概率統(tǒng)計簡明教程講義課件

普通高等教育“十五”國家級規(guī)劃教材

?概率統(tǒng)計簡明教程?

━多媒體教學(xué)參考資料同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系柴根象蔣鳳瑛楊筱菡參考書目1、復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系，概率論（第一、二冊），北京：高等教育出版社，19792、浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，北京：高等教育出版社，19793、王梓坤，概率論及其應(yīng)用，北京：科學(xué)出版社，19764、陳希孺，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)簡史，長沙：湖南教育出版社，20025、陳希孺，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，合肥：中國科技大學(xué)出版社，19926、G.R.IversonandM.Gergen.Statistics-theconceptualapproach.NewYork:Springer-Verlag,19977、D.Freedman,R.Pisaui,R.PurvesandA.Adhikari.Statistics.NewYork:W.W.Norton&Company,1991第一部分序言第二部分概率第三部分統(tǒng)計（一）從“什么是統(tǒng)計”說起（二）重在“觀念”和“思考”（三）“不確定性”和“隨機性”（四）統(tǒng)計的特點第一部分序言（一）從“統(tǒng)計是什么”說起1、幾個案例2、統(tǒng)計學(xué)是收集和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)和藝術(shù)。3、統(tǒng)計是受過教育的人應(yīng)有的素養(yǎng)。小兒麻痹癥

20世紀(jì)五十年代的一種流行病，對于一種疫苗有效性檢驗。收集20萬兒童隨機分成二組：實驗組和對照組。結(jié)果對照組中有138個受感染；而實驗組則有56個受到感染。使用假設(shè)檢驗的統(tǒng)計方法，表明138與56的差異是高度顯著，疫苗是有效的。3、統(tǒng)計是受過教育的人應(yīng)有的素養(yǎng)。血液檢查中的經(jīng)濟學(xué)血液檢查中的經(jīng)濟學(xué)

第二次大戰(zhàn)時，必須招募很多士兵，為檢查某種疾病需對每個申請者作血液檢查，工作量巨大。如何在保證質(zhì)量的前提下減少檢驗次數(shù)呢？假定該病的流行率為1/20。（二）重在“觀念”和“思考”美國統(tǒng)計協(xié)會和數(shù)學(xué)會的一個聯(lián)合課程委員會曾指出：任何統(tǒng)計的入門課程，都應(yīng)該“強調(diào)如何做統(tǒng)計思考”而且內(nèi)容應(yīng)該“多一些數(shù)據(jù)和觀念，少一點公式和推導(dǎo)過程”。因此統(tǒng)計作為一門公共基礎(chǔ)課程，其內(nèi)涵符合素質(zhì)教育的基本精神，應(yīng)重在“觀念”和“思考”。變異性(Variablity)統(tǒng)計數(shù)據(jù)和統(tǒng)計資料具有變異性，即個體之間有差異，而對同一個體的多次觀察，其結(jié)果也會不一樣，并且?guī)缀趺恳淮斡^察都隨著時間的不同而改變，因而變異性是一個重要的統(tǒng)計觀念。不能僅僅根據(jù)一次抽樣的結(jié)果就斷言p不多不少就是57(%)！重要的是對變異性有科學(xué)的描述。在這里運用概率思考是重要的。對上例置信陳述可以是一個合適的工具：例如，以95(%)的置信水平，這個比例p在0.546和0.624之間。（三）“不確定性”和“隨機性”1、C.R.Rao：統(tǒng)計學(xué)就是圍繞不確定性的駕馭而發(fā)展起來的2、隨機性是自然界所固有的3、短期的機遇變異和長期的規(guī)律性4、將隨機性歸納于可能的規(guī)律性之中

凱特勒（A.Quetlet,1796-1874）利用概率論概念描述社會學(xué)和生物現(xiàn)象孟德爾（G.Mendel,1870）使用簡單的隨機結(jié)構(gòu)，建立了他的遺傳法則玻爾茨曼（Boltzmann,1866）給出了熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計學(xué)解釋這些偉人的思想觀點是自然界的一場革命，然而這些觀點在當(dāng)時并未為人們所接受。2、隨機性是自然界所固有的3、短期的機遇變異和長期的規(guī)律性重復(fù)投擲一枚均勻硬幣六次，觀察每次出現(xiàn)的面：（1）正反正反反正（2）反反反正正正（3）正反反反反反

