云南師范大學數(shù)學學院

云南師范大學數(shù)學學院教師周教學方案課程名稱：高等幾何任課教師：***教師周教學方案課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第一周課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第一周第一章：仿射幾何學的基本概念第1.1節(jié)?第1.1節(jié)

.教學內(nèi)容：（1）緒言（2課時）2）1.1平行射影與仿射對應（3）仿射不變性與仿射不變量（定理1-定理4）.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點：教

教

學方案（2）平行射影的概念、幾何特征；仿射對應的概念、不變元素與性質(zhì)。（3）仿射不變性與仿射不變量的概念及主要結(jié)論。教學邏輯關系分析：根據(jù)《高等幾何》的結(jié)構(gòu)以及高等幾何的抽象性、形式化較高的特點，教學基本方式采用格式塔教學理論較好。所謂格式塔教學理論是對每章、每節(jié)先介紹教材設計的整體特點、主要內(nèi)容，以及各部分的邏輯聯(lián)系；再將內(nèi)容細化，詳細講解難重點及結(jié)構(gòu)特點；最后進行總結(jié)。讓學生對學習情況整體及各部分內(nèi)容有了較好了解后，“頓悟”教學內(nèi)容。教材第一章將歐氏幾何利用仿射變換（對應）擴張到仿射幾何，重點是仿射對應的概念、性質(zhì)、不變性與不變量，其教學對同學學習射影幾何至關重要，在教學過程中將向同學介紹“類比學習”，以期取得較好的效果。3.日期：2005年2月24日~2月24日教師教學周日記課程名稱《高等幾何》日期2005年2月24日章節(jié)名稱緒言教學關鍵點7（1）高等幾何研究的主要內(nèi)容、基本方法及學習高等幾何的意義（2）幾何變換

（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）愛爾蘭根綱領與幾何學歐氏幾何的研究特點:教學日記變換：平移、旋轉(zhuǎn)、反射教學日記不變量：距離、角度基本元素：點研究對象：點f直線（線段、射線）^三角形f（凸）四邊形f多邊形f圓f圓錐曲線仿射幾何的研究特點:變換：仿射（平行射影鏈）不變量：共線三點的簡比、平行線段的比、圖形面積的比基本元素：點、無窮遠點研究對象：與同素性、綜合性、簡比有關的命題射影幾何的研究特點:變換：射影（中心射影鏈）不變量：共線四點（共點四線）的交比基本元素：點、直線研究對象：與結(jié)合性、交比有關的命題教師周教學方案課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第二周第一章：仿射幾何學白第1.2節(jié)?第1.勺基本概念4節(jié).教學內(nèi)容：（1）仿射不變性與仿射不變量（定理5）教學方案（2）平面到自身的透視仿射

（3）平面內(nèi)的一般仿射教學方案.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：

關鍵點：（1）圖形面積的比是仿射量。（2）平面內(nèi)的透視仿射由對應軸與其外一對對應點完全決定。（3）平面仿射幾何基本定理。教學邏輯關系分析：本周教學的關鍵是介紹射影幾何處理幾何問題的方法。在1.2節(jié)定理5的證明中，關鍵是介紹教材處理的技巧：“程序教學法”。即將教材分成具有邏輯聯(lián)系的小塊，對每塊進行強化處理。節(jié)教學的關鍵是：教材為何先證明平面到自身的透視仿射？這是邏輯上的需求，需先證明透視仿射的存在，再討論透視仿射的確定才有意義。節(jié)教學的關鍵仍舊是“存在性”與“惟一性”的問題。同時，平面仿射幾何基本定理的處理，仍舊采用程序教學法，以體現(xiàn)知識的產(chǎn)生是由局部累積到整體的過程。本周教學的要求應該是讓學生逐步領悟射影幾何中“綜合法”處理問題的思路、方法和步驟。3.日期：2005年3月3日~3月4日教師教學周日記課程名稱《高等幾何》日期2004年3月3日章節(jié)名稱1.2：仿射不變性與不變量教學關鍵點定理與證明的思路分析

（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）

定理1.5.在仿射變換下，任何一對對應三角形面積之比是仿射不變量。教學日記證明分析：教學日記1設T是一透視仿射。A,B,A,B，分別為A,B,A',B'在自對應軸g上的射影，則方A,B,A,B，分別為A,B,A',B'在自對應軸g上的射影，則方

00000對任意的獨立變量X、方法：設f、g是兩個函數(shù)，f(%)二f(y),則工=k（常數(shù)）g絲二k轉(zhuǎn)化證AA0awb'b0_—TOT1iA20設1是仿射Tf2A二k（常量）。y，有=ks=kks2221：n-1T=Tn-1則sAABCnnnTT,k二kk2112=kSAABCkn-1IIIIII或十ukIIIAABC教師周教學方案課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第三周第章：仿射幾何學的基本概念第二章：歐氏平第1.5節(jié)?第2.1節(jié)面的拓廣

