高中數(shù)學(xué)《函數(shù)的極值與最大(小)值》課件

1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件.2.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多

項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值.3.體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大(小)值的關(guān)系.5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值1.函數(shù)的極值與極值點(diǎn)若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,①

f'(a)=0

,而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)②

f'(x)<0

,右側(cè)③

f'(x)>0

,就把a(bǔ)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,④

f'(b)=0

,而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)⑤

f'(x)>0

,右側(cè)⑥

f'(x)<0

,就把b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.注意:導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn),如f(x)=x3.一般地,函數(shù)y=f(x)在一點(diǎn)

的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)y=f(x)在這點(diǎn)取極值的必要條件,而非充分條件.1|函數(shù)的極值南方繞彎2.求函數(shù)y=f(x)極值的方法一般地,可按如下方法求函數(shù)y=f(x)的極值:解方程f'(x)=0,當(dāng)f'(x0)=0時(shí):(1)如果在x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,那么f(x0)是⑦

極大值

;(2)如果在x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,那么f(x0)是⑧

極小值

.南方繞彎1.函數(shù)的最大(小)值的定義對(duì)于函數(shù)f(x),給定區(qū)間I,若對(duì)任意x∈I,存在x0∈I,使得f(x)≥f(x0),則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值;若對(duì)任意x∈I,存在x0∈I,使得f(x)≤f(x0),則稱f(x0)為函數(shù)f(x)

在區(qū)間I上的最大值.一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有

最大值和最小值.2.求函數(shù)的最大值與最小值的步驟函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值

與最小值的步驟如下:(1)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的⑨

極值

;(2)將函數(shù)y=f(x)的各⑩

極值

與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)

是最大值,最小的一個(gè)是最小值.2|函數(shù)的最大(小)值1.函數(shù)的極大值一定大于極小值.

(

?)提示:極值是函數(shù)的局部性質(zhì),若極大值和極小值不相鄰,則極大值不一定大于極

小值.2.在可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處,切線與x軸平行或重合.

(√)提示:由極值的定義可知,切線斜率k=f'(x0)=0,所以切線與x軸平行或重合.3.若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,則f(x)在(a,b)內(nèi)一定不單調(diào).

(√)提示:根據(jù)極值的概念,極值點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)不同號(hào),所以函數(shù)不單調(diào).4.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得.

(

?)提示:函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值可以是極大值或極小值,不一定在

區(qū)間端點(diǎn)處取得.判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“?”。5.開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最大(小)值.

(√)提示:若單調(diào)函數(shù)有最值,則一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得,但開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)在端點(diǎn)處無(wú)函數(shù)值,所以無(wú)最大(小)值,故結(jié)論正確.6.在定義域內(nèi),若函數(shù)有最大(小)值與極大(小)值,則極大(小)值就是最大(小)值.

(

?)提示:由最大(小)值的定義知,y最大值≥y極大值,y最小值≤y極小值,故結(jié)論錯(cuò)誤.南方繞彎1|利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題情境“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同,”說(shuō)的是廬山的高低起伏,錯(cuò)落有致.

在群山之中,各個(gè)山峰的頂端,雖然不一定是群山的最高處,但它卻是其附近的最

高點(diǎn).那么,在數(shù)學(xué)上,這種現(xiàn)象如何來(lái)刻畫呢?

問題1.函數(shù)的極大(小)值是不是函數(shù)在定義域中的最大(小)值呢?提示:極值是一個(gè)局部概念,由定義知極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函

數(shù)值比較是大或小,并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)最大或最小.2.函數(shù)的極大(小)值是不是唯一的?提示:函數(shù)的極值不是唯一的,即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小

值可以不止一個(gè).3.函數(shù)的極大值是否一定大于函數(shù)的極小值?提示:一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值,如圖所示,x1是極大值點(diǎn),x4是極小值點(diǎn),

但f(x1)<f(x4),因此函數(shù)的極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系.南方繞彎1.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x);(3)由f'(x)=0,求出全部的根;(4)列表:方程的根將整個(gè)定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間(如果根中含有參數(shù),則需根據(jù)