直覺認(rèn)為結(jié)果（1）是隨機的，結(jié)果（2）和結(jié)果（3）很不隨機。

從概率的觀點認(rèn)為結(jié)果（1）、（2）、（3）的發(fā)生有相同的概率，因而沒有哪一個結(jié)果比其他結(jié)果更多一點或少一點隨機性。

在某地的彩票活動中，七年中有人累計中兩次大獎的機會是：一半對一半

人們的潛意識常常與理性思考的結(jié)果有很大差別，如不善于統(tǒng)計思考，即使面對十分平常的現(xiàn)象，也會鬧出笑話。著名的分賭本問題

甲乙二人各有賭本1元，約定誰先勝三局贏得全部賭本2元，假定甲、乙二人每一局的取勝概率相等?，F(xiàn)已賭三局結(jié)果是：甲二勝一負。由于某種原因賭博中止，問如何分賭本才合理？

分析：甲、乙均分顯然不合理，由甲二勝一負能否依2：1來分？也是不合理的。巴斯卡提出一個關(guān)鍵點是：如賭局繼續(xù)下去，各人取勝的概率，這將決定甲、乙二人的期望所得（后者現(xiàn)在稱數(shù)學(xué)期望）。Bortkiewicz（1898）的馬踏死騎兵人數(shù)的統(tǒng)計。5、隨機性是創(chuàng)造性不可缺少的一個因素。（1）抽樣調(diào)查和試驗設(shè)計的隨機性（2）罐子模型考慮二種醫(yī)學(xué)處理（用1和2表示）的臨床比較試驗?zāi)Ｐ偷脑O(shè)計一罐子有二類型號的球，即型1及型2的球，當(dāng)一個病人接受處理時，隨機抽一球，如為i型，則病人接受處理i，當(dāng)處理的“效應(yīng)”為成功時，則附加α個型i球及β個型號2-i+1球（α≧β>0待定）；如“效應(yīng)”為失效，則附加β個型i球及α個型號2-i+1球，可找出α，β的設(shè)計使模型在某種意義下最優(yōu)。這種設(shè)計的優(yōu)點在于有人性化，即較多的病人接受較好的處理。5、隨機性是創(chuàng)造性不可缺少的一個因素。（1）抽樣調(diào)查和試驗設(shè)計的隨機性（2）罐子模型（3）MonteCarlo法與模擬

圖2：如何求不規(guī)則圖形的面積—蒙特卡羅法或模擬法MonteCarlo法與模擬MonteCarlo法與模擬四統(tǒng)計的特點1、統(tǒng)計學(xué)是使用有效方法收集分析數(shù)據(jù)，并作出結(jié)論的方法論科學(xué)。2、統(tǒng)計方法不涉及問題的專業(yè)內(nèi)涵，是“中性”的，任何人都可以使用。3、統(tǒng)計結(jié)論并非百分之百4、統(tǒng)計方法研究和揭示現(xiàn)象之間在數(shù)量表現(xiàn)層面上的相關(guān)關(guān)系，但不肯定是因果關(guān)系。3、統(tǒng)計結(jié)論并非百分之百

因為變異無所不在，統(tǒng)計結(jié)論并不是絕對的。例如統(tǒng)計研究發(fā)現(xiàn)：對50－64歲的婦女，乳房攝影可以減少26％的死亡率，但26％這只是平均數(shù)，對不同的婦女，結(jié)果可能大不相同。例如有些每年做乳房攝影的婦女死于乳癌；而有一輩子都未做過攝影的婦女，卻活到100歲。每天的天氣預(yù)報，結(jié)果可能會錯，但同時告訴你晴或雨的概率是多大。因此誰也不會懷疑天氣預(yù)報的科學(xué)性和重要性。4、統(tǒng)計方法研究和揭示現(xiàn)象之間在數(shù)量表現(xiàn)層面上的相關(guān)關(guān)系，但不肯定是因果關(guān)系。統(tǒng)計研究顯示：抽煙與肺癌死亡率之間有很強的相關(guān)性，但尚不能肯定它們之間存在因果關(guān)系。一項統(tǒng)計研究表明一國的人均擁有電視機數(shù)與人的期望壽命有相關(guān)關(guān)系；但不能說人均電視機數(shù)和壽命長短有因果關(guān)系。第二部分