教學方案.教學內(nèi)容：

（1）平面仿射變換式

（2）仿射變換式的應用

（3）中心投影（透視）與理想元素教學方案.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：

關鍵點：（1）平面仿射變換式的推導；（2）平面仿射變換式的應用；（3）中心投影的概念與理想元素的引出，以及引出理想元素后幾何直觀性及觀念的改變。教學邏輯關系分析：本周教學將結(jié)束第一章并引入第二章.在1.5節(jié)教學中重點解決兩個問題：①幾何變換在幾何方法上由作圖體現(xiàn)，而在代數(shù)方法上則需先建立坐標系，再由向量的概念導出代數(shù)表達式.②仿射變換式的應用，并由此看出射影幾何中“綜合法”與“代數(shù)式”的結(jié)合是解決問題的鑰匙。節(jié)是一節(jié)觀念課，為了保留映射的完備性，需約定兩平行線交于“理想點”，兩平行平面交于“理想線”。正是由于理想元素的導入，改變了歐氏幾何的結(jié)構(gòu)。若2.1節(jié)講授得好，同學們能較好的領會“公理化”的思想及“公理化”對數(shù)學的意義。.日期：2005年3月10日?11日教師周教學方案課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第（四）周第二章：歐式平面的拓廣第2.2節(jié)?第2.4節(jié)：齊次坐標；對偶原理；復元素

教學方案.教學內(nèi)容：（1）齊次坐標；（2）對偶原理；（3）復元素.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點：（1）齊次坐標，點坐標與線坐標；（2）對偶原理（含對偶元素，對偶圖形，射影命題及對偶命題）；（3）復元素及其性質(zhì)。教學邏輯關系分析：本周教學內(nèi)容仍屬于“射影觀念”的建立。教學各內(nèi)容的邏輯關系為：缺一部分其中，學生較難接受的概念是“線坐標”，“射影命題”，“虛圓點”。學生不適應的問題是：（1）作對偶圖形；（2）敘述已知的射影命題的對偶命題。教學上的對應措施是：（1）扣緊概念（尤其是點線的結(jié)合性）；（2）較多的范例講解，概括性的方法介紹。3.日期：2005年3月17日?18日教師教學周日記課程名稱《高等幾何》日期2005年3月18日章節(jié)名稱第二章：歐式平面的拓廣第2.2節(jié)?第2.4節(jié)教學關鍵點（1）齊次坐標，點坐標與線坐標，點幾何學與線幾何學；（2）對偶原理：①作已知圖形的對偶圖形；②敘述已知射影命題的對偶命題。（3）虛圓點。

教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）（1）介紹教材P.26EX2.17,引出虛圓點I（1i,0）和J（1,.i,0）（2）提出問題，兩個橢圓相交最多有四個交點，兩個圓相交，最多只有兩個交點，為什么？缺圖（3）圓是橢圓的特例，兩個圓相交仍為四個交點，兩實，兩虛（虛圓點）（4）由此概括：①“實”與“虛”在幾何直觀上的差別；（聯(lián)系實曲線與虛曲線）②由于射影平面（射影與觀念）中沒有度量的概念，無窮遠元素，事實上脫離了距離，伸手可及。③數(shù)學概念是逐級抽象的。在高等數(shù)學中，學習者更應重視從已知數(shù)學問題中進一步抽象、概括出新的概念；數(shù)學概念（觀念）的嚴謹性更多的是建立在邏輯的基礎上，建立在公理體系上，而不依賴于直觀性。④引發(fā)“認知沖突”是建構(gòu)概念（觀念）的常見途徑。教師周教學方案課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第（五）周第（三）章：一維射影幾何學第（3.1）節(jié)?第（3.2）節(jié)：平面內(nèi)的一維基本圖形：點列和線束，點列的交比.教學內(nèi)容：（1）平面內(nèi)的一維基本圖形：點列和線束（2）點列的交比①概念；②性質(zhì)；③計算。教學方案.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：

關鍵點：教學方案（1）一維幾何流形及其表示；（2）點列的交比（概念、性質(zhì)、計算）；（3）調(diào)和點列。教學邏輯關系分析：經(jīng)過第一章和第二章的準備，從本周起講授射影幾何，前兩周的準備和鋪墊主要有方法上的準備，觀念上的準備、本周教學內(nèi)容的邏輯關系是：缺圖教學中的重點是點列的交比，它是射影幾何中最重要的不變了，射影幾何主要研究與結(jié)合性及交比有關的概念。為接受上的方便起見，先從“度量”上介紹“交比”，以后再脫離度量。3.日期：2005年3月24日?25日教師教學周日記課程名稱《高等幾何》日期2005年3月25日章節(jié)名稱第三章：一維射影幾何學，3.2點列的交比教學關鍵點（1）交比的概念（借助“度量”建立）；（2）交比的計算（化歸思想的體現(xiàn)）；（3）交比的性質(zhì)；（4）調(diào)和比。