參數(shù)的范圍分類劃分區(qū)間),把x,f'(x),f(x)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在一個(gè)表格

內(nèi);(5)判斷得結(jié)論:若導(dǎo)數(shù)在根x0附近左正右負(fù),則函數(shù)在x0處取得極大值;若左負(fù)右

正,則取得極小值.2.有關(guān)含參數(shù)的函數(shù)的極值問題,一般有兩類:(1)求含參數(shù)的函數(shù)的極值,要根據(jù)f'(x)=0的不同類型對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.通常要

考慮以下幾個(gè)方面:①方程f'(x)=0有無(wú)實(shí)數(shù)根;②方程f'(x)=0的實(shí)數(shù)根是否在定義域內(nèi);③方程f'(x)=0的實(shí)數(shù)根之間的大小.進(jìn)而列表得到函數(shù)的極值.(2)由極值求參數(shù)的值或取值范圍,解題的切入點(diǎn)是極值存在的條件:極值點(diǎn)處的

導(dǎo)數(shù)值為0,極值點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào).解題步驟如下:①求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'(x);②由極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0,列出方程(組),求解參數(shù).注意:求出參數(shù)后,一定要驗(yàn)證是否滿足題目的條件.已知函數(shù)f(x)=(x2+mx-2m2+3m)ex(x∈R),當(dāng)m∈R且m≠

時(shí),求函數(shù)的極值.思路點(diǎn)撥求f'(x)

解f'(x)=0

分類討論,確定f(x)的單調(diào)區(qū)間

得解.解析由題意得,f'(x)=[x2+(m+2)x-2m2+4m]ex.令f'(x)=0,得x=-2m或x=m-2.由m≠

知,-2m≠m-2.分以下兩種情況討論:若m>

,則-2m<m-2.南方繞彎當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如表所示.∴f(x)在(-∞,-2m),(m-2,+∞)內(nèi)是增函數(shù),在(-2m,m-2)內(nèi)是減函數(shù).∴函數(shù)f(x)在x=-2m處取得極大值,且極大值為f(-2m)=3me-2m;函數(shù)f(x)在x=m-2處取

得極小值,且極小值為f(m-2)=(4-3m)em-2.x(-∞,-2m)-2m(-2m,m-2)m-2(m-2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗南方繞彎若m<

,則-2m>m-2.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如表所示.∴f(x)在(-∞,m-2),(-2m,+∞)內(nèi)是增函數(shù),在(m-2,-2m)內(nèi)是減函數(shù).∴函數(shù)f(x)在x=m-2處取得極大值,且極大值為f(m-2)=(4-3m)

;函數(shù)f(x)在x=-2m處取得極小值,且極小值為f(-2m)=3me-2m.x(-∞,m-2)m-2(m-2,-2m)-2m(-2m,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗(1)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,求a,b的值;(2)已知函數(shù)f(x)=

x3-

(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m為常數(shù))在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.思路點(diǎn)撥(1)求f'(x)

建立關(guān)于a,b的方程組

解方程組

求出a,b的值并檢驗(yàn);(2)由f'(x)的圖象在(1,+∞)內(nèi)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),列不等式組

解關(guān)于m的不等式組

得到m的取值范圍.解析(1)由題意得,f'(x)=3x2+2ax+b,依題意得

整理得

解得

或

當(dāng)

時(shí),f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上單調(diào)遞增,不可能在x=1處取得極值,所以

不符合題意,應(yīng)舍去.而當(dāng)

時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,故a,b的值分別為4,-11.(2)由題意得,f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的圖象在(1,+∞)內(nèi)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),如圖所示.南方繞彎

所以

解得m>3.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3,+∞).易錯(cuò)警示

解決利用極值求函數(shù)中的參數(shù)問題時(shí),注意f'(x0)=0是x0為極值點(diǎn)的必要不充分條

件,由f'(1)=0及f(1)=10求出a,b的值后,注意檢驗(yàn)極值的存在條件,防止漏掉檢驗(yàn)導(dǎo)

