課件-現代控制線性系統(tǒng)

2.由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達式。1)

系統(tǒng)輸入中不含導數項.例1.設解：選

y

5

y

8

y

6

y

3u求狀態(tài)空間表達式。x2

yx1

yx3

y則：

5x3x1

x2.x2

x3.

8x2

x3

y

3u

6x1y

x1狀態(tài)空間表達式為

1

x

0u2

0

x1

02

x·3

x·

0

x·1

2

x

3

0 0

x

5x3

a

2

x

1

y

1

0

10

6

8

a

0

a

1

3

0如果單輸入—單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程的一般形式為：a0

y

0u1y(n2)y(n)

a

y(n1)

an1

n2則狀態(tài)空間表達式為：·a

yx

Ax

buy

cx其中：

x

n

x

x

x

n

1

2x1

0

an1

A

0

0

0

.a0

a1

a2

.1

0

1

0

.0

1

.00

0

0

0

0

b

c

10

.

02)

系統(tǒng)輸入量中含有導數項如果單輸入—單輸出系統(tǒng)的微分方程為：一般輸入量中導數項的次數小于或等于系統(tǒng)的次數n。為了避免在狀態(tài)方程中出現u的導數項，可以選擇如下的一組狀態(tài)變量。1

0n1y(n)

ay(n1)

…

a y

a y

bnu(n)

bn1u(n1)

…

b1

u

b0ux

n

1x

n

x

n

1

hn

1

u

x

n

2

hn

2

ux

i

x

i

1

hi

1

ux1

y

h

0

ux

2

x

1

h1

u即：x1

y

h0u

y

x1

h0u

x2

y

h0

u

h1u

y

x2

h0

u

h1u

h0

u

h1

u

h2

uy

x3

x3

y

h0

u

h1

u

h2

uun

0

1

n1x

y(n1)

h

u(n1)

hu(n2)

…

hnn1

h

u(

n1)

h

u(

n2)0

1y(

n1)

x

…

h

uxnn

1

h

u

(

n

1)1

h

u

(

n

)0

y

(

n

)

…

h

u等公式代入得：n

1

h

u

(

n

1)10

y

(

n

)

h

u

(

n

)xn

…

h

u1

0y(n)

an2y(n1)

an1y(n2)

…

a y

a

yn1

0

b

b

u

(

n

)u

(

n

1)n

1

…

b u

b

u

將y,y,y,…,y(n1),y(n)0

11

2y

(

n

)

an

1

xn

an

2

xn

1

…

a

x

a

x

a(h

u

(

n

1)

h

u

(

n

2

)n

1

0

1

…

h

u)n

1u)

a(h

u(n2)

h

u(n3)

…

hn2

0

1

n2

…

a1

(h0

u

h1u

)

a

0

h0u

bnu

(

n

)(

n

1)

bn

1

u

…

b1u

b0

uxn

a0

x1

a1x2

…

an2

xn1

an1xnn1

0h

)u(

n1)

(b

h

)u(n)

(b

h

an

0

n1

1n

1

1n

2

0h

)u

(

n

2

)

(bn

2

h2

ah

a

…

b1

hn1

an1hn2

(b0

an1hn1

an2hn2

an2

hn3

a1h0

)

u…

a1h1

a0h0

)u選擇h0

,h1

,…h(huán)n

1

，使得上式中u的各階導數項的系數都等于0，即可解得：hn1

b1

an1hn2h0

bnh1

bn1

an1h0

an2

h0

an1h1

an3h0

an2

h1

an1h2

an2

hn3

…

a1h0h2

bn2h3

bn3…令上式中u的系數為

hn

，則：

hnu

a0

x1

a1

x2

hn

1u

x3

h2u

…

an

2

xn

1

an

1

xnx·nx·n

1

xnx·2…h(huán)n

b0

an1hn1

an2hn2最后可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程：x·1

x2

h1u…

a1h1

a0

h0可寫成矩陣的形式：x·

Ax

buy

cx

du即：2

0

n1

a010…001…0:::0a10a2…

1…

an

x·n

:

:x·

0

x·

0

x·1

xn1

x1

hn

x

h

2

hn1

2

h1

:

