新教材高中數學第一章集合與常用邏輯用語章末復習學案新人教B版必修第一冊

新教材高中數學第一章集合與常用邏輯用語章末復習學案新人教B版必修第一冊新教材高中數學第一章集合與常用邏輯用語章末復習學案新人教B版必修第一冊新教材高中數學第一章集合與常用邏輯用語章末復習學案新人教B版必修第一冊資料僅供參考文件編號：2022年4月新教材高中數學第一章集合與常用邏輯用語章末復習學案新人教B版必修第一冊版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：第一章集合與常用邏輯用語知識系統(tǒng)整合規(guī)律方法收藏1．集合中元素的三大特性(1)確定性；(2)互異性；(3)無序性．2．集合的表示方法集合的表示方法的適用條件：(1)列舉法：是對有限集且在元素不太多的情況下或元素個數較多且成一定規(guī)律時采用的，元素之間用“，”分隔開．(2)描述法：注意集合的代表元素及元素具備的性質．3．集合間的關系處理集合間的關系時需要注意：(1)涉及某些數集是不等式的解集時，利用數軸可較好地處理一些實數集之間的關系；(2)注意應用B?A的條件時，一定要考慮B＝?和B≠?兩種情況；(3)以形助數，直觀形象，充分利用數形結合思想，同時注意轉化思想，等價變形思想的靈活運用．4．子集、全集、補集的概念及交集、并集、補集運算的性質子集、全集、補集的概念實質上是生活中的“部分”“全體”“剩余”的概念在數學中的抽象與反應．(1)交集運算的性質A∩A＝A；A∩?＝?；A∩B＝B∩A；(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；如果A?B，則A∩B＝A.(2)并集運算的性質A∪A＝A；A∪?＝A；A∪B＝B∪A；(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；如果A?B，則A∪B＝B.(3)補集運算的性質?U(?UA)＝A；A∩(?UA)＝?；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．5．命題(1)判斷一個語句是不是命題就是要看它是否符合是“陳述句”和“可以判斷真假”這兩個條件，只有同時滿足這兩個條件的才是命題．(2)一個命題要么是真的，要么是假的，但不能同時既真又假，也不能模棱兩可無法判斷其真假．當一個命題改寫成“若p，則q”的形式之后，判斷這種命題的真假的辦法是：①若由“p”經過邏輯推理得出“q”，則可確定“若p，則q”是真；確定“若p，則q”為假，則只需舉一個反例說明．②從集合的觀點看，我們建立集合A，B與命題中的p，q之間的一種特殊聯系：設集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是說，A是全體能使條件p成立的對象x所構成的集合，B是全體能使條件q成立的對象x所構成的集合，此時，命題“若p，則q”為真(意思就是“使p成立的對象也使q成立”)，當且僅當A?B時滿足．(3)命題的否定：若p表示命題，則“非p”表示命題的否定．如果命題是“若p，則q”，那么該命題的否定是“若p，則綈q”，即只否定結論．6．全稱量詞、存在量詞與全稱量詞命題、存在量詞命題(1)要判定全稱量詞命題是真命題，需對集合M中每個元素x，證明p(x)成立；如果在集合M中找到一個元素x0，使得p(x0)不成立，那么這個全稱量詞命題就是假命題．(2)要判定一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合M中至少能找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可；否則，這一存在量詞命題就是假命題．(3)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，因此，我們可以通過“舉反例”來否定一個全稱量詞命題．7．充分條件、必要條件、充要條件關于充要條件的判斷主要有以下幾種方法：(1)定義法：直接利用定義進行判斷；(2)等價法；(3)利用集合間的包含關系進行判斷．學科思想培優(yōu)一、集合問題中三個需注意的問題1．注意集合中的代表元素集合中元素的表現形式是多種多樣的，可以是實數x，實數y，有序數對(x，y)，圖形等，我們要仔細觀察集合中的代表元素．[典例1]已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2＋6x＋16，x∈R}，求A∩B.解∵A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}＝{y|y＝(x－1)2－1，x∈R}＝{y|y≥－1}，B＝{y|y＝x2＋6x＋16，x∈R}＝{y|y＝(x＋3)2＋7，x∈R}＝{y|y≥7}，∴A∩B＝{y|y≥7}．