教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）交比的計算主要結(jié)論是教材P.29定理1和P.30定理2這兩個定理的證明過程較好的體現(xiàn)了“化歸”的思想。定理1.設取A和B為基底，將這四點的齊次坐標順次表達為：a,b,a+1b,a+1b111?2則（AB,CD）;寸2其證明的過程是（化歸思想的具體化體現(xiàn)）：①將A、B兩點的坐標非齊次化（目的是為了使用解析幾何中的定比分割公式）；②利用一維幾何流形中動點的表示方法寫出C、D的坐標。③分別設點C、D分割線段AB的分割比為1,0，利用解析幾何中的定比分割公式計..Ab.、bb算出N—1T~,U—1…1a2a④利用交比計算=簡比的比=分割比的相反數(shù)，得出結(jié)論。定理2.設點列上四點A,B,C,D的齊次坐標為p+N:q（i—1,2,3,4），則（N-N）（N-N）（AB,CD）———i32（N-N）（N-N）其證明過程是：①換底：通過坐標變換將A,b換為基底。②利用定理1得到結(jié)論。這兩個定理的證明過程較好的體現(xiàn)了“化歸”的思想。對證明思路的重點分析，有助于同學們領會數(shù)學證明的一個一般性方法：“轉(zhuǎn)化”及“換元法”教師周教學方案課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第（六）周第（二）章：一維射影幾何學第（3.3）節(jié)?第（3.4）節(jié)：3.3線束的交比；3.4一維射影對應1.教學內(nèi)容:（1）線束的交比；①定義，②計算，③幾何意義，④調(diào)和線束

（2）一維射影對應；①定義，②性質(zhì)，③一維射影幾何基本定理

2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：教學方案關鍵點：教學方案（1）線束交比的定義與計算；（2）調(diào)和線束及幾何特征；（3）一維射影定義；（4）一維射影對應的確定；（5）如何建立射影對應表達式。教學邏輯關系分析：（1）3.3節(jié)的教學，應向同學們介紹線束交比定義的兩種方法：

其一是教材上的方法，即用“化歸思想”將線束的交比化歸為點

列的交比，類別點列的交比的計算得到線束交比的計算，最后介

紹線束交比的幾何意義，另一種方法以梅向明先生所編教材為代

表，兩相比較，教材上的方法更簡明一些。（2）3.4節(jié)的教學，其關鍵是讓同學理解一維基本圖形A：{p+日q},B:{p'+日q'}成射影對應的概念及其等價的條件，由此推導一維射影幾何基本定理，在介紹射影對應式的求法。（缺小字部分）3.日期：2005年3月31日?4月1日教師教學周日記課程名稱《高等幾何》日期2005年4月1日章節(jié)名稱3.4一維射影對應教學關鍵點（1）兩個一維幾何基本圖形成射影對應的定義；（2）AX的兩個等價的充要條件；一維射影幾何基本定理；一維射影對應的求法。

教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）

為了讓同學們加深對一維射影幾何基本定理的理解以及為3.6節(jié)作鋪墊，設

計如下4個例題形成一個“鏈”。教學日記例1.試證：一維幾何圖形的任意三個互異元素的參數(shù)值總可給以數(shù)值1,0,8。例2.可以選擇特殊參數(shù)（由例1,即1，0，8）以簡化一維射影對應的表達式。例3.（Hesse定理）一直線上有三個給定的點A,B,C，考慮這直線上這樣一個射影對應：axx'+bx+cx'+d=0（ad一bc豐0）它將AfB,BfC,CfA求射影對應表達式并證明，這個射影對應兩個自對應點互異?！咀ⅰ縃esse定理中的射影表達式即教材中的習題3.15,此定理表述上更深刻一些。例4.（A,B）（B,C）（C,A）是一直線上射影變換的三對對應點，設P是這直線上的任一點，且（P,Q）和（Q,R）又是兩對對應點，求證：（R,P）也是一對對應點。以上例題均選自朱德祥先生在20世紀80年代所做的專題講座，這給我以啟示：備課是一件既艱苦又充滿藝術(shù)性的工作。一個好教師既要有過硬的學術(shù)水平，又要對教學技藝深入鉆研，以達到兩者和諧統(tǒng)一。要做一個好教師，他必須是一個有心人，必須作認真，艱苦的累積，以及必要的反思。學院要求每位老師認真做好教學周記，是教師自我培訓中重要的一環(huán)。教師周教學方案課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第（七）周第（二）章：一維射影幾何學第（3.5）節(jié)?第（3.6）節(jié)：§3.5透視對應§3.6對合對應1.教學內(nèi)容：（1）透視對應的定義；（2）透視的幾何特征與判定（3）射影對應的分解與射影對應的作圖（4）交比的作圖教學方案（5）射影對應的分類（6）對合的定義

