《數(shù)學歸納法》 教學課件

問題引航1.數(shù)學歸納法的概念是什么?適用范圍是什么?2.數(shù)學歸納法的證題步驟是什么?1.數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：第一步，歸納奠基：證明當n取__________________時命題成立.第二步，歸納遞推：假設_________________時命題成立，證明當______時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學歸納法.第一個值n0(n0∈N*)n=k(k≥n0，k∈N*)n=k+12.數(shù)學歸納法的框圖表示n=k(k≥n0)n=k+11.判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題的證明只能用數(shù)學歸納法.(

)(2)數(shù)學歸納法的第一步n0的初始值一定為1.(

)(3)數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可.(

)【解析】(1)錯誤.數(shù)學歸納法只能證明與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題，但與n有關的數(shù)學命題不一定只用數(shù)學歸納法來證明.(2)錯誤.數(shù)學歸納法的第一步n0不一定為1，要視具體情況而定.(3)正確.根據(jù)數(shù)學歸納法的定義可知，兩個步驟缺一不可.答案：(1)×

(2)×

(3)√2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)用數(shù)學歸納法證明“2n>n2+1對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的初始值n0應取__________.(2)定義一種運算“*”，對于正整數(shù)n，滿足以下運算性質：①1*1=2；②(n+1)*1=3(n*1)，則n*1的運算結果用含n的代數(shù)式表示為__________.(3)設Sk=，則Sk+1=________.(用含Sk的代數(shù)式表示)【解析】(1)當n=1時，左=右，當n=2，3，4時，左<右，當n=5時，左=32，右=26，左>右，故初始值應取5.答案：5(2)根據(jù)題意，1*1=2=2×30，進而可得2*1=3(1*1)=2×3=2×31，3*1=3(2*1)=3×2×3=2×32.…n*1=3[(n-1)*1]=2×3n-1.答案：2×3n-1(3)Sk+1=答案：【要點探究】知識點數(shù)學歸納法1.數(shù)學歸納法的實質數(shù)學歸納法是一種以數(shù)字歸納原理為根據(jù)的演繹推理，它將一個無窮歸納過程轉化為一個有限步驟的演繹過程.所以它是證明有關正整數(shù)問題的有力工具.2.數(shù)學歸納法兩個步驟的聯(lián)系第一步是驗證命題遞推的基礎，第二步是論證命題遞推的依據(jù)，這兩個步驟缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判斷，可能得出不正確的結論.因為單靠第一步，無法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確，我們無法判定，同樣只有第二步而缺少第一步時，也可能得出不正確的結論，缺少第一步這個基礎，假設就失去了成立的前提，第二步也就沒有意義了.【知識拓展】數(shù)學歸納法證題的口訣數(shù)歸證題真是妙，遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉.【微思考】(1)用數(shù)學歸納法證明不等式時是否通常與直接證明的方法同時使用?提示：是.尤其是證明n=k+1這一步時，會經常使用分析、綜合、放縮等方法.(2)與正整數(shù)n無關的數(shù)學命題能否應用數(shù)學歸納法?提示：不能.數(shù)學歸納法是證明與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題的一種方法.1.用數(shù)學歸納法證明1+2+22+…+2n+1=2n+2-1(n∈N*)的過程中，在驗證n=1時，左端計算所得的項為(

)A.1B.1+2C.1+2+22D.1+2+22+23【解析】1.選C.A錯，n=1時，式子的值為1+k；B錯，n=1時，式子值為k0=1；C正確，D錯，f(k+1)=2.選C.n=1時，左邊=1+2+21+1=1+2+22.【題型示范】類型一用數(shù)學歸納法證明等式【典例1】(1)(2014·合肥高二檢測)用數(shù)學歸納法證明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)，“從k到k+1”左端增乘的代數(shù)式為__________.(2)用數(shù)學歸納法證明：

(n∈N*).【解題探究】1.題(1)中n=k+1時左端的代數(shù)式是什么?2.題(2)中由n=k到n=k+1等式左邊增加了什么項?【探究提示】1.當n=k+1時，左端代數(shù)式為(k+2)·(k+3)·…·(k+k)·(2k+1)·(2k+2).2.左邊增加了【自主解答】(1)令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n)，則f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k)，f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)，所以