:

u01

xn

x1

x

y

1

:

x

n

0

…

0

2

h

u則：

例2：y

4

y

2

y

y

u

u

3u

試寫出它的狀態(tài)空間表達式。解：n

3,

b3

0,

b2

1,

b1

1,

b0

3a

0

1,

a1

2,

a

2

4

0

a

2

h

0

1h

0

b

3h1

b

2狀態(tài)空間表達式為h3

b0

a2h2

a1h1

a0h0

13h2

b1

a2

h1

a1h0

3

2

2

2

13

x3

0

0

x

y

1

4x3

0

1

0

1

x

3u1

2

x1

0

x1

1

x·3

x·

0

x·1

補充題：y

28

y196

y

740

y

360u

440u

試寫出它的狀態(tài)空間表達式。解：n

3,

b3

0,

b2

0,

b1

360

,

b0

440a

0

740

,

a1

196

,

a

2

28h

0

b

3

0h1

b

2

a

2

h

0

0h

2

b1

a

2

h1

a

1

h

0

360h

3

b

0

a

2

h

2

a

1

h1

a

0

h

0

9640

2

2

2

9640

0360

7400100x3

0

0

x

x1

y

1u10

196

28

x3

x

x1

x·3

x·

x·1

狀態(tài)空間表達式為：3.傳遞函數化為狀態(tài)空間表達式。一般的單輸入—單輸出系統(tǒng)

都簡稱為SI/SO（single

input/single

out)系統(tǒng)，而SI/SO系統(tǒng)的傳遞函數一般可表示成S的有理分式，即根據傳遞函數極點情況可分成三種情況：u

(

s

)sn

an1sn1

…

a0w(s)

y

(

s

)

bn

sn

n1bn1s

…b0①

極點互異?？砂褌鬟f函數化成單元的因式相加的形式，從結構上看，是一種并聯結構。設互異的極點為即有傳遞函數s

i

(

i

1,

2

,

…

,

n

)nk

is

si

i

1

y

(

s

)u

(

s

)w

(

s

)

系數ki

lim(s

si

)w(s)s

sii

1,2,…,

n因此有)u(s)kn

s

snk1

k2

s

s1

s

s2y(s)

(

…

ix

上式表明輸出為各個單元的和，若設每個單元環(huán)節(jié)的輸出為狀態(tài)變量，即有：

u

(

s

)則：xis

si

u(i

1,2,…,

n)

si

xi狀態(tài)空間表達式x·:x·n2

2

s1

x1

u

s

x

un

n

s

x

u2x·1

n

x

x

:

x

2

x1

矩陣向量形式：

n

n

s

x

10

x

1

2

u0

x1

12:…:

:

0

:

:0s1

0

…

0

s

…x·

y

k1

k2

…

kn

x傳遞函數極點互異，可化成單元環(huán)節(jié)的并聯結試求其對角線標準形。s

2UY

((ss))s

3s3

2構，對應著對角形系數陣。[例]考慮由下式確定的系統(tǒng)：12

s

1

s

2s2s

3

s

3U

(s)

3s

2 (s

1)(s

2)解：Y

(s)

1

2x

(t)

2

0

x1

(t)

1u(t)0對角線標準形為：x·1(t)

1x

(t)

2

1]x1

(t)

x·

(t)

2

y(t)

[2

重極點的傳遞函數，可由部分分式展開成和式，再將此和式改成單元因子表達式，②含有重極點（極點s1有n重）設極點s1

有n重，即有：式中的系數：11i1k

lim

1

d

i1[w(s)(s

s

)n

](i1)!

dsi1ssi

1

,

2

,

…

,

n現設狀態(tài)變量為：k11u(s)ss1(ss1)nw(s)

y(s)

k12(ss1)n1

…

k1n21n

u

(

s

)

s

s1 u

(

s

)

(

s

s1

)

nx

(

s

)

x

(

s

)

x

(

s

)

u

(

s

)

(s

s1

)

n

1:逐次代換，可得：21n

u

(

s

)

s

s

1x

2

(

s

)s

s

1x

3

(

s

)s

s

1x

(

s

)

x

(

s

)

x

(

s

)

:這就相當于串聯的形式，一階微分方程組：x·

1x·

2s

1

x

1s

1

x

2x

2x

3:x·

ns

1

x

n

u可得狀態(tài)空間表達式s

1

0

1

0

01

1

:

::

x

0

u

:

0

0

0

…

s

s1

1

0

…

0

1

…x·

:k12…

k1n

xy

k11例：設傳遞函數(

s2)3試寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。w(s)

2s2

5s1

(s2)k13(s2)2k12(

s2)3k11解：w(s)

而13k12k11k

1

lim [(

s

2)

3

w

(

s

)]

2

lim

(

s

2)

3

w

(

s

)

19s

2ds

2d

22!

s

2ds

lim

d

[(

s

2)

3

w

(

s

)]

13s

2則狀態(tài)空間表達式為：1

2

1

x

0

u2

x

3

13 2

x0

x1

0

2

1

20

02

x·

3

y

19

x·

0

x·1

③傳遞函數既有單極點又有重極點將前面兩種方法結合起來即可得到設傳遞函數的分母多項式是n階，具有k個單極點及m個重極點?？傠A數為s

1

,

s

2

…

s

ks

k

1

,

s

k

1

…

s

k

1:s

k

m

,

s

k

m

…

s

k

mk

個單極點l

1

重極點l

m

重極點n

k

l1

…

lm確定系數即可寫出狀態(tài)空間表達式kkssk…k1ss1

w(s)

…kk

1,l1ssk

1…(

ssk

1

)l1kk

1,1s

sk

mkk

m

,1(

s

sk

m

)lm

…

kk

m

,lmsk

0u

xk

1x

0k

1

x1

1

:

:

:

1

:

:

:

:1k

ms1……0

:

00

?