概率（一）事件的概率（二）條件概率與事件的獨立性（三）隨機變量及其分布（四）隨機變量的數(shù)字特征（一）事件的概率1、隨機事件2、概率的概念及性質(zhì)3、古典概型1、隨機事件在隨機試驗中，對某些現(xiàn)象的陳述為隨機事件（也簡稱事件）。對于指定的一次試驗，一個特定的事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，這就是事件的隨機性。例1（p1），投擲一枚均勻骰子，觀察朝上面的點數(shù)，我們關(guān)注“出現(xiàn)點數(shù)不大于4”這個事件（記之為A）。當(dāng)試驗結(jié)果出現(xiàn)3點時，事件A發(fā)生；當(dāng)試驗結(jié)果出現(xiàn)5點時，事件A不發(fā)生?？傊?，在試驗前，無法判斷事件A是否發(fā)生。事件的關(guān)系（1）（B包含A）。（2）A=B（A與B相等）；（3）A與B互斥（A，B不能在一次試驗中同時發(fā)生）事件的運算例7（p3）有兩門火炮同時向一架飛機射擊，考察事件A={擊落飛機}，依常識，“擊落飛機”等價于“擊中駕駛員”或者“同時擊中兩個發(fā)動機”，因此A是一個較復(fù)雜的事件，如記Bi={擊落第i個發(fā)動機},i＝1,2，C={擊中駕駛員}，相對A而言，B1、B2及C都較A為簡單。我們可以用B1、B2及C表示AA=B1B2∪C這可以簡化復(fù)雜事件A的概率計算。事件的分解的要點是：正確使用事件的運算建立各簡單事件之間的關(guān)系。

2、概率的概念及性質(zhì)概率是事件發(fā)生的可能性大小的度量概率的統(tǒng)計定義——頻率的穩(wěn)定值，常常用于概率的近似計算，是非常有用的。但要注意，試驗次數(shù)要足夠多。概率有以下性質(zhì)事件的加法公式及推廣:對于任意事件A、B、C,有概型的要求：①有限性：可能結(jié)果只有有限個；②等可能性：各個可能結(jié)果出現(xiàn)是等可能的。概率的計算公式3、古典概型例1（p8）設(shè)有批量為100的同型號產(chǎn)品，其中次品有30件?，F(xiàn)按以下兩種方式隨機抽取2件產(chǎn)品：（a）有放回抽取，即先任意抽取1件，觀察后放回批中，再從中任取1件；（b）不放回抽取，即先任取1件，抽后不放回，從剩下的產(chǎn)品中再任取1件。試分別按這兩種抽樣方式求（1）兩件都是次品的概率；（2）第1件是次品，第2件是正品的概率。解：容易驗證滿足古典概型的要求記A={兩件都是次品}，B={第1件次品，第2件正品}只討論有放回情況（不放回情況是類似的），計算樣本點總數(shù)，注意隨機抽取2件產(chǎn)品的試驗可以看成有放回地二次抽取，每次取一件。而每次抽取均有100種可能結(jié)果，依計算原理，一共有n＝100*100＝10000種可能結(jié)果，此即樣本點總數(shù)。

而構(gòu)成事件A的樣本點的條件必須每次抽取來自30件次品，因此每次有30種可能結(jié)果，k＝30*30＝900種可能結(jié)果，于是同理，可得例8（p13）設(shè)一年有365天，求下述事件A，B的概率：A＝{n個人中沒有2人生日相同}；B＝{n個人中至少有2人生日在同一天}。提示：由于每個人的生日可以是365天中的任意一天，因此n個人的生日有365種可能結(jié)果，這就是樣本點總數(shù)。

n為求事件A的有利樣本點數(shù)，注意到為保證不同生日，必須且只須，除第一人外，其余的人的生日只能在365天中除去前面已選定生日的余下天數(shù)中隨機挑選。因此有利于A樣本點數(shù)k＝365*364*……*（365-n+1）又注意到事件A，B之間有關(guān)系B＝A，使用P(B)=1-P(A)直接可得P(B)，這一方法是十分常用的，讀者須掌握?！ǘl件概率與事件的獨立性1、條件概率2、全概率公式和貝葉斯公式3、事件的獨立性1、條件概率例2（p18）生命表生命表是人身保險精算的重要依據(jù)，下表是美國1976年的部分生命表。年齡每十萬人中存活人數(shù)每千個存活者的死亡率50907186.4351901357.0052895017.6253888228.3054880859.03其中第3列的死亡率就是到達該年齡還存活條件下，在之后的一年內(nèi)死亡的條件概率。例如，為求50歲時的死亡率，記事件A＝{個體在50歲存活}，B＝{個體在50到51歲之間死亡}，注意到此時AB=B，因而所以，50歲人的死亡率為這正好是第3列的第一個數(shù)字（須除以1000）例3（p19）一批零件共100個，其中次品有10個，今從中不放回抽取2次，每次取1件，求第一次為次品，第二次為正品的概率。解記A＝{第一次為次品}，B＝{第二次為正品}，要求P(AB)，由乘法公式，先求P(BlA)及P(A)已知P(A)=0.1，而P(BlA)＝90/99，因此P(AB)＝P(A)P(BlA)＝0.1*90/99＝0.0912、全概率公式和貝葉斯公式原因A1原因A2原因An結(jié)果B……全概率公式是已知“原因”發(fā)生概率，求“結(jié)果”發(fā)生概率。貝葉斯公式是已知“結(jié)果”，推斷該“結(jié)果”由某“原因”發(fā)生的概率。原因A1原因A2原因An結(jié)果B……

