣的問題：要在山坡上修建一條最短的公路連接兩個居民點A、B，問如何選線？分析：設(shè)山坡的曲面方程為F(x,y,z)=0,設(shè)連接A、B的曲線為：y=y(x)z=z(x)則A、B間曲線

的弧長是所以，要在約束條件F(x,y,z)=0之下，求泛函的最小值（3）等周問題：平面上一切有定長的簡單閉曲線中，確定一條圍成最大面積的曲線。設(shè)曲線方程為

是定長，則面為，

求A在約束條件之下求最小值————等周問題。歷史上用平面幾何和不等式的辦法曾經(jīng)證明了下面的等周定理，為了證明它，人類花了兩千多年（1）在具有給定周長的所有平面圖形中，圓的面積最大。

（2）在所有給定面積的平面圖形中，圓的周長最小。

（1’）在具有給定表面積的所有立體圖形中，球的體積最大。

（2’）在具有給定體積的所有立體圖形中，球的表面積最小。等周定理：其他還有三角形的等周定理，多邊形的等周定理。（4）繞過障礙拉緊橡皮筋帶兩端A、B，繞過平板W光滑邊緣，則弧長為但是要保證其中是W的邊界方程。（5）球面上的短程線（6）不動點定理－從一維到高維－求解非線性問題i.設(shè)在上連續(xù)，且，則存在,使得即：連續(xù)且將映到自身，那么在中有不動點，此為Schauder不動點。ii.壓縮映象原理如果函數(shù)定義在上，且存在使得那么存在唯一的使得iii.高維

如果一個連續(xù)映射φ把一個閉單位球映到自己，那么這個閉單位球內(nèi)有這個映射的不動點。還有類似的壓縮映射原理iv.無限維在Banach空間上，有Schauder不動點原理，Brower不動點原理，Leray－Schauder不動點原理。它們是求解非線性問題的有力工具。五、總結(jié)——可供選擇的題目1、變分問題

3、函數(shù)方程常見解法4、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用2、不動點定理及其應(yīng)用5、中學(xué)如何講授微積分（在沒有的情況下）6、中學(xué)數(shù)學(xué)問題中的微分方程7、從分析角度談數(shù)系8、球面上三角形的計算問題9、函數(shù)的迭代11、無窮大量對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義（有界、無界、漸近線等）12、不等式的證明——從離散到積分形式（函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分、凹凸性）10、復(fù)數(shù)方法解決中數(shù)問題13、用拓?fù)涞挠^點看函數(shù)的連續(xù)性和一致連續(xù)性六、現(xiàn)在，把上面提到的有些問題作一些解釋1、關(guān)于函數(shù)方程其他函數(shù)方程：①②③其他方程如：待定系數(shù)法、極限、冪級數(shù)法微積分法還可用于

可以從已知函數(shù)所滿足的關(guān)系式反過來思考，再討論一些函數(shù)方程。參考文獻(xiàn)：王向東等著，函數(shù)方程及其應(yīng)用，上?？萍嘉墨I(xiàn)出版社，20032、函數(shù)的迭代與不動點設(shè)連續(xù)函數(shù)f:R→R，復(fù)合函數(shù)f(f(x))記作f2(x)≡f(f(x)),類似的定義f(f(f(x)))=f3(x),…,f(f(…f(x)…))=fn(x),稱為函數(shù)的迭代。視n次迭代fn

為R中的一個映射。

若存在x∈R，使fn(x)=x，則稱x是映射fn

的不動點。fn

的不動點的集合記作Fix(fn)

可以考察：n→∞，極限是什么（對具體函數(shù)或給f一定的條件）?

也可以考察，在哪些條件下，fn

有不動點，F(xiàn)ix(fn)有什么性質(zhì)？3、用不動點解非線性問題或用迭代法求解非線性問題例：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且a≤f(x)≤b，

x

∈[a,b]，求證存在x0∈[a,b]，使x0=f(x0)思想：選x1∈[a,b]，定義xn+1=f(xn)，n=1，2，‥證明{xn}收斂且極限x0就是不動點。思考：①推廣到高維映射；②應(yīng)用到其他的問題；*2006年高考題：A是由定義在[2,4]上具有滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：4、解微分不等式——Gronwall不等式

由在一定條件下研究的性質(zhì)，推廣到其他多種變形。

Gronwall不等式是研究偏微分方程的重要工具。5、常微分方程有限時刻爆破的問題例：對一階非線性常微分方程

當(dāng)滿足什么條件時，一定在某個有限時刻爆破，即：

也可研究任意時刻不爆破.