2．注意空集的特殊性當B?A時，B集合可能為?，也可能為非空集合，注意不要漏掉B為空集的情況；另外空集在解集中也非常重要，在題目解答出來后，要檢查一下是否漏掉了“空集”這種情況．[典例2]已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x2－x＋p＝0}，且B?A，求實數p的范圍．解①當B＝?時，B?A，由Δ＝(－1)2－4p<0，解得p>eq\f(1,4).②當B≠?，且B?A時，方程x2－x＋p＝0存在兩個正實根．由x1＋x2＝1>0，Δ＝(－1)2－4p≥0.且x1x2＝p>0，得0<p≤eq\f(1,4).由①②可得p的取值范圍為{p|p>0}．3．注意集合中元素的互異性根據兩集合之間的關系進行分類討論，在求參數取值的過程中，應時刻檢驗元素的互異性，在確定集合時，尤其是當集合的元素中含有字母時，也要進行檢驗．[典例3]已知集合M＝{1，t}，N＝{t2－t＋1}，若M∪N＝M，求t的取值集合．解∵M∪N＝M，∴N?M，即t2－t＋1∈M，①若t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，解得t＝0或t＝1，而當t＝1時，M中兩元素不符合互異性，∴t＝0.②若t2－t＋1＝t，即t2－2t＋1＝0，解得t＝1，由①知不符合題意．綜上所述，t的取值集合為{0}．二、集合中的創(chuàng)新題型創(chuàng)新型試題的特點是：通過給出新數學概念或新運算方法，在新的情境下完成某種推理證明或指定要求．在一一列舉時，我們要做到不重不漏．[典例4]設集合P＝{3,4}，Q＝{4,5,6,7}，定義PQ＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，則PQ中元素的個數為________．解析在集合P中取一個數作為a的值，有2種可能；在集合Q中取一個數作為b的值，有4種可能．列舉如下：(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(4,7)．因此PQ中元素的個數為8.答案8[典例5]若集合A1，A2滿足A1∪A2＝A，則稱(A1，A2)為集合A的1種分拆，并規(guī)定：當且僅當A1＝A2時，(A1，A2)與(A2，A1)為集合A的同一種分拆．則集合A＝{a，b}的不同分拆有________種．解析①當A1＝?時，A2＝A＝{a，b}，此時只有1種分拆；②當A1為單元素集時：A1＝{a}，A2＝或A2＝{a，b}；A1＝，A2＝{a}或A2＝{a，b}．此時有4種分拆；③當A1為雙元素集時，A1＝A＝{a，b}，A2可取A的任何子集，此時有4種分拆．綜上，共有9種分拆．答案9三、充分條件與必要條件的判定1．充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件反映了條件和結論之間的關系，解決此類問題的基本步驟是：(1)確定條件是什么，結論是什么；(2)把復雜的條件(結論)化簡；(3)嘗試從條件推結論，從結論推條件；(4)確定是什么條件．2．判定充分條件、必要條件常用的方法(1)直接用定義判定；(2)利用集合的關系判定①若A?B，就是x∈A則x∈B，則x∈A是x∈B的充分條件，x∈B是x∈A的必要條件；②若AB，就是x∈A則x∈B，且B中至少有一個元素不屬于A，則x∈A是x∈B的充分不必要條件，x∈B是x∈A的必要不充分條件；③若A＝B，就是A?B且A?B，則x∈A是x∈B的充分條件，同時x∈A是x∈B的必要條件，即x∈A是x∈B的充要條件；④若AB，A?B，則x∈A是x∈B的既不充分也不必要條件．(3)利用雙箭頭的傳遞判定(或稱圖像法)由于符號“?”“?”“?”具有傳遞性，因此可根據幾個條件的關系，經過若干次的傳遞判斷所要判斷的兩個條件之間的依存關系．[典例6]已知p：－2<m<0,0<n<1，q：關于x的方程x2＋mx＋n＝0有兩個小于1且互不相等的正實根，試判斷p是q的什么條件．解若關于x的方程x2＋mx＋n＝0有兩個小于1且互不相等的正實根，則Δ＝m2－4n>0，即m2>4n.設方程的兩根為x1，x2，則0<x1<1,0<x2<1，x1≠x2，有0<x1＋x2<2，且0<x1x2<1.根據根與系數的關系，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－m，,x1x2＝n.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<－m<2，,0<n<1.))所以－2<m<0,0<n<1，且m2>4n，即有q?p.反之，取m＝－eq\f(1,3)，n＝eq\f(1,2)，那么方程變?yōu)閤2－eq\f(1,3)x＋eq\f(1,2)＝0，Δ＝eq\f(1,9)－4×eq\f(1,2)<0.此時方程x2＋mx＋n＝0無實根，所以peq\o(?,/)q.綜上所述，p是q的必要不充分條件．[典例7]已知p：x∈{x|－2<x－1<2}，q：x∈{x|－2<x<3}，問p是q的什么條件？

