N維空間幾何體質(zhì)心的計(jì)算方法

N維空間幾何體質(zhì)心的計(jì)算方法摘要:本文主要是求一個(gè)圖形或物體的質(zhì)心坐標(biāo)的問題，通過微積分方面的知識來求解?從平面推廣到空間，問題也由易到難。首先提出質(zhì)心或形心問題，然后給出重心的定義,再由具體的例子來求解相關(guān)問題。關(guān)鍵字:質(zhì)心重心坐標(biāo)平面薄板二重積分三重積分質(zhì)心或形心問題：這類問題的核心是靜力矩的計(jì)算原理。1.均勻線密度為M的曲線形體的靜力矩與質(zhì)心：靜力矩的微元關(guān)系為dMxyudldMyxudl.其中形如曲線L（（，yfxaxb=壬的形狀體對x軸與y軸的靜力矩分別為（ayfxSJsR77T<(byaMufx=1設(shè)曲線ABL的質(zhì)心坐標(biāo)為(，xy,則,，yxMMMM其中（baMuxdxu1J為ABL的質(zhì)量,L為曲線弧長。若在式y(tǒng)M與式XMyM兩端同乘以2兀,則可得sHTTf.到22(bayxlfxS兀兀baxylfxS兀兀J，其中XS與yS分別表示曲線ABL繞x軸與y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。2.均勻密度平面薄板的靜力矩與質(zhì)心：設(shè)f(x為[]，ab上的連續(xù)非負(fù)函數(shù),考慮形如區(qū)域{}(,,0(Dxyaxbyfx=??的薄板質(zhì)心，設(shè)M為其密度，利用微元法，小曲邊梯形MNPQ的形心坐標(biāo)為1(,(，2yfyxyxx?+A，當(dāng)分割無限細(xì)化時(shí)，可當(dāng)小曲邊梯形MNPQ的質(zhì)量視為集中于點(diǎn)1(,(2xfx處的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，將它對x軸與y軸分別取靜力矩微元可有1((2dMufxfxdx(ydMuxfxdx.兩個(gè)靜力矩為21(2bxaMufxdxJ(bMuxfxdx=J.設(shè)質(zhì)心坐標(biāo)為（,xy,則有（ybaMuxxfxdxMM=J21（2ybaMuyfxdxMM=J.其中(baMufxdxMAJ為該均勻密度薄板的質(zhì)量,A為面積。二.平面圖形的重心:給定一個(gè)曲線yfxyfxxaxb==圍成的圖形，它是一個(gè)物質(zhì)平面圖形，我們考慮均勻的面密度，即單位面積的質(zhì)量為常數(shù)，它在圖形的各部分都等于6.將所給圖形用直線l,,,nxaxxxxb==，劃分成寬為12,,,nxxxAAA的窄條，每個(gè)窄條的質(zhì)量等于它的面積和密度6的乘積。如果每個(gè)窄條用以ixA為底，高為21((iiff^-的矩形來代替，其中，則這窄條的質(zhì)量將近似等于[]21(((1,2?iiiimffxin8q^A=-A=，這個(gè)窄條的重心將近似位于相應(yīng)的矩形的重心上：21(((,Qiiiiicffxy膠+=現(xiàn)在把每個(gè)窄條用一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來代替，它的質(zhì)量等于對應(yīng)窄條的質(zhì)量,并旦集中于該窄條的重心處，我們來求整個(gè)圖形的重心坐標(biāo)的近似值。[][]2121((((1ffxxffx[][][]1221211((((2((i11111c111ffffxyffx&&頑吟公-當(dāng)max0ix△一?時(shí)取極限則得((((bacbaxfxfxdxxfxfxdx-JL[][][]21212U((((2((bacbafxfxfxfxdxyfxfxdx+-=JJ.這些公式任何均勻的平面圖形都適用，可看出重心的坐標(biāo)是與密度無關(guān)的。例:求拋物線與直線所圍成的重心的坐標(biāo)(如圖解:在這種情況下，\/ax.21((fxfx=因此Ocy=.重心1.物體的重心是指物體各部分所受重力的合力的作用點(diǎn)，在生產(chǎn)實(shí)際中,常常要確定物體的重心。例如:煉鋼用鋼水包的包軸位置，就與鋼水包的重心有關(guān)，如果包軸低于重心,用天平調(diào)動鋼包時(shí)就會翻轉(zhuǎn)，如果包軸高于重心過多，則倒出鋼水時(shí)翻轉(zhuǎn)困難。因此,我們總是將包軸安裝于略高于重心的地方，這時(shí)顯然需要確定重心的位置。本段將利用定積分來計(jì)算任意形狀的均勻平面薄板的重心位置，顯然，若于其重心處支持之，則此薄板必保持水平平衡而不傾斜。設(shè)均勻薄板是由曲線l(yyx=,2(yyx=和直線xb=圍成的平面圖形，我們要求此平面的重心(,Gxy,用u表示此薄板單位面積的重量，則微面積sd的重量為12(uyydx-,其重心G的坐標(biāo)為