2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：教學方案關鍵點：（1）透視的幾何特征與判定（2）射影對應的作圖（3）射影對應的分類（4）對合的定義教學邏輯關系分析：（1）§3.5是第三章中的一個重點環(huán)節(jié)。從一維射影幾何研究的

方法看，主要有“代數(shù)法”其工具是“交比”和“一維射影對應

式”。另一個方法為“綜合法”即將射影分解為有限回透視之積，

再利用透視的幾何特征解決問題。§3.5節(jié)為“綜合法”奠定基

礎，其應用將在第四章、第六章有重點體現(xiàn)。（2）射影對應的作圖，一方面是“幾何”變換的具體體現(xiàn)，另一方面體現(xiàn)“幾何作圖”的內(nèi)涵—一存在性（3）對合也是一種特殊的射影對應，其實質(zhì)是幾何變換中的反演。對合的研究，，使射影幾何的內(nèi)容豐富而富有數(shù)學情趣。（4）利用一維射影對應的自對應點是實點還是虛點，是兩個相異

實點還是兩個重合的實點，將射影對應分為雙曲型、拋物型、橢

圓型，反映了數(shù)學上的一種分類方法，下接“解析幾何”上聯(lián)數(shù)

學其他分支，如偏微分方程，其涵義很深刻。3.日期：2005年3月10日?11日教師教學周日記課程名稱《高等幾何》日期2005年4月8日章節(jié)名稱第三章§3.6對合對應教學關鍵點7（1）一維射影對應的分類；（2）對合；①定義，②性質(zhì)，③方程

教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）在介紹對合概念之前，先介紹一維射影對應的分類。為此，需對一元二次方程及解作個必要的拓廣。在中學數(shù)學中，一元二次方程以2+bx+C=0要加深一個重要的限制條件：aW0。中學教材上的解釋限于觀念是不夠深刻的。在射影幾何中，由于8是數(shù)，可得到如下結(jié)論：由于方程ax2+bx+C=0,cx2+bx+a=0的兩個根互為倒數(shù)，因此：①當a豐0時，方程ax2+bx+c=0有一個實根和一個無窮根②當a=0,b豐0時，方程ax2+bx+c=0有一個實根和一個無窮根③當a=b=0,c豐。時，方程ax2+bx+c=0有一個實根和一個無窮根（此種方程在中學中稱為矛盾方程，無根）④當a=b=c=0時，方程ax2+bx+c=0有一個實根和一個無窮根一結(jié)論：當不全為0時，一元二次方程有且只有兩個根。啟示：①數(shù)的拓展，導致數(shù)學研究更為深刻化，更能揭示事物間的內(nèi)在聯(lián)系；②無窮根的出現(xiàn)，可將二次曲線的漸近線定義為與二次曲線相切于無窮遠處的直線。它比“解析幾何”、“數(shù)學分析”中的定義更為深刻，且可由此對二階曲線進行分類。教師周教學方案課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第（八）周第（三）章：一維射影幾何學第四章代沙格定理、四點形與四線形第（3.6）節(jié)?第（4.1）節(jié)：§3.6對合對應；§4.1代沙格三角形定理.教學內(nèi)容：（1）有關對合的一些例題（2）第三章總結(jié)Desargues三角形定理教學方案①Desargues三角形定理及對偶定理教學方案②對偶定理的證明

③應用.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：關鍵點：（1）對合定義：s為對合S2=I（恒同變換），swI的應用（2）射影對應間的關系（3）一維射影幾何的研究方法（4）Desargues^角形定理的證明及應用

教學邏輯關系分析：（1）本周教學將結(jié)束第三章，開始第四章。結(jié)束第三章的教學，進行一次總結(jié)，關鍵是讓學生明白兩點:①一維射影對應的關系是：（要補充）透視二射影一對合②一維射影幾何研究的方法：交交比（射影量）{p十四q}]"筆數(shù)工具（日日,日日）=（四四,乩四）△12341234一維射影對應式」幾何工具：將射影分解為有限個透視之積，再利用透視的幾何特

