初三數學分類討論思想在解題中的應用知識精講首師大版

.PAGE.>初三數學分類討論思想在解題中的應用知識精講【同步教育信息】一.本周教學內容：分類討論思想在解題中的應用1.在數學中，分類思想是根據數學本質屬性的一樣點和不同點，把數學的研究對象區(qū)分為不同種類的一種數學思想，正確應用分類思想，是完整解題的根底。2.正確的分類應當符合兩條原則：〔1〕分類應按同一標準進展；〔2〕分類應當不重復，不遺漏。例如，把三角形分為斜三角形和等邊三角形兩大類，既有重復〔等邊三角形是斜三角形〕，又有遺漏〔不包括直角三角形〕，其分類標準不統(tǒng)一，故分類錯誤。分類后，對各個情況分別進展研究，得出不同情況下的結論，這就是討論。3.分類討論思想是中考的熱點考察內容。二.重點、難點：分類討論思想的應用和分類的標準既是重點又是難點?！镜湫屠}】一、與數學概念、定義有關的分類討論。例1.分析：對值符號，這就要根據絕對值的概念進展分類討論研究。解法一：解法二：故應填8或2。例2.相切兩圓的圓心距為5，一個圓的半徑為2，則另一個圓的半徑為__________。分析：相切兩圓分為內切、外切兩種情況。解：設另一個圓心的半徑為r，則r＋2＝5或r－2＝5?！鄏＝3或7。二、涉及數學運算法則或定理、公式的適用范圍的分類討論。例3.A.第一、二象限 B.第二、三象限C.第三、四象限 D.第一、二、三象限分析：分兩種情況討論。解法一：分兩種情況討論：〔1〕當a＋b＋c≠0時，由等比性質，得〔2〕當a＋b＋c＝0時，a＋b＝－c，綜合〔1〕〔2〕，直線y＝k*＋k一定經過第二、三象限，應選B。解法二：例4.誤解：分析：誤解的結果是正確的，但解法是欠妥的，造成誤解的原因是習慣性地把未知量*，y看作不相等，即無視了*＝y(tǒng)的情況，這種錯誤易出現，但又難發(fā)現，因此必須高度重視。正確的解法是分類討論：說明：本例也可以應用因式分解法防止討論：解法二：三、涉及問題中待定參數的變化的分類討論。例5.根？分析：方程有實數根，即方程有兩個或一個實數根，相應的方程為一元二次方程或一元一次方程，所以對未知數最高次項的系數要分類討論。解：說明：方程中最高次項的系數是含字母的不確定代數式，決定了它的取值的多種可能性，不能看到*2項就簡單地認為是一元二次方程。例6.〔1〕k滿足什么條件時，這兩個函數在同一直角坐標系中的圖象有兩個交點？〔2〕設〔1〕中的兩個交點為A，B，試比較∠AOB與90°角的大小。分析：置，所以要注意分類討論。解：〔2〕y＝－*＋8的圖象經過第一、二、四象限，由于k的不同取值導致A、B的位置不同，因此應分類討論：①當0＜k＜16時，雙曲線的兩支分布在第一、三象限，則這兩個函數圖象的交點A和B都在第一象限，∴∠AOB＜∠*Oy，即∠AOB＜90°，如下列圖；②當k＜0時，雙曲線的兩支分布在第二、四象限，則這兩個函數圖象的兩個交點A和B分別在第二、四象限，∴∠AOB＞∠*Oy，即∠AOB＞90°。例7.分析：此題在審題時要讀懂題意，題設中未指明是涉及②中的哪個整數根，故要分類討論。解：，根據題設，對*1，*2進展分類討論：四、涉及幾何元素位置變化的分類討論。1.與幾何根本概念有關的分類討論。例8.C到直線l的距離是_________________。分析：點A，點B與直線l的位置關系有兩種情況：A、B兩點在直線l的同側或異側。解：〔1〕如下列圖，當A、B兩點在直線l的同側時，設AM⊥l于M，BN⊥l于N，CP⊥l于P，且∵C是AB中點，AM∥CP∥BN，∴CP是梯形AMNB的中位線，〔2〕如下列圖，當A、B兩點在直線l的異側時，過B作BR⊥AM的延長線于R，延長PC交BR于Q，則AM∥CQ∥BN，∵AC＝BC，∴RQ＝QB，∴CQ是△ABR的中位線，2.與三角形有關的分類討論：例9.平面直角坐標系內兩點A〔－2，0〕，B〔4，0〕，點P在直線〔1〕點P的坐標，并標出點P的位置；〔2〕經P、A、B三點且對稱軸平行于y軸的拋物線是否存在？假設存在，求出拋物線的解析式。解：〔1〕如下列圖，分三種情況討論：③設∠P為直角，點P〔*，y〕，過P作PQ⊥*軸于Q，則Q〔*，0〕，而過A、B、P1或A、B、P2對稱軸平行于y軸的拋物線不存在。例10.點，AD＝6，點E是過點D的直線與△ABC的另一邊的交點，過點D能否作一條直線截原三角形所得的小三角形與原三角形相似？假設能，求出DE的長，假設不能，請說明理由。解：∴AC＝6，BC＝8，∵AD＝6，∴BD＝4。分三種情況討論，如下列圖，〔1〕過D作DE1∥AC交BC于E1，∴△ABC∽△DBE1〔2〕過D作DE2∥BC交AC于E2，∴△ADE2∽△ABC，〔3〕過D作DE3⊥AB于D，交BC于E3，∴△E3BD∽△ABC3.與四邊形有關的分類討論：例11.在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC與BD相交于點O，∠BOC＝120°，AD＝7，BD＝10，則四邊形ABCD的面積是___________。分析：滿足題設條件的圖形有兩個：平行四邊形或等腰梯形，如圖1，圖2。