致解題錯(cuò)誤.南方繞彎2|利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問題1.利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性,研究函數(shù)的極值情況,并能在此基礎(chǔ)上畫出函

數(shù)的大致圖象,從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)

數(shù),從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問題提供了方便.2.解決此類問題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):一是借助幾何圖形的直觀性求解;二是正確求導(dǎo),

正確計(jì)算極值.所以此類題型的訓(xùn)練可提升直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題中,函數(shù)的零點(diǎn)問題是比較復(fù)雜的綜合問題,常常在高考

壓軸題中出現(xiàn).解決此類問題可通過極值的正用和逆用,分類討論、數(shù)形結(jié)合等

思想方法進(jìn)行有效處理,解題的關(guān)鍵是掌握求單調(diào)區(qū)間和極值的方法.如:與“三

次函數(shù)”有關(guān)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,往往通過函數(shù)的極值符號(hào)來(lái)解決,設(shè)某三次函數(shù)

存在極大值與極小值,且極大值為f(M),極小值為f(m):f(x)有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),f(M)<0或f(m)>0;f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),f(m)=0或f(M)=0;f(x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),f(m)<0且f(M)>0.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+11.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)求函數(shù)的極值;(3)討論方程f(x)=m的根的個(gè)數(shù).思路點(diǎn)撥(1)求導(dǎo)得到f'(x)

利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間.(2)由(1)求出極值.(3)結(jié)合f(x)的圖象,與直線y=m比較得解.解析(1)由題意得,f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),令f'(x)=0,得x=-1或x=3.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如表所示.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,3).(2)由(1)可得,當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)有極大值f(-1)=16;當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)有極小值f(3)=-16.(3)當(dāng)x=0時(shí),f(x)=11,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值的情況可畫出f(x)的大致圖象,如

圖.x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗南方繞彎

方程f(x)=m的根可看作是函數(shù)f(x)的圖象與直線y=m的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).由圖知,當(dāng)m<-16時(shí),函數(shù)f(x)的圖象與直線y=m有一個(gè)交點(diǎn),故方程有一個(gè)根;當(dāng)-16<m<16時(shí),函數(shù)f(x)的圖象與直線y=m有三個(gè)交點(diǎn),故方程有三個(gè)根;當(dāng)m>16時(shí),函數(shù)f(x)的圖象與直線y=m有一個(gè)交點(diǎn),故方程有一個(gè)根;當(dāng)m=16或m=-16時(shí),函數(shù)f(x)的圖象與直線y=m有兩個(gè)交點(diǎn),故方程有兩個(gè)根.綜上,當(dāng)m<-16或m>16時(shí),方程有一個(gè)根;當(dāng)-16<m<16時(shí),方程有三個(gè)根;當(dāng)m=±16時(shí),方程有兩個(gè)根.3|利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大(小)值問題1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大(小)值求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最大(小)值問題的步驟:(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并檢驗(yàn)f'(x)=0的根是否在給定區(qū)間內(nèi).(2)研究函數(shù)的單調(diào)性,確定極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值.(3)比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小,確定最大(小)值.2.含參函數(shù)的最大(小)值問題有關(guān)含有參數(shù)的函數(shù)的最大(小)值問題,一般有兩類:一類是求含有參數(shù)的函數(shù)的

最大(小)值,對(duì)于此類問題,由于參數(shù)的取值范圍不同會(huì)導(dǎo)致函數(shù)的單調(diào)性變化,

從而導(dǎo)致最大(小)值變化,所以解決此類問題常常需要分類討論,在分類討論解決

函數(shù)的單調(diào)性的基礎(chǔ)上,結(jié)合討論極值與端點(diǎn)值的大小求解.南方繞彎另一類是由最大(小)值求參數(shù)的值或取值范圍,此類問題是根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值