=2(2k+1).答案：2(2k+1)(2)證明如下：當n=1時，左邊=，右邊=，所以等式成立.假設n=k(k≥1，k∈N*)時命題成立，即=成立，那么n=k+1時，即n=k+1時，等式也成立.綜上所述，對于任何n∈N*，等式都成立.【延伸探究】題(1)中n=1時，左邊的值為_______.【解析】當n=1時，左邊=(1+1)=2.答案：2【方法技巧】數(shù)學歸納法證題的三個關鍵點(1)驗證是基礎.數(shù)學歸納法的原理表明：第一個步驟是要找一個數(shù)n0(n0≥1，n∈N*)，這個n0，就是我們要證明的命題對象對應的最小正整數(shù)，這個正整數(shù)并不一定都是“1”，因此“找準起點，奠基要穩(wěn)”是第一個關鍵點.(2)遞推是關鍵.數(shù)學歸納法的實質在于遞推，所以從“k”到“k+1”的過程中，要正確分析式子項數(shù)的變化.關鍵是弄清等式兩邊的構成規(guī)律，弄清由n=k到n=k+1時，等式的兩邊會增加多少項.增加怎樣的項.(3)利用假設是核心.在第二步證明n=k+1成立時，一定要利用歸納假設，即必須把歸納假設“n=k時命題成立”作為條件來導出“n=k+1”，在書寫f(k+1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項，這是數(shù)學歸納法的核心，不用歸納假設的證明就不是數(shù)學歸納法.【變式訓練】用數(shù)學歸納法證明：