解：分兩種情況討論：〔1〕過D作DE∥AC交BC延長線于E點，過E作BD的延長線的垂線與BD延長線交于F點，由∠BOC＝120°，得∠EDF＝60°又根據勾股定理，BE2＝BF2＋EF2，設EF＝h，〔2〕如圖2，類似可得：4.與圓有關的分類討論：例12.⊙O中，半徑r＝5cm，AB、CD是兩條平行弦，且AB＝8cm，CD＝6cm，求AC的長。分析：由弦AB、CD的位置的不確定性來分類討論。解：〔1〕如下列圖，由垂徑定理及勾股定理，得弦心距則弦AB、CD間的距離為4＋3＝7或4－3＝1，從而說明：本例中隱含了兩個層次的分類討論思想：〔1〕平行弦位置的不確定性，即它們可在圓心的同側，也可在圓心的兩側。這就是種情況?！?〕點的位置的不確定性，如當A，B確定后，C，D的排列有兩種情形；【模擬試題】一、選擇題：1.假設點P到*軸的距離為2，到y(tǒng)軸的距離為1，則點P的坐標為〔〕A.〔1，2〕B.〔－1，－2〕C.〔－1，2〕，〔1，－2〕D.以上都有可能2.P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點，∠P＝50°，則弦AB所對的圓周角的度數為〔〕A.140° B.65° C.140°或40° D.65°或115°3.弦AB是圓內接正三角形的一邊，弦AC是圓內接正六邊形的一邊，則∠BAC的度數為〔〕A.30° B.90° C.30°或90° D.60°或30°4.假設點M到⊙O的最長距離為10，最短距離為4，則圓O的半徑為〔〕A.5或2 B.3或7 C.10或4 D.14或65.等腰三角形的一個角等于70°，則它的頂角的度數為〔〕A.70° B.70°或55° C.40° D.40°或70°6.一個等腰三角形的兩條邊長分別為2和5，則它的周長為〔〕A.12 B.14 C.9 D.9或127.如果是一個完全平方式，則m的值為〔〕A.±3 B.±9 C.±6 D.68.半徑不等的兩個圓有公共點，則兩圓的公切線的條數是〔〕A.1條 B.2條 C.3條 D.以上都有可能二、填空題：9.四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠BAD＝90°，且△ACD是直角三角形，則AD的長等于_____________。10.直角三角形的兩條邊長分別為，則斜邊上的高為___________。11.⊙O是△ABC的外接圓，OD⊥BC于D，且∠BOD＝58°，則∠BAC＝____________度。12.⊙O1和⊙O2外切，半徑分別為1cm和3cm，則半徑為5cm且與⊙O1和⊙O2都相切的圓一共可以作出____________個。13.假設分式的值為零，則*的值應為____________。14.二次函數的圖象與*軸交點的橫坐標分別為－2，6，圖象與y軸相交，交點與原點的距離為3，則二次函數的解析式為________________。15.兩數a＝16，b＝4，則a與b的比例中項是____________。16.是正比例函數，則m的值為____________。17.等腰三角形的兩邊長為3和2，則底角的余弦值為____________。18.假設相交兩圓的半徑分別為，公共弦長為4，則圓心距為____________。三、解答題：19.：線段AB在*軸上，以AB為直徑的圓交y軸的負半軸于點C，假設，求過A、B、C三點的拋物線的解析式。20.，如下列圖，⊙D交y軸于A、B兩點，且B〔〕，D〔1，0〕，過B點作⊙D的切線交*軸于點P，〔1〕求直線PB的解析式；〔2〕判斷在直線PB上是否存在點E，使得，假設存在，求出E點坐標；假設不存在，說明理由。21.如下列圖，在直角坐標系中，⊙C與y軸相切，且C點的坐標為〔1，0〕，直線l過點A〔－1，0〕與⊙C相切于點D，〔1〕求直線l的解析式；〔2〕在直線l上存在點P，使△APC為等腰三角形，求點P的坐標。22.在一條直的長河中有甲、乙兩船，現同時由A地順流而下，乙船到B地時接到通知要它立即返回到C地執(zhí)行公務，甲船繼續(xù)順流航行，甲、乙兩船在靜水中的速度都是千米/時，水流速度為千米/時，A、C兩地間的距離為10千米，如果乙船由A地經B地再到達C地共用4小時，問乙船從B地到達C地時，甲船駛離B地多遠？參考答案.dearedu.一、選擇題：1.D 2.D 3.C 4.B5.D 6.A 7.C 8.D二、填空題：9.4或3〔分∠ACD＝90°和∠ADC＝90°兩種情況〕10.〔分是斜邊和是直角邊兩種情況〕11.58°或122°〔分圓心O在△ABC內和外兩種情況〕12.共6個〔所求圓可與⊙O1和⊙O2都外切的有兩個；或與⊙O1內切，與⊙O2外切的有一個；或與⊙O1外切，與⊙O2內切的有一個；或與⊙O1，⊙O2都內切的有兩個?！?3.14.?！才cy軸的交點坐標分為〔0，3〕和〔0，－3〕兩種情況〕15.±8〔ab等于比例中項的平方〕16.1〔〔舍〕〕17.〔3為腰或2為腰〕18.〔分公共圓與O1O2相交和公共弦與O1O2的延長線相交兩種情況〕三、