征。（2）第四章從結(jié)構(gòu)上講，屬于一維射影幾何的應用，它包含三

個內(nèi)容：①Desargues三角形定理透視及其應用；②完全四點形與完全四線形一一調(diào)和比脫離度量的定義；③巴卜斯定理及應用一維射影幾何中綜合法的體現(xiàn)3日期：2005年4月14日~15日

教師教學周日記課程名稱《高等幾何》日期2005年4月15日章節(jié)名稱第四章Desargues三角形定理教學關鍵點7(l)Desargues三角形定理及對偶定理，幾何特征。Desargues三角形對偶定理的證明(3)Desargues三角形定理及對偶定理應用①射影幾何中的應用；②初等幾何中的應用第第（4.2）節(jié)?第（4.3）節(jié):師周教學方案教學日記師周教學方案教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）

Desargues對偶定理的證法2.一般，證明逆命題的證法有三種（見《初等幾何研究》§1.4,P.10）1直接證明逆命題，即將原命題的證明過程反其道而行之。2證明否命題（因為否命題與逆命題等價）J利用原命題本身證逆命題。下面采用方法3證Desargues對偶定理：設AA&BB=s,在兩個三角形aqa和bqb，中，由于對應頂點的連線AB,AB:QP共點于R，則依Desargues定理，其對應邊的交點AA‘XBB'=s，AQxBP=c,QAfxB'P=c，共線，即直線cc,過點s，亦即AA',BB:CC三點共線。本證法一是比較簡單，二是能于初等幾何有關內(nèi)容聯(lián)系，體現(xiàn)綜合法的優(yōu)點。如圖：課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第（十）周第（四）章：代沙格定理、四點形與四線形§4.2完全四點形與完全四線形§4.3巴卜斯定理.教學內(nèi)容：(1)平面形與平面構(gòu)形(2)完全四點形與完全四線形教學方案①調(diào)和性質(zhì)②調(diào)和比的作圖③代沙格對合定理與對合的作圖

(3)巴卜斯定理及其證明和應用教學方案.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：

關鍵點：(1)完全四點形與完全四線形

①調(diào)和性質(zhì)及調(diào)和比的作圖②代沙格對合定理與對合的作圖(2)巴卜斯定理及其證明

教學邏輯關系分析：本周教學將結(jié)束第四章,教學內(nèi)容簡單邏輯關系是：簡單形方面形完全形構(gòu)形簡單形方面形完全形構(gòu)形(a11\a2121a)

12

a)

2M完全(2)完全四點形一一代沙格對合定理一一對合的作圖(3)巴卜斯定理一一證明一一應用(4)完全四點形與完全四線形調(diào)和性質(zhì)的證明，代沙格對合定理

的證明，巴卜斯定理證明典型地應用了§3.5中的方法一一將射

影分解為透視。此外，第四調(diào)和元素的作圖，使“交比”脫離了“度量”。因此，第四章教學點形實反是一維射影幾何學調(diào)微用。作圖四線形3.日期：2005年4月21日?4月22日

教師教學周日記課程名稱《高等幾何》日期2005年4月21日章節(jié)名稱第(四)章：§4.2完全四點形與完全四線形教學關鍵點7(1)完全四點形與完全四線形(2)調(diào)和性質(zhì)與第四調(diào)和元素的作圖(3)代沙格對合定理及對合的作圖

（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）完全四線形的調(diào)和性質(zhì)是很深刻的，完全四點形的調(diào)和性質(zhì)教學日記由其引出，下面舉個例，以加深同學們對完全四線形的調(diào)和性質(zhì)的理解。例:設ABCD是梯形，E是兩腰所在直線的交點，過兩對角線的交點G引底邊的平行線與AD相交與F,求證：（AD,EF）=-1分析：（1）解決本例，要求同學有較好的觀察能力，要能看出EDGC是一個完全四線形。（2）連接EG,分別與梯形兩底交于點H和I,則EI是完全四線形的一條對角線，由完全四線形的調(diào)和性質(zhì)，有（IH,EG）=-1（3）由cdIIBAIIGF,以§作透視心，則（s二CDx而）88IHEG=ADEF（補充符號）這樣（AD,EF）=（IH,EG）=-1如圖：教師周教學方案

課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第（十一）周第（五）章：射影坐標系和射影變換第（5.1）節(jié)?第（5.3）節(jié)：§5.1一維射影坐標系§5.2平面內(nèi)的射影坐標系§5.3射影坐標的特例.教學內(nèi)容：（1）射影幾何學的結(jié)構(gòu)2）一維射影坐標系（3）平面內(nèi)的射影坐標系

（4）射影坐標的特例教學方案2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：教學方案關鍵點：（1）一維射影坐標系