在貝葉斯公式中，稱P(A1)，…，P(An)為先驗概率，而P(A1lB)，…，P(AnlB)為后驗概率，它表示在有了試驗結(jié)果B已發(fā)生的附加信息下，對先驗概率的修正。例5（p20）血液化驗一項血液化驗以概率0.95將帶菌病人檢出陽性，但也有1％的概率誤將健康人檢出陽性。設(shè)已知該種疾病的發(fā)病率為0.5％，求已知一個個體體檢出陽性條件下，該個體確實患有此種疾病的概率。此例的“結(jié)果”是血液化驗檢出是陽性，產(chǎn)生此結(jié)果的兩個可能“原因”是：一帶菌；二健康人。問題是從已知“結(jié)果”是由“帶菌”產(chǎn)生的條件概率：P(帶菌l陽性)記B＝{陽性}，A1＝{帶菌}，A2＝{不帶菌}已知由Bayes公式得到 帶菌 不帶菌 總和陽性 0.95 1.99 2.94

非陽性 0.05 197.01 197.06總和1199 200 其中數(shù)字0.95，1.99是由假設(shè)條件及公式0.95＝1*0.951.99＝199*0.01算出，因此已檢出陽性條件下（總共2.94人），帶菌（只有0.95人）的條件概率為為什么驗出是“陽性”，而事實上為“帶菌”的概率如此?。恳韵率瞧骄倲?shù)為200人的分類表：3、事件的獨立性例10（p25）保險賠付設(shè)有n個人向保險公司購買人身意外險（保險期為1年），假定投保人在一年內(nèi)發(fā)生意外的概率為0.01，求：（1）該保險公司賠付的概率；（2）多大的n使得以上的賠付概率超過0.5。答案（1）1－0.99（2）n≥685本例表明，雖然概率為0.01的事件是小概率事件，它在一次試驗中是實際不會發(fā)生的；但若重復(fù)做n次試驗，只要n≥685，該小概率事件至少發(fā)生一次的概率要超過0.5，因此決不能忽視小概率事件。nn（三）隨機變量及其分布1、隨機變量的分布函數(shù)2、離散型隨機變量的分布3、連續(xù)型隨機變量的分布4、二維隨機變量的聯(lián)合分布與邊緣分布1、隨機變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的圖像，y＝0及y＝1是兩條漸近線y＝0y＝12、離散型隨機變量的分布例5（p33）袋中有5個球，分別編號1,2,…,5，從中同時取出3個球，以X表示取出的球的最小號碼，求X的分布律與分布函數(shù)。解：由于X表示取出的3個球中的最小號碼，因此X的所有可能取值為1,2,3，{X＝1}表示3個球中的最小號碼為1，那么另外兩個球可在2,3,4,5中任取2個，這樣的可能取法有種；而在5個球中取3個球的可能取法共有種，例10（p38）設(shè)每分鐘通過某交叉路口的汽車流量X服從泊松分布，且已知在一分鐘內(nèi)無車輛通過與恰有一輛車通過的概率相同，求在一分鐘內(nèi)至少有兩輛車通過的概率。解設(shè)X服從參數(shù)為λ的泊松分布，由題意知P(X=0)=P(X=1)可解得λ＝1因此，至少有兩輛車通過的概率為P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-2e-13、連續(xù)型隨機變量的分布常用連續(xù)型分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的密度函數(shù)圖像4、二維隨機變量的聯(lián)合分布和邊緣分布（四）隨機變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望2、方差和標(biāo)準(zhǔn)差3、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)4、大數(shù)律和中心極限定理1、數(shù)學(xué)期望期望的性質(zhì)

例5（p79）分賭本問題（pointproblem）

甲乙二人各有賭本a元，約定誰先勝三局贏得全部賭本2a元，假定甲、乙二人每一局的取勝概率相等?，F(xiàn)已賭三局結(jié)果是：甲二勝一負。由于某種原因賭博中止，問如何分2a元賭本才合理？

