高考數(shù)學專題平面向量《向量應(yīng)用》突破解析

9.4向量應(yīng)用必備知識基礎(chǔ)練1.已知三個力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同時作用于某物體上一點,為使物體保持平衡,現(xiàn)加上一個力F4,則F4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2) D.(1,2)答案D解析由已知F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2).2.在△ABC中,若(CA+CB)·(CA-CB)=0,則△A.是正三角形 B.是直角三角形C.是等腰三角形 D.形狀無法確定答案C解析(CA+CB)·(CA-CB)=CA2-CB2=0,即|CA|=|CB|,3.點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點,滿足OA·OB=OB·OC=OC·A.三個內(nèi)角的角平分線的交點B.三條邊的垂直平分線的交點C.三條中線的交點D.三條高線所在直線的交點答案D解析∵OA·∴(OA-OC)·OB=0,∴OB∴OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB,∴O為△ABC三條高線所在直線的交點.4.在四邊形ABCD中,若AC=(1,3),BD=(-6,2),則該四邊形的面積為()A.5 B.25C.5 D.10答案D解析∵AC·BD=0,∴AC⊥∴四邊形ABCD的面積S=12|AC||BD|=12×105.在Rt△ABC中,斜邊BC的長為2,O是平面ABC內(nèi)一點,點P滿足OP=OA+12(AB+答案1解析∵OP=∴OP-OA=∴AP為Rt△ABC斜邊BC的中線.∴|AP|=1.6.一條河寬為8000m,一船從A處出發(fā)垂直航行到達河正對岸的B處,船速為20km/h,水速為12km/h,則船到達B處所需時間為h.

答案0.5解析如圖,v實際=v船+v水,|v船|=20(km/h),|v水|=12(km/h),∴|v實際|=|=202-∴所需時間t=816=0.5(h)∴該船到達B處所需的時間為0.5h.7.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分別為BC,CD的中點,則(AE+AF)·BD=答案-9解析如圖,以A為坐標原點,以AB所在直線為x軸,以AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(2,0),D(0,1),∴C(2,1).∵E,F分別為BC,CD的中點,∴E2,12,F(1,1),∴AE=2,12,AF=(1,1),BD=(-2,1).∴AE+AF=3,32∴(AE+AF)·BD=3×(-2)+32×18.已知兩恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一質(zhì)點,使之由點A(20,15)移動到點B(7,0)(力的單位:牛頓,位移單位:米).(1)求F1,F2分別對質(zhì)點所做的功;(2)求F1,F2的合力F對質(zhì)點所做的功.解(1)AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),W1=F1·AB=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦),W2=F2·AB=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).∴力F1,F2對質(zhì)點所做的功分別為-99焦和-3焦.(2)W=F·AB=(F1+F2)·AB=[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦).∴合力F對質(zhì)點所做的功為-102焦.關(guān)鍵能力提升練9.已知點A(-2,-3),B(19,4),C(-1,-6),則△ABC是()A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案C解析AB=(19,4)-(-2,-3)=(21,7),AC=(-1,-6)-(-2,-3)=(1,-3),AB·AC=21-21=0,∴則∠A=90°,又|AB|≠|(zhì)AC|,∴△ABC為直角三角形.10.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=4,點E為AB的中點,且DE⊥AC,則|DE|等于(A.52 B.2C.3 D.22答案B解析以A為坐標原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.|AD|=a(a>0),則A(0,0),C(4,a),D(0,a),E(2,0),所以DE=(2,-a),AC=(4,a).因為DE⊥AC,所以DE所以2×4+(-a)·a=0,即a2=8.所以a=22,所以DE=(2,-22),所以|DE|=22+(-211.在△ABC中,設(shè)AC2-AB2=2AM·BC,那么動點M形成的圖形必通過A.垂心 B.內(nèi)心C.外心 D.重心答案C解析假設(shè)BC的中點是O,則AC2-AB2=(AC+AB)·(AC-AB)=2AO·BC=2AM·BC,即(AO-AM)·BC=MO·BC12.若點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點,且滿足3AM-AB-AC=0,則△ABM與△ABCA.1∶2 B.1∶3C.1∶4 D.2∶5答案B解析如圖,D為BC邊的中點,則AD=12(AB+AC).因為3AM-AB-AC=0所以S△ABM=23S△ABD=13S△ABC.所以S△ABM∶S△ABC=1∶13.(多選)關(guān)于船從兩平行河岸的一岸駛向另一岸所用的時間,正確的是()A.船垂直到達對岸所用時間最少B.當船速v的方向與河岸垂直時用時最少C.沿任意直線運動到達對岸的時間都一樣D.船垂直到達對岸時航行的距離最短答案BD解析根據(jù)向量將船速v分解,當v垂直河岸時,用時最少.船垂直到達對岸時航行的距離最短.14.(多選)已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點,若OA+OB+OC+OD=A.四邊形ABCD為正方形,點O是正方形ABCD的中心B.四邊形ABCD為一般四邊形,點O是四邊形ABCD的對角線交點C.四邊形ABCD為一般四邊形,點O是四邊形ABCD的外接圓的圓心D.四邊形ABCD為一般四邊形,點O是四邊形ABCD對邊中點連線的交點答案ABC解析由OA+OB+OC+OD=0知,OA+OB=-(OC+OD).設(shè)AB,CD的中點分別為E,F,由向量加法的平行四邊形法則,知OE+OF=0,O是EF的中點;同理,設(shè)AD,BC的中點分別為M,N,則O15.(多選)如圖所示,小船被繩索拉向岸邊,船在水中運動時設(shè)水的阻力大小不變,那么小船勻速靠岸過程中,下列四個選項,其中正確的是()A.繩子的拉力不斷增大B.繩子的拉力不斷變小C.船的浮力不斷變小D.船的浮力保持不變答案AC解析設(shè)水的阻力為f,繩的拉力為F,繩AB與水平方向夾角為θ0<θ<π2,則|F|cosθ=|f|,∴|F|=|f∵θ增大,cosθ減小,∴|F|增大.∵|F|sinθ增大,∴船的浮力變小.16.用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個燈具,如圖所示,已知燈具重10N,則每根繩子的拉力大小為N.