問題的逆向運(yùn)用,求解此類問題的步驟如下:(1)求導(dǎo)數(shù)f'(x),并求極值;(2)利用單調(diào)性,將極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較,確定函數(shù)的最值,若參數(shù)的變

化影響著函數(shù)的單調(diào)性,則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論;(3)利用最值列出關(guān)于參數(shù)的方程(組),求解即可.南方繞彎已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-a2x,求函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的最小值.思路點(diǎn)撥求f'(x)

對(duì)a分類討論

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.解析由題意得,f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a).令f'(x)=0,得x=-

或x=a.①當(dāng)a>0時(shí),f(x)在[0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(a)=-a3;②當(dāng)a=0時(shí),f'(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(0)=0;③當(dāng)a<0時(shí),f(x)在

上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f

=

a3.綜上所述,當(dāng)a>0時(shí),f(x)的最小值為-a3;當(dāng)a=0時(shí),f(x)的最小值為0;當(dāng)a<0時(shí),f(x)的最

小值為

a3.解題模板對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論,其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0,等于0,小于0三種情況.若導(dǎo)函數(shù)恒

大于(小于)或等于0,則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),最值在端點(diǎn)處取得;若導(dǎo)函

數(shù)可能等于0,則分類討論求出極值點(diǎn)后求極值,再與端點(diǎn)值比較后確定最值.已知函數(shù)f(x)=mx3-6mx2+n+1在x∈[-1,2]上的最小值為-28,最大值為4,求實(shí)數(shù)m,n的

值.思路點(diǎn)撥分析得出m≠0

求f'(x)

分類討論求函數(shù)極值

m>0時(shí),最大值=極大值;m<0時(shí),最小值=極小值

列方程

求出m,n的值.解析由題設(shè)知若m=0,則f(x)=n+1為常數(shù)函數(shù),與題設(shè)矛盾,故m≠0.求導(dǎo)得f'(x)=3mx2-12mx=3mx(x-4),令f'(x)=0,得x=0或x=4(舍去).當(dāng)m>0,且x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如表所示.由表可知,當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得極大值n+1,也就是函數(shù)在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=n+1=4,∴n=3.又f(-1)=-7m+4>f(2)=-16m+4,x-1(-1,0)0(0,2)2f'(x)

+0-

f(x)-7m+n+1↗n+1↘-16m+n+1∴f(2)=-16m+4=-28,解得m=2.當(dāng)m<0時(shí),同理可得,當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得極小值n+1,也就是函數(shù)在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=n+1=-28,∴n=-29.又f(-1)=-7m-28<f(2)=-16m-28,∴f(2)=-16m-28=4,解得m=-2.綜上,m=2,n=3或m=-2,n=-29.4|利用函數(shù)的最大(小)值解決與不等式恒成立有關(guān)的問題1.利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大(小)值,可以處理有關(guān)函數(shù)圖象、不等式等綜合

問題,特別是有關(guān)不等式恒成立問題,是近幾年來(lái)高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn),經(jīng)常

以高考?jí)狠S題的形式出現(xiàn).2.處理不等式恒成立問題的方法(1)取主元(給定范圍內(nèi)任意取值的變量),結(jié)合參數(shù)分類,利用最大(小)值或數(shù)形結(jié)

合解決有關(guān)不等式恒成立問題.(2)將主元與參數(shù)分離變量,將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最大(小)值問題來(lái)解決.在定義域內(nèi),對(duì)于任意的x,都有f(x)≥a成立,轉(zhuǎn)化為f(x)min≥a;對(duì)于任意的x,都有f(x)

≤a成立,轉(zhuǎn)化為f(x)max≤a.3.證明不等式問題,可以將不等式問題轉(zhuǎn)化為最大(小)值問題,利用函數(shù)的最大

(小)值加以證明.已知函數(shù)f(x)=(1+x)e-2x,x∈[0,1],求證:1-x≤f(x)≤

.思路點(diǎn)撥不等式變形

作差構(gòu)造函數(shù)