(n≥2，n∈N*).【證明】(1)當n=2時，左邊=1-，右邊=所以左邊=右邊.(2)假設n=k(k≥2，k∈N*)時結論成立，即那么n=k+1時，即n=k+1時等式也成立.綜合(1)(2)知，對任意n≥2，n∈N*等式恒成立.【補償訓練】用數(shù)學歸納法證明：【證明】(1)當n=1時，等式左邊=等式右邊=等式左邊=等式右邊，所以等式成立.(2)假設n=k(k∈N*，且k≥1)時等式成立，即有則當n=k+1時，所以當n=k+1時，等式也成立，由(1)，(2)可知，對于一切n∈N*，等式都成立.類型二利用數(shù)學歸納法證明不等式【典例2】(1)用數(shù)學歸納法證明不等式(n≥2，n∈N*)的過程中，由n=k推導n=k+1時，不等式的左邊增加的式子是_______.(2)用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的正整數(shù)，不等式均成立.【解題探究】1.題(1)中n=k+1時左邊的代數(shù)式是什么？2.題(2)中由n=k到n=k+1推導過程中常用的方法和技巧是什么？應該注意什么問題？【探究提示】1.當n=k+1時左邊的代數(shù)式是2.利用放縮法.在利用放縮法時，注意把握放縮的“度”.【自主解答】(1)當n=k+1時左邊的代數(shù)式是增加了兩項，，但是少了一項故不等式的左邊增加的式子是故填答案：(2)①當n=2時，左邊=；右邊=因為左邊>右邊，所以不等式成立.②假設n=k(k≥2，且k∈N*)時不等式成立，即則當n=k+1時，所以當n=k+1時，不等式也成立.由①②知，對于一切大于1的正整數(shù)n，不等式都成立.【延伸探究】試用數(shù)學歸納法證明(1)中的不等式.【證明】①當n=2時，②假設當n=k(k≥2且k∈N*)時不等式成立，即那么當n=k+1時，這就是說，當n=k+1時，不等式也成立.由①②可知，原不等式對任意大于1的正整數(shù)都成立.【方法技巧】用數(shù)學歸納法證明不等式的四個關鍵(1)驗證第一個n的值時，要注意n0不一定為1，若n>k(k為正整數(shù))，則n0=k+1.(2)證明不等式的第二步中，從n=k到n=k+1的推導過程中，一定要用到歸納假設，不應用歸納假設的證明不是數(shù)學歸納法，因為缺少歸納假設.(3)用數(shù)學歸納法證明與n有關的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小，對第二類形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個n值開始都成立的結論，常用數(shù)學歸納法證明.(4)用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由n=k時成立得n=k+1時成立，主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等.【變式訓練】用數(shù)學歸納法證明：(n∈N*).【證明】①當n=1時，左邊=1，右邊=1，左邊≥右邊，結論成立；②假設n=k(k∈N*)時，不等式成立，即當n=k+1時，下面證：作差得=＞0，得結論成立，即當n=k+1時，不等式也成立.由①和②知，不等式對一切n∈N*都成立.類型三歸納——猜想——證明【典例3】(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2an(n≥2)，而a1=1，通過計算a2，a3，a4，猜想an=()(2)(2014·重慶高二檢測)在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=can+cn+1(2n+1)(n∈N*)，其中實數(shù)c≠0.①求{an}的通項公式并用數(shù)學歸納法證明.②若對一切k∈N*有a2k>a2k-1，求c的取值范圍.【解題探究】1.題(1)中怎樣計算a2，a3，a4的值，猜想an的依據(jù)是什么？2.題(2)①中怎樣處理an+1中的c，用數(shù)學歸納法證明的關鍵是什么？②中對恒成立問題怎樣處理？【探究提示】1.利用an與Sn之間的關系將條件轉化為an+1與an的關系，求a2，a3，a4，猜想的依據(jù)是歸納推理.2.①中將c視為常數(shù)，利用數(shù)學歸納法的關鍵是用上歸納假設.②中將恒成立問題轉化為函數(shù)問題解決.(2)①由a1=1，a2=ca1+c2·3=3c2+c=(22-1)c2+c，a3=ca2+c3·5=8c3+c2=(32-1)c3+c2，a4=ca3+c4·7=15c4+c3=(42-1)c4+c3，猜想an=(n2-1)cn+cn-1，n∈N*.下面用數(shù)學歸納法證明：(i)當n=1時，等式成立.【方法技巧】1.“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)2.“歸納—猜想—證明”的主要題型(1)已知數(shù)列的遞推公式，求通項或前n項和.(2)由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在.(3)給出一些簡單的命題(n=1，2，3，…)，猜想并證明對任意正整數(shù)n都成立的一般性命題.【變式訓練】(2014·廈門高二檢測)已知函數(shù)y=f(n)(n∈N*)，設f(1)=2，且任意的n1，n2∈N*，有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2).(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值.(2)試猜想f(n)的解析式，并用數(shù)學歸納法給出證明.【解析】(1)因為f(1)=2，f(n1+n2)=f(n1)·f(n2)，所以f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22=4，f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=22·2=23=8.f(4)=f(3+1)=f(3)·f(1)=23·2=24=16.(2)猜想：f(n)=2n(n∈N*).用數(shù)學歸納法證明如下：①當n=1時，f(1)=21=2，所以猜想正確.②假設當n=k(k≥1，k∈N*)時猜想正確，即f(k)=2k，那么當n=k+1時，f(k+1)=f(k)·f(1)=2k·2=2k+1，所以，當n=k+1時，猜想正確.由①②知，對任意的n∈N*，f(n)=2n正確.【拓展類型】用數(shù)學歸納法證明幾何問題【備選典例】(1)凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n+1邊形對角線的條數(shù)f(n+1)為()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2(2)平面內有n(n∈N*，n≥2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，求證交點的個數(shù)f(n)=【解析】(1)選C.增加一個頂點，就增加n+1-3條對角線，另外原來的一邊也變成了對角線，故f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故應選C.(2)①當n=2時，兩條直線的交點只有一個，又f(2)=×2×(2-1)=1，所以當n=2時，命題成立.②假設當n=k(k∈N*，k≥2)時命題成立，即平面內滿足題設的任何k條直線的交點個數(shù)f(k)=k(k-1)，那么，當n=k+1時，任取一條直線l，除l以外其他k條直線的交點個數(shù)為f(k)=k(k-1)，l與其他k條直線交點個數(shù)為k，從而k+1條直線共有f(k)+k個交點，即f(k+1)=f(k)+k=k(k-1)+k=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)［(k+1)-1］，所以當