解令A＝{x|－2<x－1<2}＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－2<x<3}．∵AB，∴p是q的充分不必要條件．[典例8]已知α是β的充要條件，δ是γ的必要條件，同時又是β的充要條件，試求α與γ的關系．解由已知α?β，γ?δ，δ?β，所以γ?δ?β?α，因此γ?α，所以γ是α的充分條件或α是γ的必要條件．四、數學思想方法1．數形結合思想集合問題大都比較抽象，解題時要盡可能借助維恩圖、數軸或直角坐標系等工具將抽象問題直觀化、形象化，然后利用數形結合的思想方法使問題靈活直觀地獲解．[典例9]設A＝{x|－2<x<－1或x>1}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}．已知A∪B＝{x|x>－2}，A∩B＝{x|1<x≤3}，試求a，b的值．解可利用數軸分析解答，如圖．設想集合B所表示的范圍在數軸上移動，根據A∪B和A∩B可知集合B必覆蓋住數軸上－1≤x≤3這一部分．所以當－1≤x≤3時，由二次函數y＝x2＋ax＋b的圖像可知－1與3應是方程x2＋ax＋b＝0的兩根．由根與系數的關系可得a＝－(－1＋3)＝－2，b＝(－1)×3＝－3.2．分類討論思想利用分類討論思想解答分類討論問題已成為高考中考查學生知識和能力的熱點問題．這是因為，其一，分類討論問題一般都覆蓋較多知識點，有利于對學生知識面的考查；其二，解分類討論問題需要有一定的分析能力，一定的分類討論思想與技巧，因此有利于對學生能力的考查；其三，分類討論問題常與實際問題相聯系．解分類討論問題的實質是：整體問題化為部分問題來解決，化成部分問題后，可以增加題設條件，這也是解分類討論問題總的指導思想．[典例10]已知集合A＝{x∈R|kx2－3x＋2＝0}．(1)若A＝?，求實數k的取值范圍；(2)若A是單元素集合，求k的值及集合A.解(1)若A＝?，即方程kx2－3x＋2＝0無解，若k＝0，方程有一根x＝eq\f(2,3)，不符合題意；若k≠0，要使方程kx2－3x＋2＝0無解，則Δ＝9－8k<0，即k>eq\f(9,8)，故使A＝?的k的取值范圍是k>eq\f(9,8).(2)當k＝0時，由(1)可知A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，符合題意；當k≠0時，要使方程有兩個相等的實根，則Δ＝9－8k＝0，所以k＝eq\f(9,8)，此時A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))).綜上所述，當k＝0時，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))；當k＝eq\f(9,8)時，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,3))).3．等價轉化思想將此問題轉化為彼問題來解決是數學中常用的手段，一個數學問題難度較大或過于抽象時可等價轉化為較直觀或較易解決的問題，也就是將“未知”的問題“已知化”，將復雜的問題簡單化，這樣有助于問題的解決，此即為等價轉化．[典例11]已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,1－x)＝1)))).求(?UB)∩A.解全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}是平面上所有點的集合，集合A是直線x＋y＝1上的點的集合，集合B是直線x＋y＝1上除去點(1,0)的所有點的集合，而?UB表示平面上除了直線x＋y＝1上的所有點以外的點和點(1,0)構成的集合，所以(?UB)∩A＝{(1,0)}．4．反證法反證法是一種間接證法，它回避了從正面直接證明命題，它從命題結論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而肯定命題的結論．從邏輯角度看，命題“若p，則q”的否定是“若p，則綈q”，由此進行推理，如果產生矛盾，那么就說明“若p，則綈q”為假