提示：如果甲乙兩人平均分，對甲是不合理的；能否依據(jù)現(xiàn)在的勝負結(jié)果2：1來分呢？但仔細推算也是不合理的，當(dāng)時著名數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家Pascal提出一個合理的分法是：如果賭局繼續(xù)下去，他們各自的期望所得就是他們應(yīng)該分得的。例11（p82）把n個球放進M只盒子，假定每只球落入各個盒子是等可能的，求有球的盒子數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。2、方差和標(biāo)準(zhǔn)差

例有兩批鋼筋（每批10根）它們的抗拉強度為：第一批110，120，120，125，125，125，130，130，135，140第二批90，100，120，125，125，130，135，145，145，145可計算出兩批數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是126，但直觀上第二批數(shù)據(jù)比第一批數(shù)據(jù)與平均值126有較大的偏離，因此，欲描述一組數(shù)據(jù)的分布單單有中心位置的指標(biāo)是不夠的，尚需有一個描述相對于中心位置的偏離程度的指標(biāo)，對于隨機變量也有相同的問題，除了使用期望描述分布的中心位置以外，尚需一個描述相對于期望的分散程度的指標(biāo)。3、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)兩元正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)4、大數(shù)定律和中心極限定理切比雪夫大數(shù)定律中心極限定理德莫弗－拉普拉斯中心極限定理（一）基本概念（二）統(tǒng)計量和抽樣分布（三）統(tǒng)計估計（四）假設(shè)檢驗第三部分統(tǒng)計（一）基本概念1、統(tǒng)計的研究對象2、總體和樣本3、簡單隨機樣本1、統(tǒng)計的研究對象（1）必須是“大量的”現(xiàn)象（2）不是研究現(xiàn)象本身，而是現(xiàn)象所表征的數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系。（3）統(tǒng)計既非純粹數(shù)學(xué)，也非具體的行為科學(xué)，有廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域?？傮w和個體

總體即研究對象全體或者說是服從一定分布的統(tǒng)計指標(biāo)；每個對象，或?qū)ο蟮臄?shù)量特征稱之為個體。2、總體和樣本例：某廠生產(chǎn)大批某種型號的元件，從某天生產(chǎn)的元件中隨機抽取若干個進行壽命試驗。總體就是該廠某種型號的全部元件，由于關(guān)心的是元件的壽命，因此也可以說，總體是具有某種分布的元件壽命，而每個元件，是個體。樣本稱總體中按一定規(guī)則抽取的一部分個體為樣品，樣品的統(tǒng)計指標(biāo)稱為樣本。在總體中抽取樣本的過程稱之為抽樣；抽取規(guī)則則稱之為抽樣方案；樣本所包含的個體個數(shù)稱之為樣本容量或樣本大小。服從同一分布類型的不同研究對象可以看成來自同一總體?？傮w的這一定義給理論處理帶來極大的方便，便于應(yīng)用概率論作為理論分析的工具。統(tǒng)計總體的特點是，標(biāo)志總體的分布總是未知的，或者至少部分是未知的（例如含有若干未知參數(shù)）簡單隨機樣本即獨立且同分布的樣本，這種樣本既有代表性又有相互獨立性，便于理論分析，本書討論的樣本，除少數(shù)另有說明外，都是這一類樣本。3、簡單隨機樣本樣本的兩重性對于給定的抽樣方案，作為將要被抽到的那些個體的指標(biāo)，樣本是一組隨機變量，同大寫字母X1,…,Xn記之；一旦給定的抽樣方案實施后，樣本就是一組數(shù)據(jù)，用小寫英文字母記之。（二）統(tǒng)計量和抽樣分布1、統(tǒng)計量2、抽樣分布1、統(tǒng)計量樣本常常表現(xiàn)為一大堆數(shù)字，很難直接用來解決我們所要研究的具體問題。人們常常把數(shù)據(jù)加工成若干個數(shù)量指標(biāo)，以概括這批數(shù)據(jù)所提供的相關(guān)問題的信息。數(shù)據(jù)加工后的數(shù)量指標(biāo)就是統(tǒng)計量。2、抽樣分布有限總體的抽樣分布三個重要分布（1）卡方分布（2）T分布（3）F分布（1）卡方分布（2）T分布（3）F分布正態(tài)總體下的抽樣分布

（三）統(tǒng)計估計1、點估計問題2、估計方法3