（2）平面內(nèi)的射影坐標系

教學邏輯關系分析：本周開始講授第五章。教學內(nèi)容是射影坐標系。射影幾何研究的方法有綜合法和代數(shù)法，射影坐標系是代數(shù)法的基礎。一維射影坐標系本屬一維射影幾何的內(nèi)容，將其放在第五章是為了給講二維射影坐標系做一個鋪墊。在第三章中，定義一維射影變換是這樣進行的：A：{p+Rq},B{p'+R，q，}.AaBar/+bR+c/+d=0,ac-bd豐0這個定義是借用了函數(shù)的概念。而幾何中更普遍的方法是，在A,B中分別建立射影坐標系，推導射影變換公式給予新的解釋，得到射影變換式?！?.1正是這樣處理的。以形成對二維射影變換式建立的遷移。由于射影平面上增加了一條無窮遠線/，使得二維射影坐標系成為一個三角形，其中點的射影坐標既有度量定義，也利用了交比、點的符號及象限與平面上的坐標系大不一樣，但平面坐標系（歐氏平面）卻又是射影坐標系的特例。從這個意義上講，歐氏幾何確定是射影幾何的子幾何。3.日期：2005年4月28日?29日，5月8日

教師教學周日記課程名稱《高等幾何》日期2005年4月28日章節(jié)名稱第五章§5.1一維射影坐標系教學關鍵點7(1)射影幾何學的結(jié)構(gòu)(2)一維射影坐標系

教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）通過前四章的教學，同學們已經(jīng)對射影幾何有了一定的了解。為了便于同學更好的理解教材，在第五章開始時，介紹射影幾何的結(jié)構(gòu)。（圖表ppt上有）教師周教學方案課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第（十二）周第（五）章：射影坐標系和射影變換第（5.4）節(jié)?第（5.5）節(jié)：§5.4坐標轉(zhuǎn)換§5.5射影變換.教學內(nèi)容：（1）二維射影坐標變換（2）射影變換

點到點的；線到線的。教學方案.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：

關鍵點：教學方案（1）二維射影坐標變換的推導，（在方法上與5.1形成類比）

（2）線到線的射影變換的推導。教學邏輯關系分析：本周教學內(nèi)容有如下的邏輯關系：x(1X2x(1X2一，影坐標變換公式:二（7,aij②賦予上式新3次何解釋'即點到點的射影變換。③從點到點的逆變換公式誘導出線到線的射影變換:，uu1fU2一」二1fU2一」二（勺）ji二aij在二維射影變換的曲施上展開二維射影幾何的研究。3、日期：2005年5月12日~5月13日教師教學周日記課程名稱《高等幾何》日期2005年5月12日章節(jié)名稱第五章§5.4坐標轉(zhuǎn)換教學關鍵點（1）一點P的笛氏坐標（x,y,t）與射影坐標（x,x,x）間的坐標123變換式。（2）一點P的兩種射影坐標（X,X,X），（X，,X，,X，）間的坐標變換式。123123

（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）教學日記主要作用是為§5.5推導射影變換作準備。為了讓同學對

點到點的射影變換誘導線到線的射影變換有更好的了解，在§5.4

中補充如下一個例題。教學日記例已知射影坐標變換為：px=2x'—3xx+xxTOC\o"1-5"\h\z1123<px=3x'一x'+4x'①2123'px=2xx—3xp多三3xx-2x'+5x'11S33123<p求,孱6xf-x!+4x'，）的新坐標和直線1jx22=3xX3一嗔解新對前者，解線性方程組|2x3-3x1+x'-p3123<3x'-x'+4x'--p1233x'-2x'+5x，-2p2即得新坐標（8,5,-4）。對后者，將射影變換式代入直線方程得2（2x'-3x'+x'）（3x'-x'+4x'）-（3x'-2x'+5x）TOC\o"1-5"\h\z12312312即4x'-5x'+x'-0123此即直線方程2x+x-x-0的新方程.123教師周教學方案課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第（十三）周第（五）章：射影坐標系和射影變換第（5.6）節(jié)?第（5.7）節(jié)：§5.6一維射影幾何基本定理§5.7射影變換的一重元素

.教學內(nèi)容：(1)二維射影幾何基本定理；教學方案(2)四點的交比在二維射影變換下不變；

(3)二重元素；

(4)二重元素的求法。教學方案.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：

關鍵點：(1)教材P79引理的證明(2)二維射影幾何基本定理及證明(3)教材P82引理的證明(4)二重元素及其求法。教學邏輯關系分析：(1)§5.6節(jié)教學內(nèi)容間的關系是：(猜測)引理：(補充點)廠存在性二維射影唯一基本定理系—F82定理(2)§5.7節(jié)與《高等代數(shù)》第七章§4(P296北大版)關系密切。教學時可先復習“方陣的特征值與特征向量”。在此基礎上推導求二重元素