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性

求函數(shù)最值

得證.證明

要證當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=(1+x)e-2x≥1-x,只需證明(1+x)e-x≥(1-x)ex.記h(x)=(1+x)e-x-(1-x)ex,則h'(x)=x(ex-e-x),當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h'(x)>0,因此h(x)在[0,1]上是增

函數(shù),故h(x)≥h(0)=0,所以f(x)≥1-x,x∈[0,1].要證當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=(1+x)e-2x≤

,只需證明ex≥x+1.記g(x)=ex-x-1,則g'(x)=ex-1,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g'(x)>0,因此g(x)在[0,1]上是增函數(shù),故g(x)

≥g(0)=0,所以f(x)≤

,x∈[0,1].綜上,1-x≤f(x)≤

,x∈[0,1].設(shè)函數(shù)f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)<-2t+m對(duì)任意t∈(0,2)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(3)若對(duì)任意的t1,t2∈(0,2),都有h(t1)<-2t2+m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.思路點(diǎn)撥(1)將f(x)配方

利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值h(t).(2)不等式變形為h(t)-(-2t+m)<0

構(gòu)造函數(shù)g(t)=h(t)-(-2t+m),t∈(0,2)

求g(t)的最大值

根據(jù)恒成立列不等式

解得實(shí)數(shù)m的取值范圍.(3)求h'(t)

求h(t)在區(qū)間(0,2)上的最大值

令φ(t)=-2t+m,求t∈(0,2)時(shí)φ(t)的范圍

根據(jù)恒成立列不等式

解得實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),∴當(dāng)x=-t時(shí),f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)記g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,t∈(0,2),則g'(t)=-3t2+3,令g'(t)=0,得t=1或t=-1(舍去).當(dāng)t變化時(shí),g'(t),g(t)的變化情況如表所示.∴g(t)在(0,2)內(nèi)有最大值g(1)=1-m.∵h(yuǎn)(t)<-2t+m對(duì)任意t∈(0,2)恒成立,t(0,1)1(1,2)g'(t)+0-g(t)↗極大值↘∴g(t)<0對(duì)任意t∈(0,2)恒成立,∴1-m<0,∴m>1.∴m的取值范圍為(1,+∞).(3)∵h(yuǎn)(t)=-t3+t-1,t∈(0,2),∴h'(t)=-3t2+1,令h'(t)=0,得t=

或t=-

(舍去).又當(dāng)0<t<

時(shí),h'(t)>0,當(dāng)

<t<2時(shí),h'(t)<0,∴當(dāng)t=

時(shí),h(t)max=-

+

-1=

.令φ(t)=-2t+m,t∈(0,2),∴φ(t)min>m-4.由題意可知

≤m-4,解得m≥

.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.5|導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用1.利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題時(shí),常常涉及用料最省、成本(費(fèi)用)最低、利潤(rùn)最大、

效率最高等問題,求解時(shí)需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系,抓主元,找主線,把

“問題情境”翻譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,抽象成數(shù)學(xué)問題,再選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解,最

后經(jīng)過檢驗(yàn)得到實(shí)際問題的解.2.解決優(yōu)化問題的方法并不單一,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值是解決這類問題的有效方法,有

時(shí)與判別式、基本不等式及二次函數(shù)的性質(zhì)等結(jié)合,多舉并用,達(dá)到最佳效果.3.利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的基本思路

已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元,每生產(chǎn)1千件需另投入

2.7萬(wàn)元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完,每千件的銷售收

入為R(x)萬(wàn)元,且R(x)=

(1)寫出年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大?

(注:年利潤(rùn)=年銷售收入-年總成本)思路點(diǎn)撥(1)利用函數(shù)值與自變量之間的關(guān)系,分段得出函數(shù)解析式.(2)由(1)得出函數(shù)的解

析式,根據(jù)解析式的特點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)和基本不等式,求出函數(shù)的最大值及此時(shí)自變

量的值.解析(1)當(dāng)0<x≤10時(shí),W=xR(x)-(1