還可以推廣到高階非線性常微分方程的初值問題或邊值問題。甚至可以推廣到偏微分方程*科學(xué)研究常用步驟：

選題＝＞調(diào)研＝＞收集資料（卡片）＝＞寫作＝＞遇到問題再查資料

＝＞解決一部分問題＝＞推廣11醉翁亭記

1．反復(fù)朗讀并背誦課文，培養(yǎng)文言語感。

2．結(jié)合注釋疏通文義，了解文本內(nèi)容，掌握文本寫作思路。

3．把握文章的藝術(shù)特色，理解虛詞在文中的作用。

4．體會作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、導(dǎo)入新課范仲淹因參與改革被貶，于慶歷六年寫下《岳陽樓記》，寄托自己“先天下之憂而憂，后天下之樂而樂”的政治理想。實際上，這次改革，受到貶謫的除了范仲淹和滕子京之外，還有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文學(xué)家、史學(xué)家歐陽修。他于慶歷五年被貶謫到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期間，歐陽修在滁州留下了不遜于《岳陽樓記》的千古名篇——《醉翁亭記》。接下來就讓我們一起來學(xué)習(xí)這篇課文吧！【教學(xué)提示】結(jié)合前文教學(xué)，有利于學(xué)生把握本文寫作背景，進(jìn)而加深學(xué)生對作品含義的理解。二、教學(xué)新課目標(biāo)導(dǎo)學(xué)一：認(rèn)識作者，了解作品背景作者簡介：歐陽修(1007—1072)，字永叔，自號醉翁，晚年又號“六一居士”。吉州永豐(今屬江西)人，因吉州原屬廬陵郡，因此他又以“廬陵歐陽修”自居。謚號文忠，世稱歐陽文忠公。北宋政治家、文學(xué)家、史學(xué)家，與韓愈、柳宗元、王安石、蘇洵、蘇軾、蘇轍、曾鞏合稱“唐宋八大家”。后人又將其與韓愈、柳宗元和蘇軾合稱“千古文章四大家”。

關(guān)于“醉翁”與“六一居士”：初謫滁山，自號醉翁。既老而衰且病，將退休于潁水之上，則又更號六一居士?？陀袉栐唬骸傲缓沃^也？”居士曰：“吾家藏書一萬卷，集錄三代以來金石遺文一千卷，有琴一張，有棋一局，而常置酒一壺?！笨驮唬骸笆菫槲逡粻?，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之間，豈不為六一乎？”寫作背景：宋仁宗慶歷五年(1045年)，參知政事范仲淹等人遭讒離職，歐陽修上書替他們分辯，被貶到滁州做了兩年知州。到任以后，他內(nèi)心抑郁，但還能發(fā)揮“寬簡而不擾”的作風(fēng)，取得了某些政績。《醉翁亭記》就是在這個時期寫就的。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)二：朗讀文章，通文順字1．初讀文章，結(jié)合工具書梳理文章字詞。2．朗讀文章，劃分文章節(jié)奏，標(biāo)出節(jié)奏劃分有疑難的語句。節(jié)奏劃分示例

環(huán)滁/皆山也。其/西南諸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，瑯琊也。山行/六七里，漸聞/水聲潺潺，而瀉出于/兩峰之間者，釀泉也。峰回/路轉(zhuǎn)，有亭/翼然臨于泉上者，醉翁亭也。作亭者/誰？山之僧/曰/智仙也。名之者/誰？太守/自謂也。太守與客來飲/于此，飲少/輒醉，而/年又最高，故/自號曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之間也。山水之樂，得之心/而寓之酒也。節(jié)奏劃分思考“山行/六七里”為什么不能劃分為“山/行六七里”？