?

:

:

?1

0

1sk

m0:0

:0

0

0

…sk

m

xn?sk

110…0sk

11…:0:???000…00:1sk

1

:

k

:

x·

x·

k

1

x·1

s1m]x1kk

m,lkk

m,1kk

1,lkk

1,1………

:

:

x·n

:

y

[k1

…

kk上面講了由系統(tǒng)的傳遞函數來列寫狀態(tài)空間表達式的幾種方法，如果單輸入—單輸出系統(tǒng)的傳遞函數為：G

(s)

bn

s

n

bn

1s

n

1

…

b1s

b0s

n

an

1s

n

1

…

a1s

a0將它化為狀態(tài)空間表達式的形式：x·

Ax

buy

Cx

Du這就稱系統(tǒng){A，b，C，D}，是G（s）的一個實現。如果G（s）的分子與分母沒有公因子，即G（s）是不可約的。對于單輸入—單輸出的線性定常系統(tǒng)來

說，若其傳遞函數是可實現的，則可有無窮多個不同的狀態(tài)方程的實現，這些狀態(tài)方程可有相同階數或不同階數，但它們的階數不會小于傳遞函數的次數（特征方程的次數）。這時維數最小的實現等于G（s）分母的階數n，這時系統(tǒng){A，b，C，D}稱為G（s）的一個最小實現—最小實現又稱為不可約實現。如果sk1n

x1100

11

0:

x

:

u

0

s1

0

0

:0

0

0

…y

k11

k12

.s1

1

…

0

0

s

1

…x·

:u(s)11

12

1n(ss1

)n

(ss1

)n1

ss1G(s)

y(s)

k

k

…

k 即極點s1

有n重，則可得狀態(tài)空間表達式為：這時稱系統(tǒng){A，b，C}為G（S）的約當型最小實現。部分分式的形式，1設G（s）（不可約）有5個極點

1

，1

，2

及3，其中1為3重特征根，將G（s）寫成

s3k3s2k2s1k13(s1

)2k12(s1

)3k11G(s)

寫成狀態(tài)空間表達式的形式系統(tǒng){A，b，C}即為G（s）的約當最小實現210

10

0

1

0

x

1

u

0

0

0

0y

k113

k

2

k

3

x0

0

0

0

0k12

k131

1

0

0 0

1

0x·

0

0

1

0若傳遞函數中已經寫成極點的形式，用上述方法當然很好，但如果極點較難求取，該用什么辦法來列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式呢？應用長除法：D

(

S

)nnu

(

s

)

N

(

s

)

b

bG

(s)

y

(

s

)s

n

an

1s

n

1

…

a1s

a0bn

s

n

bn1s

n

1

…

b1s

b0s

n

an1s

n1

…

a1s

a0

n

1s

n

1

n

2

s

n

2

…

1

s

0不可約的上式中的系數用長除法得到：

bn

2

a

n

2

bn

bn

1

a

n

1

bn

n

2

n

1

0

b

0

a

0

bn

1

b1

a1

bn:D(

s)④如果把

N

(s)

寫成串聯分解的形式y(tǒng)01n1n1u

1

z

s…

s

sn

an1sn1

…a1sa0

z

(

s

)u

(

s

)

1

s

n

an

1s

n1

…

a1s

a0n1z(n)

az(n1)…

a

z·

a

z

u1

0選取狀態(tài)變量01

s

n

1n

1

y

(

s

)z

(

s

)

…

s

y

n

1

z

(

n

1)

…

1

z·

0

z321n

z

(

n

1)x

z,

x

z,

x

z,…

,

x則狀態(tài)方程為：n

uz

(

n

1)n

1

a0

x1

a1

x2

…

an

1

xn

u

a0

z

a1

z·

…

ax·x·1

x2x·2:

x3輸出方程為：y

0

x1

1x2

…

n1

xn寫成矩陣形式為：x·

Ax

buy

Cx

0

0A

;

0a010…001…0;;;00…1a1a2…an

1000

b

;

1C

0

,

1

…

n

1

這樣的A陣又稱友矩陣，若狀態(tài)方程中的A，b具有這種形式，則稱為可控

。當系統(tǒng){A，b，C，D}稱為G（s）的可控標準形最小實現。

N

(

s

)