(,2yyx十,顯然整個(gè)薄板的重量為12(bauyydx-J,由力學(xué)知，合力yydxf1-=-LJ對任一軸的力矩,等于各分力對該軸力矩之和，取對yyydxf1-=-LJ1212((bbaauyydxxuxJJ，取對X軸的力矩得121212((2bbaayyuyydxyuyydxaayyuyydxyuyydx」1-?=-?LJJJ,由此兩式，即得確定薄板重心坐標(biāo)的公式:12122222121212((((111((22(bbaabaaxyydxxyydxxsyydxyydxyydxysyydxb-lJ其中s標(biāo)薄板的面積，由公式(1知均勻薄板的重心只與薄板的形狀有關(guān),而與薄板單位面積的重量無關(guān)。特別，若2(0yx三,則得曲邊梯形薄板重心坐標(biāo)公式：babaxydxxydx=J[12babaydxyydx=JJ.例:試求半徑為R的半圓形均勻薄板的重心。解:由于22RS7T=,iy=2尸=故知重心G的坐標(biāo)(,xy為：==r2-V2Jr：一『JR：一『120232222(222(40.42332bRaRxyydxxsRRxRRR7T71JI22121(20bayydxys-==f.利用二重積分來求一般的非均勻薄板的重心設(shè)有非均勻平面薄板D，其上每點(diǎn)的密度為(,xypp=，設(shè)薄板D的重心坐標(biāo)為(,xy，考慮D中微面積dD，它的微質(zhì)量為：(,dmxydDp=，它關(guān)于y軸與x軸的力矩分別為：(,xdmxxydDp=-^(,ydmyxydDp=把這些微質(zhì)量的力矩加起來，即得薄板D關(guān)于y軸與x軸的力矩為：(,(，DDxdmxxydDxxydxdypp==nnn與（,（，DDDydmyxydDyxydxdypp==nnn薄板的總質(zhì)量，于是根據(jù)重心的定義，得求重心坐標(biāo)的公式:（,（，（2（,（，DDDDDDxdmxxydxdyxmxydxdyydmyxydxdyymx|II=IUUUUUUU特別，若薄板是均勻的，即(,xyp=常數(shù)，則得求均勻薄板重心坐標(biāo)公式:DxdxdyxDJJ,DydxdyyDu對于均勻薄板，我們有[]21((21((yxbbayxaDxdxdydxxdyxyxyxdx=-JJJJL[][]{)2211(2(((222121((2yxyxbbbayydxdydxydydxyxyxdx(2lbaxyydxxDJ,(222112bayydxyD.=設(shè)一立體在空間占據(jù)區(qū)域T,那么立體的體積為TVdxdydz=JU設(shè)（,,xyzpp=,（,,xyzT仁是立體在點(diǎn)（,,xyz的密度，其中T是它所占據(jù)的空間區(qū)域,那么該立體的質(zhì)量為（,,TMxyzdxdydzp=J[[立體重心的坐標(biāo)公式為：1TxxdxdvdzVITyydxdydzJJJ,ITzzdxdvdzJVIII-這里x,y,z是區(qū)域T的幾何重心的坐標(biāo)。例:求平面Ox=,0z=,ly=,3y=,23xz十=所圍之棱柱的重心坐標(biāo)。解:先求棱柱的體積3332013330103203(321(3zTVdxdydzdxdydzdxdyxdxxx_=.==-=.=J[[[[[JU現(xiàn)在求重心的坐標(biāo)338201022199xTxxdxdydzxdxdydz-===201022299xTyydxdydzdxydydz-==JJjJJJ,3382010221992xTzzdxdydzdxdyzdz-==ffffff?參考文獻(xiàn)：《微積分與解析幾何》電子工業(yè)出版社，L,