的方法和步驟，最后舉例。求固定元素是第五章中一個重要內(nèi)容。3、日期：2005年5月19日~5月20教師教學周日記課程名稱《高等幾何》日期2005年5月19日章節(jié)名稱第五章§5.6二維射影幾何基本定理教學關鍵點八、、1)教材P79引理的證明(2)二維射影幾何基本定理及證明(3)教材P82引理的證明

（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）

教材P79引理的證明是一個難點，歸納其思路和方法如下：教學日記射影變換為：T：Px'=（a）x,a教學日記射影變換為：T：Px'=（a）x,a中0.為求出此射影變換，只需求出9個系a，使|

ijaijij中0.將四個基點和數(shù)P的坐標代入教材P81（1）Pa+p3+PY=P8,

11213141Pa+p3+PY=P8,12223242Pa+p3+py=p8,13233343T的表達式，得P（i=1i得，2，3，4）利用克萊姆法則于上式，可求得:3弓將上式回代（砰式（耐-并置e不丁可得教材網(wǎng)m3弓將上式回代（砰式（耐-并置e不丁可得教材網(wǎng)m）式1111111Y廠111111k￡24式得證了a的^存在總至于唯一，性由克萊姆法則得證。333ap4蛤證3Yaij31一一。一二FP1P2P3P4。0教師周教學方案課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第（十四）周第（五）章：射影坐標系和射影變換第（5.8）節(jié)?第（5.11）節(jié)：5.8射影變換的特例5.9變換群5.11變換群的例證5.11變換群與幾何學

.教學內(nèi)容：（1）射影變換的特例（2）變換群（3）變換群與幾何學教學方案.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：教學方案關鍵點：（1）射影變換的特例：仿射變換、相似變換、正交變換、（2）變換群（3）變換群與幾何學一一F克萊因觀點教學邏輯關系分析：（補充（1））⑴⑵給出變換群的概念，驗證上述射影變換分別構(gòu)成群，記作K，A，S，M。其關系是KnAnSnM。（3）在⑵的基礎上，介紹變換群與幾何學的關系:對于給定的空間S，G是S的一切一一變換的集合，研究圖形關于G的不變性質(zhì)、不變量、以及關于圖形的分類，稱為空間5上群G的附屬的幾何學。在一個變換群，就有一個附屬于該群的一種幾何學。3、日期：2005年5月26日~27日教師教學周日記課程名稱《高等幾何》日期2005年5月28日章節(jié)名稱第五章5.10變換群的例證5.11變換群與幾何學教學關鍵點（1）射影群仁仿射群人，相似群S,正交群乂（2）變換群與幾何學

教學日記（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）1872年F.克萊因在Erlangen大學宣讀了大家叫做Erlangen綱領的演說，在這篇論文中它總結(jié)了射影、仿射以及其他幾何的發(fā)展結(jié)果，明確表述了構(gòu)成這些幾何的普遍原則：可以考慮空間變換的任何個群，而且研究在這個群的切變換下保留不變的圖形性質(zhì)。F.克萊因的觀點其意義在于：1使各種幾何學化為統(tǒng)一的形式，同時又明確了各種幾何學所研究的對象。2它給出了建立抽象空間所對應的幾何學的一種方法，對以后幾何的發(fā)展起了指導性的的作用。教材P91關于射影幾何、仿射幾何、歐氏幾何的比較表很好的指明了這三種幾何之間的關系。教師周教學方案課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第（十五）周第（六）章：二次曲線的射影理論第（6.1）節(jié)?第（6.2）節(jié)：§6.1二階曲線與二級曲線§6.2二次曲線的射影定義1.教學內(nèi)容：（1）二階曲線與二級曲線的概念（2）二階曲線與二級曲線的性質(zhì)及它們的關系（3）二次曲線的射影定義教學方案2.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：

關鍵點：教學方案（1）二階曲線與二級曲線的概念、性質(zhì)及相關關系

（2）二次曲線的射影定義教學邏輯關系分析：伸，本周教學內(nèi)容既是解析幾何中關于二次曲線有關內(nèi)容的延又是高等代數(shù)中二次型的具體化。教學中要注意這兩部分內(nèi)容的銜接，同時突出“射影法”。伸，由于射影幾何有“點幾何”和“線幾何”之分，所以二次曲線分為二階曲線（點素二次曲線）與二級曲線（線素二次曲線）。教材中先用代數(shù)方法定義二階曲線，再對偶地得到二級曲線，他們之間的關系既是對偶的，又是切點與切線的關系。教材P98定理對此作了很好的概括?！?.2中，教材用射影方法定義了二階曲線與二級曲線。并由射影（非透視）和透視定義了常態(tài)曲線和變態(tài)曲線。在本周教學中可以體現(xiàn)出代數(shù)方法和射影方法在研究二次型問題上的作用，讓同學領略數(shù)學思想的深刻性和數(shù)學方法的精妙。3、日期：2005年6月2日~6月3日教師教學周日記課程名稱《高等幾何》日期2005年6月2日章節(jié)名稱第六章§6.1二階曲線與二級曲線教學關鍵點（1）二階曲線與二級曲線的概念（2）二階曲線與二級曲線的性質(zhì)（3）二階曲線與二級曲線的關系