D

(

s

)nG

(

s

)

b

時，A，b不變。y

Cx

bnu若設則展開式為：當bn

0

時，1

b10

b0n1

bn1n

y

xi

1

ai

y

iuu

(

s

)G

(s)

y

(

s

)bn

s

n

bn

1s

n

1

…

b1s

b0s

n

an

1s

n

1

…

a1s

a01

1

132

a

a

a2

a y

u

yx

xu

(

n3)n2y

(

n3)n2y

(

n2)

u

(

n2)n1

n1x

x2

a

y

b

u

y

(

n1)

a2

n2

y

(

n4)

u

(

n4)n2y

(

n3)u

(

n3)n1

n1(

n2)n

x

ay

u

y

an1

n1

n1n1y

uxn1xn2

…

a1

y

1u

…

a2

y

2u

xn1

an2

y

n2u

y

an1

y

n1

u

an2

y

n2u化為微分方程的形式：1

…

a1

y·

1u·

x·

y(n)

au(n2)n2y(n2)n2u(n1)

an1y(n1)n1

N

(

S

)D

(

S

)s

n

an

1s

n

1

…

a1s

a0又:

n

1s

n

1

n

2

s

n

2

…

1s

0

ay

(

n

)

y

(

n

1)

n

1u

n

1(

n

1)

…

u·

1

u1

00

…

a

y·

a

y

x·1

a0

y

0u

a0

xn

0u列出狀態(tài)方程：

xn

1

an

1

xnx·n

1

xn

2

an

2

xn

n

1u

n

2u

x1

a1

xn

1ux·nx·2則列寫向量—矩陣形式：

u1

an1

01n1

x

2

?

?

?

??

0x·

00

0

…

0

a00

…

0

a11

…

0

a20

…

1則y

0…

0 1

x101

010

n1

b

?

12?

?0

…

0

a0

0

…

0

aA

0

1

…

0

a

?

?0

…1

an

C

0

0

…

1{A，b，C}稱為G（s）的可觀測型最小實現此處：A為友矩陣的轉置，若A，c具有這種，由此可見，可控的各矩陣之間存在如形式，則稱可觀測與可觀測下關系：A

ATC

Ob

CTc

OC

bTC

O下標c表示可控，o表示可觀測[例]考慮由下式確定的系統(tǒng)：s

2U

(s)

3s

2Y

(s)

s

3

1x

(t)

2

1]x1

(t)

y(t)

[3x.

(t)

2

3x

(t)

2

2

試求其狀態(tài)空間表達式之可控標準形、可觀測標準形。解：可控標準形為：x.1(t)

0

1

x1

(t)

0u(t)可觀測標準形為：

2x1

(t)

3u(t)

3

x

(t)

1x·1(t)

0x·

(t)

1x

(t)

2

1]x1

(t)

2

2

y(t)

[04.狀態(tài)空間表達式的結構圖在狀態(tài)空間分析中，常以狀態(tài)結構圖來表示各狀態(tài)變量間的關系，它由積分器，加法器和比例環(huán)節(jié)構成積分器1s

.x(t

)

x(t

)

代替加法器有時也可以用1x

3xxk

kx比例環(huán)節(jié)繪制步驟：①在適當位置畫出積分器，個數=狀態(tài)變量數，各個積分器的輸出=對應的狀態(tài)變量。②由狀態(tài)方程和輸出方程畫出加法器和比例環(huán)節(jié)。③用箭頭連接。狀態(tài)空間·表達式：x

Ax

buy

Cx

Du畫出結構圖：

表示單個信號的傳遞BACux+xyD∫有時也用積分器表示“向量信號”的傳遞表示例：某系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為：試繪制其結構圖

1

0

1

x

0

u6

3

2y

1

1

0x0

0

1

0

x·

0分析：本系統(tǒng)狀態(tài)變量有三個，則有三個積分器，且積分器的輸出為三個變量x1,x2

,x31

2

3x

x

,

x

,

x

T

一個輸入量u，一個輸出量為y原系統(tǒng)可畫為：x·1

x2x·2x·3

x3

6x1

3x2

2x3

uy

x1

x2反過來，也可以由系統(tǒng)的結構圖出發(fā)，寫出狀態(tài)空間表達式。

1S

1S

1S-2-3-6ux3x3=x2x2=x1x1y例：解：有幾個積分器，就有幾個狀態(tài)變量，由結構圖得：1S1S1S-6-11-6ux3x3x2x1y-6令：x·1

x2x·2

x3x·3

6x1

11x2

6x3

6uy

x1x

3

T則y

1

0

0x

0

61

x