明確：“山行”意指“沿著山路走”，“山行”是個狀中短語，不能將其割裂?！巴?蔚然而深秀者”為什么不能劃分為“望之蔚然/而深秀者”？明確：“蔚然而深秀”是兩個并列的詞，不宜割裂，“望之”是總起詞語，故應(yīng)從其后斷句?！窘虒W(xué)提示】引導(dǎo)學(xué)生在反復(fù)朗讀的過程中劃分朗讀節(jié)奏，在劃分節(jié)奏的過程中感知文意。對于部分結(jié)構(gòu)復(fù)雜的句子，教師可做適當(dāng)?shù)闹v解引導(dǎo)。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)三：結(jié)合注釋，翻譯訓(xùn)練1．學(xué)生結(jié)合課下注釋和工具書自行疏通文義，并畫出不解之處?！窘虒W(xué)提示】節(jié)奏劃分與明確文意相輔相成，若能以節(jié)奏劃分引導(dǎo)學(xué)生明確文意最好；若學(xué)生理解有限，亦可在解讀文意后把握節(jié)奏劃分。2．以四人小組為單位，組內(nèi)互助解疑，并嘗試用“直譯”與“意譯”兩種方法譯讀文章。3．教師選擇疑難句或值得翻譯的句子，請學(xué)生用兩種翻譯方法進(jìn)行翻譯。翻譯示例：若夫日出而林霏開，云歸而巖穴暝，晦明變化者，山間之朝暮也。野芳發(fā)而幽香，佳木秀而繁陰，風(fēng)霜高潔，水落而石出者，山間之四時也。直譯法：那太陽一出來，樹林里的霧氣散開，云霧聚攏，山谷就顯得昏暗了，朝則自暗而明，暮則自明而暗，或暗或明，變化不一，這是山間早晚的景色。野花開放，有一股清幽的香味，好的樹木枝葉繁茂，形成濃郁的綠蔭。天高氣爽，霜色潔白，泉水淺了，石底露出水面，這是山中四季的景色。意譯法：太陽升起，山林里霧氣開始消散，煙云聚攏，山谷又開始顯得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明變化的，就是山中的朝暮。春天野花綻開并散發(fā)出陣陣幽香，夏日佳樹繁茂并形成一片濃蔭，秋天風(fēng)高氣爽，霜色潔白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教學(xué)提示】翻譯有直譯與意譯兩種方式，直譯鍛煉學(xué)生用語的準(zhǔn)確性，但可能會降低譯文的美感；意譯可加強譯文的美感，培養(yǎng)學(xué)生的翻譯興趣，但可能會降低譯文的準(zhǔn)確性。因此，需兩種翻譯方式都做必要引導(dǎo)。全文直譯內(nèi)容見《我的積累本》。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)四：解讀文段，把握文本內(nèi)容1．賞析第一段，說說本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此運用了怎樣的藝術(shù)手法。

明確：首先以“環(huán)滁皆山也”五字領(lǐng)起，將滁州的地理環(huán)境一筆勾出，點出醉翁亭坐落在群山之中，并縱觀滁州全貌，鳥瞰群山環(huán)抱之景。接著作者將“鏡頭”全景移向局部，先寫“西南諸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南諸峰之中，視野集中到最佳處。再寫瑯琊山“蔚然而深秀”，點山“秀”，照應(yīng)上文的“美”。又寫釀泉，其名字透出了泉與酒的關(guān)系，好泉釀好酒，好酒叫人醉?！白砦掏ぁ钡拿直惆抵型赋?，然后引出“醉翁亭”來。作者利用空間變幻的手法，移步換景，由遠(yuǎn)及近，為我們描繪了一幅幅山水特寫。2．第二段主要寫了什么？它和第一段有什么聯(lián)系？明確：第二段利用時間推移，抓住朝暮及四季特點，描繪了對比鮮明的晦明變化圖及四季風(fēng)光圖，寫出了其中的“樂亦無窮”。第二段是第一段“山水之樂”的具體化。3．第三段同樣是寫“樂”，但卻是寫的游人之樂，作者是如何寫游人之樂的？明確：“滁人游”，前呼后應(yīng)，扶老攜幼，自由自在，熱鬧非凡；“太守宴”，溪深魚肥，泉香酒洌，美味佳肴，應(yīng)有盡有；“眾賓歡”，投壺下棋，觥籌交錯，說說笑笑，無拘無束。如此勾畫了游人之樂。4．作者為什么要在第三段寫游人之樂？明確：寫滁人之游，描繪出一幅太平祥和的百姓游樂圖。游樂場景映在太守的眼里，便多了一層政治清明的意味。太守在游人之樂中酒酣而醉，此醉是為山水之樂而醉，更是為能與百姓同樂而醉。體現(xiàn)太守與百姓關(guān)系融洽，“政通人和”才能有這樣的樂。5．第四段主要寫了什么？明確：寫宴會散、眾人歸的情景。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)五：深入解讀，把握作者思想感情思考探究：作者以一個“樂”字貫穿全篇，卻有兩個句子別出深意，不單單是在寫樂，而是另有所指，表達(dá)出另外一種情緒，請你找出這兩個句子，說說這種情緒是什么。明確：醉翁之意不在酒，在乎山水之間也。醉能同其樂，醒能述以文者，太守也。這種情緒是作者遭貶謫后的抑郁，作者并未在文中袒露胸懷，只含蓄地說：“醉能同其樂，醒能述以文者，太守也?！贝司渑c醉翁亭的名稱、“醉翁之意不在酒，在乎山水之間也”前后呼應(yīng)，并與“滁人游”“太守宴”“眾賓歡”“太守醉”連成一條抒情的線索，曲折地表達(dá)了作者內(nèi)心復(fù)雜的思想感情。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)六：賞析文本，感受文本藝術(shù)特色1．在把握作者復(fù)雜感情的基礎(chǔ)上朗讀文本。2．反復(fù)朗讀，請同學(xué)說說本文讀來有哪些特點，為什么會有這些特點。(1)句法上大量運用駢偶句，并夾有散句，既整齊又富有變化，使