（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）為了同學能更好的理解二階曲線的射影定義，補充如下一個例題：教學日記TOC\o"1-5"\h\z例1求由兩個射影線束X一九X二0與X-NX=0（入+u=1）生成1323教學日記的二階曲線方程.X解由X_NX=0解得N=,23X3-X由X1一九X3=0解得入二U13X3一XX將其代入：入+口=1中，得1=口+一?（*）XXTOC\o"1-5"\h\z23等式兩端同乘以X2,得：XX+XX-X2=0313233此即所求的二次曲線的方程，它代表兩條直線：x+X-X=0,X=0.1233一般情況下，化簡（*）式只會乘X3，這樣將漏掉一個解：X二0（無窮遠線）。本例為何會出現(xiàn)這種情況？其原因是一維射影對應入+口=1是透視。兩個射影線束成透視時，二階曲線退化為兩相交直線甚至是兩重合直線。教師周教學方案課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第（十六）周

第（六）章：二次曲線的射影理論第（6.3）節(jié)：§6.3巴斯卡定理與布利安雙定理.教學內(nèi)容：（1）巴斯卡定理及逆定理（2）布利安雙定理及逆定理（3）巴斯卡定理與布利安雙定理的特殊情形教學方案（4）兩定理的應用教學方案.教學關鍵點與教學邏輯關系分析：

關鍵點：1）巴斯卡定理及逆定理（2）布利安雙定理及逆定理（3）兩定理的特殊情形（4）應用教學邏輯關系分析：本周教學內(nèi)容主要是介紹射影幾何中兩個重要定理—一巴斯卡定理與布利安雙定理。它們互為對偶定理且逆定理成立。教學的重點是：（1）兩個定理的結(jié)構(gòu)及證明方法一一利用射影及透視的幾何特征。（2）兩個定理的特殊情形。（3）兩個定理在證明點共線與線共點方面的應用。（4）當二次曲線退化時（退化為兩條相交直線或兩個互異的點），它們成為巴斯卡定理及其對偶定理。3、日期：2005年6月9日~6月10日教師教學周日記課程名稱《高等幾何》日期2005年6月9日章節(jié)名稱第六章§6.3巴斯卡定里與布利安雙定理（第一次課）

（1）巴斯卡定理及證明（2）布利安雙定理及其證明（3）兩定理的特殊情形（記錄有意義的一個教學過程，教師的教學得失及學生課堂表現(xiàn)等）為了讓同學更好的理解這兩個定理，教學時需作如下的補充：教學日記（1）巴斯卡定理發(fā)表于1640年，布利安雙定理發(fā)表于1806年，相距前者166年之久。兩定理互為對偶定理且逆定理成立。教學日記6個點在一條二階曲線上有60種排法（可翻面的環(huán)狀排列），因此，一條二階曲線決定60根巴斯卡線；一條二級曲線決定60個布利安雙點。關于這60根巴斯卡線及60個布利安雙點的位置特征是射影幾何中尚未完全解決的問題。（2）六點（線）形是完全形，不論頂點在二次曲線上如何排列，邊12與45，23與56，34與61成為三雙對邊；12與45，23與56，34與61是三雙對頂。（3）對內(nèi)接（外切）于二次曲線上的五點（線）形，四點（線）形，三點（線）形，要證明其對邊交點（對頂?shù)倪B線共線（點），且可運用巴氏定理與布氏定理，方法是:將頂點（邊）順次編號，若哪點為切點（哪條邊與切點連線），則重復編一次。（4）圓可看作特殊的二次曲線，故可用巴氏定理與布氏定理及其逆定理研究圓的內(nèi)接（外切）六點（邊）形，五點（邊）形，四點（邊）形，三點（邊）形的共線點與共點線的問題。（5）若二次曲線退化（秩為二），則兩定理成為巴卜斯定理及其對偶定理。教師周教學方案課程名稱《高等幾何》教學周數(shù)第（十七）周第（六）章：二次曲線的射影理論第（6.4）節(jié)?第（6.5）節(jié)：§6.4關于