答案10解析設(shè)重力為G,每根繩子的拉力分別為F1,F2,則由題意得F1,F2與-G都成60°角,且|F1|=|F2|,F1+F2+G=0.∴|F1|=|F2|=|G|=10N,∴每根繩子的拉力都為10N.17.如圖,BC,DE是半徑為1的圓O的兩條直徑,BF=2FO,則FD·FE=答案-8解析FD=FO+OD,FE所以FD·FE=(FO+OD)=|FO|2-|OD|2=19-1=-818.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC邊的中點,BE⊥AD,垂足為E,延長BE交AC于點F,連接DF,求證:∠ADB=∠FDC.證明如圖,以B為原點,BC所在直線為x軸,BA所在直線為y軸建立平面直角坐標系,設(shè)A(0,2),C(2,0),則D(1,0),AC=(2,-2).設(shè)AF=λAC,λ∈R,則BF=BA+AF=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又DA=(-1,2),由題設(shè)BF⊥所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=23所以BF=所以DF=又DC=(1,0),所以cos∠ADB=DA·DB|DA||又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.19.一艘船從南岸出發(fā),向北岸橫渡.根據(jù)測量,這一天水流速度為3km/h,方向正東,風吹向北偏西30°,受風力影響,靜水中船的漂行速度為3km/h,若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以23km/h的速度橫渡,求船本身的速度大小及方向.解如圖,設(shè)水的速度為v1,風的速度為v2,v1+v2=a.可求得a的方向是北偏東30°,|a|的大小是3km/h.設(shè)船的實際航行速度為v,方向由南向北,大小為23km/h.船本身的速度為v3,則a+v3=v,即v3=v-a,由數(shù)形結(jié)合知,v3的方向是北偏西60°,大小是3km/h.學科素養(yǎng)創(chuàng)新練20.如圖所示,若D是△ABC內(nèi)的一點,且AB2-AC2=DB2-DC2,求證:AD⊥BC.證明設(shè)AB=a,AC=b,AD=e,DB=c,DC=d,則a=e+c,b=e+d,所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.由已知可得a2-b2=c2-d2,所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,所以e·(c-d)=0.因為BC=BD+所以AD·BC=e·(d-c)所以AD⊥BC,即AD⊥21.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有動點P從P0(-1,2)開始,沿著與向量e1+e2相同的方向做勻速直線運動,速度為|e1+e2|;另一動點Q從Q0(-2,-1)開始,沿著與向量3e1+2e2相同的方向做勻速直線運動,速度為|3e1+2e2|.設(shè)P,Q在t=0s時分別在P0,Q0處,當PQ⊥P